Fundamentos de Analise - Limites de Funcoes e Suas Propriedades

UNIVERSIDADE UNIGRANRIO Fundamentos de Análise Limites Produção Gerência de Desenho Educacional NEAD Desenvolvimento do material Gregório Luís Dalle Vedove Nosaki 1ª Edição Copyright 2021 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitoria de Programas de PósGraduação Nara Pires PróReitoria de Programas de Graduação Lívia Maria Figueiredo Lacerda PróReitoria Administrativa e Comunitária Carlos de Oliveira Varella Núcleo de Educação a Distância NEAD Márcia Loch Sumário Limites Para Início de Conversa 4 Objetivo 4 1 Limites de Funções 5 2 Definição e Generalidades 7 3 Propriedades Operatórias 11 Referências 13 Fundamentos de Análise 3 Para Início de Conversa Na história do desenvolvimento da análise matemática o limite foi o último conceito a ser definido propriamente e suas propriedades devidamente estudadas No entanto nos cursos de análise e cálculo diferencial e integral ele precede os conceitos de derivada e integral pois é a partir dele que iremos definir esses dois últimos conceitos Neste capítulo faremos uma breve revisão da definição de função e as diferentes classificações que elas podem ter dependendo das propriedades que satisfazem Definiremos o conceito de limite de maneira mais generalizada e teórica do que é apresentado em um curso de cálculo diferencial Veremos como é a representação geométrica do conceito de limite e também algumas de suas propriedades imediatas que seguem a sua definição Traremos alguns exemplos específicos para ilustrar as diferentes possibilidades de comportamento de uma função Vamos definir os limites laterais e também os limites quando a variável da função tende a infinito tanto para valores positivos como para negativos Por fim trataremos das propriedades operatórias para limites de funções que estão bem definidos Objetivo Descrever o conceito intuitivo de limite ideia fundamental que distingue o Cálculo da Matemática Elementar Fundamentos de Análise 4 1 Limites de Funções O conceito de funções já faz parte do repertório de objetos matemáticos aos quais estamos acostumados a manipular A representação geométrica de uma função de apenas uma variável pode ser feita por meio de um gráfico bidimensional em que no eixo x representamos nossa variável e no eixo y a imagem correspondente Diante dessa representação há muitos séculos atrás grandes matemáticos já estudavam as propriedades e relações que podemos inferir de tais representações Vamos relembrar a definição de função e algumas propriedades imediatas Definição Uma função é uma lei que relaciona elementos de dois conjuntos Representamos por a função que tem como domínio o conjunto e como contradomínio o conjunto Considere uma função e um ponto Chamamos de imagem do ponto o ponto tal que A ƒ ƒ x y x B Na imagem anterior vemos representados os dois conjuntos e e a função aplicada no ponto que possui a imagem em que O domínio de uma função é o conjunto no qual a lei que determina a função está definido É importante ressaltar que todo elemento do domínio de uma função deve possuir imagem Além disso a imagem de cada elemento deve ser única caso contrário a lei não é uma função Fundamentos de Análise 5 A ƒ ƒ x y ƒ x z x B Na imagem temos um mesmo ponto tendo duas imagens distintas pela e portanto nesse caso não é função O contradomínio de uma função não necessariamente precisa ser totalmente tingido pela função Chamamos o subconjunto dos pontos do contradomínio de uma função que são imagens de algum elemento de conjunto imagem da função Denotaremos por Algumas funções recebem nomenclaturas especiais pois satisfazem a determinadas propriedades Vamos enunciálas aqui para formalizar os conceitos e nomenclaturas que usaremos Uma função é dita função injetora se dados dois pontos tais que então necessariamente temos que Uma função é dita função sobrejetora se para todo ponto existe pelo menos um ponto tal que ou seja Uma função é dita função bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora As próximas nomenclaturas seguem as mesmas regras aplicadas para o caso de sequências monótonas Uma função é dita função monótona nãodecrescente se para todos com vale que De maneira análoga definimos que uma função é dita função monótona não crescente se para todos com vale que Uma função é dita função monótona crescente ou apenas função crescente se para todos com vale que De maneira análoga uma função é dita função monótona decrescente ou apenas função decrescente se para todos com vale que Fundamentos de Análise 6 Quando uma função é definida em subconjuntos da reta real chamamos a função de função real Utilizaremos no que se segue sempre o caso mais geral em que A maioria dos conceitos trabalhados na análise já foi abordada em cursos de cálculo diferencial e integral Aqui vamos estudar de maneira generalizada e rigorosa tais conceitos e definições aplicados especificamente ao caso de funções reais Esses conceitos podem ser definidos para outros espaços mas focaremos somente em funções da reta real e por isso podemos encontrar na literatura referências que denominam essa análise como análise real ou análise na reta 2 Definição e Generalidades No desenvolvimento do estudo de funções os conceitos de integral e derivada precedem o conceito de limites no entanto a maioria dos livros de análise e de cálculo diferencial e integral organizam as estruturas começando por limites depois derivadas e finalmente integrais Eles são organizados dessa maneira pois começamos do conceito mais simples e chegamos ao mais complexo Vamos agora introduzir a definição formal de limite de uma função real Definição Considere uma função real e um elemento no qual denota o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto Diremos que é o limite de quando tende a se para todo existe tal que para todo com vale que Denotaremos esse limite por Note que não necessariamente o ponto precisa permanecer no domínio da função Basta que ele seja um ponto de acumulação do domínio da função Na matemática temos símbolos que nos auxiliam a registrar certos elementos e expressões recorrentes de modo a facilitar a leitura e também a comunicação entre matemáticos Veja como é a definição de limite representada apenas por símbolos matemáticos A definição acima é exatamente a apresentada anteriormente apenas alterando as expressões e elementos recorrentes pelos seus respectivos símbolos matemáticos Isso torna a escrita mais rápida e organizada quando se está demonstrando um resultado ou teorema Essa notação é aplicada da mesma forma no mundo todo Fundamentos de Análise 7 ƒ x y x p L δ δ x p lim ƒ x L Na imagem vemos representado o gráfico da função Temos que ou seja para qualquer existe tal que para todo ponto que pertence ao domínio da função com vale que Algumas propriedades de limite seguem diretamente da sua definição que apresentaremos em forma de teoremas Todas as demonstrações dos teoremas apresentados aqui e outros resultados sobre o conceito de limite podem ser encontrados em Panonceli 2017 Lima 2006 e Ávila 2019 Teorema Unicidade do limite considere e Se e então ou seja se a função tem limite quando tende a então esse limite é único Assim como uma sequência convergente só pode convergir para um ponto o limite de uma função é também único Note que o limite depende apenas da vizinhança do ponto em que estamos avaliando Observe a seguinte função dada por A função é nula para toda a reta real exceto no ponto em que ela vale 1 O limite da função quando tende a 0 é Note que Fundamentos de Análise 8 Portanto o conceito de limite não depende do valor da função avaliada no ponto mas sim na sua vizinhança Por isso sempre iremos calcular o limite tendendo a um ponto que é o de acumulação do domínio da função Teorema Considere e As seguintes afirmações são equivalentes 1 2 toda sequência com e tal que vale que O teorema anterior é muito importante pois nos fornece uma segunda caracterização para o limite de uma função Mais do que isso muitas vezes recorremos a esse teorema para provar que uma função não possui limite pois se exibirmos uma sequência em que e tal que mas então não vale que Teorema Considere e tais que Existem e um real tal que para todo com vale que O teorema anterior nos garante que se uma função possui limite quando tende a então existe uma vizinhança aberta de em que a função é limitada Podemos definir os limites laterais à esquerda e à direita a partir dos conceitos de ponto de acumulação à esquerda e à direita Definição Um ponto é um ponto de acumulação à direita do conjunto denotado por se para toda vizinhança aberta de contém pontos tais que De maneira análoga um ponto é um ponto de acumulação à esquerda do conjunto denotado por se para toda vizinhança aberta de contém pontos tais que Podemos utilizar a seguinte caracterização para pontos de acumulação à direita e à esquerda se vale que se vale que Definição Considere e Diremos que é limite à direita de se tal que para todo e vale que Denotaremos por Fundamentos de Análise 9 Definição Considere e Diremos que é limite à esquerda de se tal que para todo e vale que Denotaremos por Além disso também é possível definir limites quando a variável tende a mais infinito ou menos infinito Definição Considere uma função real com o subconjunto sendo ilimitado superiormente Diremos que é o limite de quando tende a se para todo existe um real tal que para todo com vale que Denotaremos esse limite por Definição Considere uma função real com o subconjunto sendo ilimitado inferiormente Diremos que é o limite de quando tende a se para todo existe um real tal que para todo com vale que Denotaremos esse limite por Muitas funções estão definidas para toda a reta real e podemos nos questionar sobre o seu comportamento quando a variável tende a ou no entanto só podemos afirmar que existem os limites com tendendo a infinito se ele é um valor real Por exemplo se considerarmos a função dada por então quando tende a temos que também tende a Podemos representar esse comportamento escrevendo no entanto o limite de quando tende a NÃO EXISTE O mesmo vale quando consideramos que tende a se então podemos representar mas o limite de quando tende a também NÃO EXISTE Vamos analisar a função dada por Vamos provar que a função não possui limite à direita quando tende a Note que é um ponto de acumulação à direita do conjunto apesar de que Suponha que exista um real tal que Se tomarmos basta que tomemos e dessa forma temos que para todo com vale que Fundamentos de Análise 10 De fato temos que e portanto não existe o limite à direita para quando tende a Por outro lado ainda considerando com vale que Algumas funções características e comportamentos importantes Elas podem servir de contraexemplo para algumas afirmações que tentam generalizar certas propriedades que não são verdadeiras 3 Propriedades Operatórias Apresentaremos agora algumas propriedades operatórias para limites de funções Teorema Considere e duas funções reais e Se e valem as seguintes propriedades para todo vale que se então e A demonstração do teorema anterior pode ser encontrada em Panonceli 2017 É importante ressaltar que as propriedades operatórias apresentadas no teorema anterior só valem se ambas as funções possuem limite no ponto em que está sendo analisado Vamos agora analisar uma função especial que possui um comportamento singular quando tende a zero tratase a função definida nos reais positivos dada por Sabemos que a função seno é uma função periódica e está limitada entre 1 e 1 Veja abaixo o gráfico da função Fundamentos de Análise 11 1 1 01 02 03 A função não está definida para 0 mas o 0 é um ponto de acumulação à direita do conjunto e portanto faz sentido nos interessarmos pelo comportamento da função quando tende a 0 Podemos perceber pelo gráfico que conforme o variável se aproxima de 0 o gráfico parece se acumular no intervalo Isso acontece pois conforme os valores de vão se tornando cada vez menores o valor de cresce rapidamente e com isso a variação do seno calculada em também oscila muito em uma pequena variação de valores Essa é uma função que não possui limite quando tende a 0 mas não tende a mais infinito nem a menos infinito como visto anteriormente Esse tipo de comportamento pode ser observado em diversas funções e ter tais exemplos em mente ajuda a identificar se uma dada afirmação é verdadeira ou não pois essas funções nos fornecem ótimos contraexemplos O conceito de limite nos permite estudar o comportamento de uma função no entorno de um ponto de acumulação do domínio Esse tipo de estratégia é muito utilizada em análise e é de extrema importância para os conceitos de derivada e integral Apresentamos algumas propriedades imediatas da definição de limite como a unicidade do limite e a relação entre limite de uma função e sequências e também ilustramos a representação geométrica e intuitiva de limite Conhecemos alguns exemplos que possuem comportamentos singulares e que são importantes para servirem de contraexemplo de proposições que nem sempre são verdadeiras Além disso quando o limite existe ele satisfaz a certas propriedades operatórias que nos ajudam a calcular e compreender o comportamento de duas ou mais funções juntas Fundamentos de Análise 12 Referências ÁVILA GSS Análise matemática para licenciatura 3 ed São Paulo Blucher 2019 ÁVILA GSS Introdução à análise matemática 2 ed São Paulo Blucher 2016 LIMA EL Análise Real 8 ed Rio de Janeiro IMPA 2006 PANONCELI D M Análise matemática Curitiba Intersaberes 2017 Fundamentos de Análise 13