Sequências de Números Reais - Fundamentos de Análise - Unigranrio

Fundamentos de Análise Sequências de Números Reais Produção Gerência de Desenho Educacional NEAD Desenvolvimento do material Gregório Luís Dalle Vedove Nosaki 1ª Edição Copyright 2021 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitoria de Programas de PósGraduação Nara Pires PróReitoria de Programas de Graduação Lívia Maria Figueiredo Lacerda PróReitoria Administrativa e Comunitária Carlos de Oliveira Varella Núcleo de Educação a Distância NEAD Márcia Loch Sumário Sequências de Números Reais Para Início de Conversa 4 Objetivo 4 1 Definição de Sequência de Números Reais 5 2 Limite de uma Sequência de Números Reais 6 3 Operações com Limites 7 4 Limites Infinitos 8 5 Subsequência 9 6 Sequências Monótonas 10 7 Teorema de BolzanoWeierstrass 11 8 Sequência de Cauchy 12 Referência 13 Fundamentos de Análise 3 Para Início de Conversa As sequências de números reais são extremamente importantes na análise real Neste capítulo vamos definir o que são as sequências de números reais além de apresentar algumas das classes mais importantes de sequências Trabalharemos com sequências limitadas e ilimitadas sequências convergentes e divergentes sequências monótonas e as sequências de Cauchy Vamos provar diversos resultados com propriedades que tais sequência possuem e definir o que é uma subsequência e como elas podem se comportar em relação à sequência da qual foi extraída Além disso apresentamos uma definição alternativa para um ponto de acumulação propriedades operatórias das sequências convergentes e o Teorema de BolzanoWeierstrass Objetivo Aplicar os conceitos de sequências e subsequências de números reais Fundamentos de Análise 4 1 Definição de Sequência de Números Reais A partir de agora vamos trabalhar com sequências de números reais um dos principais conceitos em análise real Começaremos com algumas definições além de fixar as notações Definição Uma sequência é uma função que associa a cada natural um elemento real Podemos denotar uma sequência como sendo ou podemos encontrar também a notação em livros de análise real pois os índices sempre serão os números naturais Por exemplo a sequência definida por é a sequência que associa a cada número natural ele mesmo ou seja e assim por diante Podemos representar essa sequência como sendo A sequência descrita anteriormente dada por não é o conjunto dos números naturais Em uma sequência a ordem dos elementos deve ser determinada e é fixa já quando nos referimos a conjuntos a ordem pode ser alterada e o conjunto continua o mesmo Iremos representar um conjunto de pontos entre chaves e por exemplo e as sequências entre parêntesis e por exemplo Como dito anteriormente alterar a ordem da representação dos elementos de um conjunto não altera o conjunto ou seja No entanto temos que pois Alguns exemplos como a sequência crescente dos números naturais merecem ser mencionadas pois nos auxiliam a entender melhor como uma sequência pode se comportar e também nos dão contraexemplos para propriedades que não são verdadeiras A sequência dada por em que é um constante é uma dessas sequências Nesse caso vale que Outra sequência muito importante é dada por Voltaremos nossa atenção a esses e outros exemplos importantes nas próximas seções Definição Uma sequência é limitada superiormente se existe tal que Da mesma forma diremos que uma sequência é limitada inferiormente se existe tal que Uma sequência é dita limitada se é limitada superior e inferiormente Outra maneira de caracterizar que uma determinada sequência é Fundamentos de Análise 5 limitada é a seguinte a sequência é limitada se existe um real positivo tal que representa o módulo valor absoluto de como definido no capítulo anterior 2 Limite de uma Sequência de Números Reais Definição Dada uma sequência real diremos que o número real é o limite da sequência se tal que para Denotaremos por ou até mesmo quando for o limite da sequência A noção de limite nos dá a seguinte interpretação geométrica o ponto é limite da sequência se para qualquer valor existe um índice tal que a partir desse índice a sequência se mantém a uma distância menor que do ponto Note que a definição de limite deve valer para qualquer valor de positivo ℝ ε ε ε Se a sequência converge para podemos tomar qualquer valor representado em vermelho que sempre irá existir um valor de índice tal que todos os elementos depois desse índice pertencem a uma vizinhança de tamanho do ponto representada em azul O limite de uma sequência pode não existir como é o caso da sequência dada por Quando o limite de uma sequência existe diremos que a sequência é convergente já quando o limite não existir diremos que a sequência é divergente A sequência em que é uma constante é um exemplo de sequência convergente enquanto que é um exemplo de sequência divergente Algumas propriedades muito importantes de sequências convergentes são apresentadas nos dois teoremas a seguir Teorema Se uma sequência é convergente então seu limite é único Demonstração Considere uma sequência tal que Vamos mostrar que para todo com a sequência não pode convergir para Como estamos supondo vale que Vamos escolher um valor de tal que Fundamentos de Análise 6 Nesse caso podemos afirmar que os intervalos abertos e são disjuntos ou seja Por outro lado estamos supondo que e portanto pela definição de limite para esse escolhido acima podemos afirmar que tal que para todo Logo para todo e por consequência Provamos assim que o limite de uma sequência convergente é único Teorema Toda sequência convergente é limitada Demonstração Considere uma sequência convergente com Usando a definição de limite de uma sequência tomaremos e assim tal que para todo O intervalo é limitado Os primeiros elementos da sequência formam um conjunto finito Todo conjunto finito é limitado Dessa forma temos que é limitado e como a sequência é limitada 3 Operações com Limites Nesta seção iremos enunciar algumas propriedades sobre as operações com limites As demonstrações dos resultados apresentados aqui podem ser encontradas em Panonceli 2017 Teorema Considere duas sequências convergentes de números reais e tais que e Valem as seguintes propriedades 1 A sequência dada por é também convergente e vale que Fundamentos de Análise 7 2 A sequência dada por em que é uma constante é também convergente e vale que 3 A sequência dada por é também convergente e vale que 4 Se a sequência é também convergente e vale que Vale ressaltar que o teorema anterior é válido apenas para sequências que são convergentes As sequências que são divergentes podem ter diversos comportamentos e portanto é possível descrever contraexemplos em que as propriedades acima não são válidas 4 Limites Infinitos Como vimos anteriormente quando uma sequência não possui um limite ela é divergente Existem diversos tipos de sequências que divergem Um caso especial são as sequências que tendem ao infinito Diremos que uma sequência tende ao infinito se para todo existir um número natural tal que para todo Da mesma forma diremos que uma sequência tende ao menos infinito se para todo existir um número natural tal que para todo As sequências que tendem ao infinito tanto positivo quanto negativo não são sequências convergentes Os símbolos e não são números reais e por isso não podemos considerar essas sequências como convergentes Por vezes podemos encontrar expressões como o limite da sequência é mais infinito e as notações e ou mesmo e mas isso não significa que a sequência é convergente apenas que seu limite tende a mais ou menos infinito Fundamentos de Análise 8 As operações com limites apresentadas na última seção não valem para esse tipo de sequências pois não podemos operar quando os limites tendem ao infinito Por exemplo considere dada por e dada por ou seja e No entanto é uma sequência constante e portanto convergente Já se considerarmos a sequência dada por temos e vale que Além disso se uma sequência é divergente isso não significa que ela tende a mais ou menos infinito A sequência dada por e é da forma ou seja uma sequência que alterna entre os dois valores 0 e 1 dependendo da paridade do índice da sequência Essa sequência é divergente e no entanto não tende ao infinito 5 Subsequência Definição Dada uma sequência definimos como uma subsequência de a sequência indexada por um subconjunto infinito dos naturais isto é existe e a subsequência será denotada por Como visto anteriormente a sequência dada por e é da forma Tratase de uma sequência divergente No entanto se considerarmos a subsequência dos índices pares obtemos com e portanto Nesse exemplo temos uma sequência divergente que possui uma subsequência convergente O próximo teorema traz uma propriedade muito importante sobre subsequências de sequências convergentes Teorema Toda subsequência de uma sequência convergente é também convergente e conflui para o mesmo limite Demonstração Considere uma sequência com e uma subsequência qualquer indexada pelo subconjunto Como estamos considerando que Fundamentos de Análise 9 a sequência é convergente então tal que para todo Podemos tomar os índices em que são estritamente maiores que pois o subconjunto é infinito Portanto vale que para todo com Dessa forma provamos que qualquer subsequência de é convergente e tal que 6 Sequências Monótonas Definição Uma sequência é uma sequência monótona não decrescente se e é uma sequência monótona não crescente se Uma sequência é uma sequência monótona decrescente se e é uma sequência monótona crescente se Podemos encontrar as definições acima sem explicitar a palavra monótona No caso a classe das sequências monótonas é formada pelas sequências que são monótona não decrescente monótona não crescente monótona crescente ou monótona decrescente Portanto quando nos referirmos a uma sequência monótona estamos considerando que a sequência satisfaz pelo menos a uma das classificações descritas acima As definições de sequências monótonas são intuitivas e é importante ressaltar que as desigualdades que as definem devem valer para todo A sequência dada por é um exemplo de uma sequência monótona não decrescente e além disso é uma sequência crescente Já a sequência dada por é um exemplo de sequência monótona não crescente e além disso é uma sequência decrescente Note que uma sequência constante é ao mesmo tempo monótona não decrescente e monótona não crescente pois satisfaz ambas às desigualdades das definições O próximo teorema traz uma propriedade muito importante para a classe das sequências monótonas Teorema Toda sequência monótona limitada é convergente Demonstração Vamos considerar uma sequência limitada e monótona não decrescente isto é Consideremos agora o conjunto de todos os pontos da sequência que iremos denotar por Por hipótese a sequência é limitada e por consequência o conjunto é também limitado Denotaremos como o Fundamentos de Análise 10 supremo do conjunto que é um valor real pois o corpo dos reais é um corpo ordenado completo ver Capítulo 1 Iremos provar que De fato se tomarmos qualquer sabemos que não é cota superior de pois se o fosse então não seria a menor das cotas superiores e portanto não seria o supremo do conjunto Sabendo que não é cota superior de existe tal que Como estamos supondo que a nossa sequência é não decrescente para todo vale que Mais do que isso sabemos que para todo e portanto para todo Como tomamos arbitrário essa afirmação é verdadeira para todo e assim provamos que A prova é similar para o caso em que é uma sequência não crescente mas nesse caso usaremos o ínfimo do conjunto dos pontos da sequência Além disso note que toda sequência crescente é uma sequência nãodecrescente e que toda sequência decrescente é uma sequência não crescente Provamos assim a validade do teorema para toda a classe de sequências monótonas 7 Teorema de BolzanoWeierstrass A seguir apresentamos um dos teoremas mais importantes dentro da análise real que se aplica a qualquer sequência real limitada Essa versão do teorema está enunciada para o caso de sequências reais mas há versões muito mais gerais do mesmo resultado na análise Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequência de números reais que é limitada possui uma subsequência convergente A demonstração do Teorema de BolzanoWeierstrass pode ser encontrada em Panonceli 2017 Bernard Bolzano nasceu em Praga na região da Boêmia em 1781 Começou seus estudos muito jovem e formouse com honras na escola secundária em 1796 em seguida ingressando na Universidade Carolina de Praga Foi um dos pioneiros no estabelecimento de um rigor matemático presente até hoje na análise mas em virtude do isolamento acadêmico da cidade de Praga e ao contexto histórico da Europa nessa época muitos resultados de Bolzano não foram publicados Fundamentos de Análise 11 e grande parte das suas contribuições para a análise foram descobertas mais de 50 anos depois de sua morte O Teorema de BolzanoWeierstrass é conhecido por esse nome pois o matemático alemão Karl Weierstrass já no século XIX reafirmou as teorias que Bolzano tinha desenvolvidas aplicandoas ao conjunto dos números reais hoje conhecido como análise real e em outras áreas mais gerais da análise Um exemplo da aplicação deste teorema é na sequência definida por e Essa é uma sequência que alterna somente entre dois valores 0 e 1 e pode ser representada como sendo Essa é uma sequência limitada e se considerarmos a subsequência dos índices pares denotada por temos que Vimos no capítulo anterior a definição de ponto de acumulação de um conjunto dada por vizinhanças abertas Há uma definição alternativa dada por sequências que apresentaremos a seguir Definição Um ponto é ponto de acumulação do conjunto se existe uma sequência com e tal que ou seja um ponto é de acumulação de um conjunto se é possível tomar uma sequência de pontos do conjunto diferentes do ponto que converge para Nesse sentido podemos enunciar o Teorema de BolzanoWeierstrass da seguinte forma Teorema de BolzanoWeierstrass versão alternativa O conjunto dos pontos de uma sequência limitada de números reais possui pelo menos um ponto de acumulação 8 Sequência de Cauchy Definição Uma sequência é uma sequência de Cauchy se para todo existe tal que para todos vale que Uma sequência de Cauchy nos garante que para índices suficientemente grandes os pontos da sequência se tornam cada vez mais próximos Algumas propriedades sobre as sequências de Cauchy serão apresentadas a seguir e as demonstrações desses resultados podem ser encontradas em Panonceli 2012 Teorema Toda sequência de números reais de Cauchy é limitada Teorema Uma sequência de números reais é convergente se e somente se é uma sequência de Cauchy O último resultado nos traz uma caracterização muito importante para Fundamentos de Análise 12 as sequências convergentes na análise real Por vezes é mais simples provar que uma sequência é de Cauchy Graças ao resultado anterior podemos afirmar que essa sequência é convergente mesmo sem saber o valor do limite Todos os exemplos de sequências convergentes são também exemplos de sequências de Cauchy As sequências de números reais desempenham um papel muito importante na análise real Compreender suas propriedades e as diferentes classes que apresentamos aqui é fundamental para a introdução dos próximos conceitos Algumas sequências merecem destaque e devem de certa forma ser memorizadas pois podem servir de contraexemplo para afirmações que nem sempre são verdadeiras Apresentamos aqui diversos resultados para as sequências de números reais e algumas demonstrações que seguem o rigor matemático necessário para uma prova coerente O Teorema de BolzanoWeierstrass é um dos resultados mais famosos dentro da Análise Real e é utilizado como ferramenta para demonstrar outras propriedades importantes Referência PANONCELI D M Análise matemática Curitiba Intersaberes 2017 Fundamentos de Análise 13