Fundamentos de Análise - Números Reais e Lógica Matemática para NEAD

Fundamentos de Análise Números Reais Produção Gerência de Desenho Educacional NEAD Desenvolvimento do material Gregório Luís Dalle Vedove Nosaki 1ª Edição Copyright 2021 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitoria de Programas de PósGraduação Nara Pires PróReitoria de Programas de Graduação Lívia Maria Figueiredo Lacerda PróReitoria Administrativa e Comunitária Carlos de Oliveira Varella Núcleo de Educação a Distância NEAD Márcia Loch Sumário Números Reais Para Início de Conversa 4 Objetivo 4 1 Noções Elementares de Lógica Matemática 5 2 Propriedades de Corpo 7 3 Corpo Ordenado Completo 10 Referências 12 Fundamentos de Análise 3 Para Início de Conversa Neste primeiro capítulo vamos iniciar com uma breve introdução à lógica matemática apresentamos algumas formas possíveis para se demonstrar um resultado em matemática e convencionamos algumas notações que serão usadas em todo o material Definiremos o que é a estrutura algébrica de corpo e algumas propriedades imediatas dessa definição Vamos trabalhar mais especificamente com o corpo do número dos reais e para esse corpo podemos definir uma ordem e por isso ele é o que chamamos de corpo ordenado Veremos essa definição e também a definição de corpo ordenado completo e algumas propriedades Outros exemplos de corpos serão apresentados mas o foco será o corpo dos números reais pois todos os capítulos seguintes serão desenvolvidos sobre ele Objetivo Identificar o universo dos números reais e aplicar suas propriedades adequadamente Fundamentos de Análise 4 1 Noções Elementares de Lógica Matemática Vamos começar com uma pequena introdução à lógica matemática como são principais tipos de demonstração que usamos em matemática e convencionar algumas notações que serão utilizadas em todo esse material Iremos chamar de proposição qualquer afirmação verdadeira ou falsa que faça sentido lógico seja ele relacionado à matemática ou não Veja alguns exemplos a seguir Maria é casada com Tiago A raiz quadrada de 81 é 9 Todo número inteiro é par Como você pode perceber uma proposição traz uma informação que relaciona objetos ou conceitos Essas informações podem ou não ser verdadeiras Podemos inverter o sentido da frase e assim alterar a informação que a proposição tem Chamamos esse procedimento de operação de negação A proposição Maria é casada com Tiago quando negada fica Maria não é casada com João Outro tipo de operação entre proposições é a operação condicional Nesse caso temos uma proposição implicando em outra Por exemplo SE Túlio tem dois irmãos ENTÃO Túlio não é filho único A operação condicional geralmente pode ser representada pelo formato se A então B o que significa que o que é afirmado em A acarreta o que é afirmado em B Em outras palavras podemos dizer que a proposição A é uma condição suficiente para a proposição B enquanto que a proposição B é uma condição necessária de A A operação bicondicional ocorre quando A implica B e B implica A Por exemplo Se hoje é segundafeira então ontem foi domingo Se ontem foi domingo então hoje é segundafeira Na operação bicondicional geralmente usamos o termo se e somente se para relacionar duas proposição isto é A é verdadeiro se e somente se B é verdadeiro Em outras palavras diremos que a proposição A é uma condição necessária e suficiente para B A operação bicondicional é também conhecida como operação de equivalência Em matemática o encadeamento lógico do raciocínio é a base para que se possa demonstrar qualquer propriedade teorema lema etc É importante manter uma representação clara do seu raciocínio e para isso usamos alguns símbolos que você já deve estar familiarizado mas iremos apresentálos aqui com os seus significados Para representar que um elemento pertence a um conjunto denotaremos como Usaremos a notação para representar Fundamentos de Análise 5 que o elemento não pertence ao conjunto O símbolo tem o sentido de para todo e usaremos quando uma determinada propriedade valer para todo elemento de um conjunto O símbolo representa que existe um elemento que satisfaz a uma determinada propriedade e quando acompanhado de um ponto de exclamação significa que tal elemento é único Para representar que não existe usaremos o símbolo Veja alguns exemplos a seguir 2 pertence ao conjunto dos inteiros raiz de 2 não pertence ao conjunto dos inteiros Considere é par ou seja todo elemento do conjunto é par tal que tal único elemento do conjunto é o número 8 e nenhum outro elemento de satisfaz a essa igualdade Em contrapartida tal que Para representar uma operação condicional usaremos uma seta como da seguinte maneira se é uma condição suficiente para representaremos por A operação bicondicional será representada por uma flecha dupla como Neste caso se é uma condição necessária e suficiente para representaremos por O rigor matemático é muito importante para registrar seu raciocínio lógico e também para se comunicar Esses símbolos são largamente empregados na matemática e há uma certa padronização quanto ao uso de determinados símbolos Uma escrita concisa e organizada ajuda a organizar o seu encadeamento lógico e facilita o registro de suas demonstrações exercícios propriedades que usa frequentemente Se for preciso faça um pequeno dicionário de símbolos e seus significados Isso pode facilitar a memorização e também a leitura de textos matemáticos Um teorema só terá validade se for formalmente demonstrado e existem diversos tipos de demonstrações possíveis em matemática Cada uma delas se aplica a um determinado tipo de resultado a depender de como ele é enunciado Todo resultado é composto de hipóteses e uma ou mais tese As hipóteses são as proposições que iremos considerar como verdadeiras e a partir delas temos que provar a veracidade do que é proposto na tese A prova direta trabalha diretamente com as hipóteses propostas e os recursos propriedades e resultados já considerados como verdadeiros de modo a chegar na validação da tese A prova contrapositiva ou prova por contraposição é o tipo de prova no qual nós negamos a tese e a partir disso construímos nosso raciocínio de modo a chegar na negação de uma Fundamentos de Análise 6 ou mais hipótese Existem diversos tipos de demonstrações como prova por absurdo prova por indução nos naturais prova por contraexemplo É possível que um mesmo resultado tenha diferentes demonstrações e todas sejam válidas Basta que o encadeamento das ideias siga uma linha de implicações verdadeiras e corretamente trabalhadas Esse tipo de organização de resultados e suas demonstrações não são exclusivas da análise como você verá aqui Todos as áreas da matemática seguem o mesmo rigor e estruturas para construir seus resultados e por vezes até mesmo se utilizam de resultados de outras áreas para construir objetos e relações cada vez mais complexas Vamos apresentar alguns dos primeiros e principais resultados da análise 2 Propriedades de Corpo Um corpo é uma terna ordenada formada por um conjunto não vazio e duas operações definidas nele que satisfazem certas propriedades O conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação representados por formam o corpo dos reais Vamos apresentar as propriedades que uma terna ordenada deve satisfazer para ser um corpo já aplicadas no corpo dos reais São elas A1 Associatividade da adição vale que A2 Comutatividade da adição vale que A3 Existência de elemento neutro para a adição o zero do corpo tal que vale que A4 Existência de elemento oposto para todo elemento tal que M1 Associatividade da multiplicação vale que M2 Comutatividade da multiplicação vale que M3 Existência de elemento neutro para a multiplicação a unidade do corpo tal que vale que Fundamentos de Análise 7 M4 Existência de elemento inverso para todo elemento não nulo tal que D Distributividade da multiplicação com relação à adição vale que Algumas propriedades seguem imediatamente da definição do corpo dos reais A lei do anulamento do produto garante que dados dois elementos tais que então necessariamente ou As regras de sinais para o produto e a unicidade de elemento oposto e elemento inverso também são obtidas a partir da definição de corpo Essas e outras propriedades você pode encontrar em Ávila 2019 3 Corpo Ordenado Vamos agora introduzir a definição de corpo ordenado dentro do corpo dos reais Essa definição pode ser generalizada para outros corpos Definição um corpo é um corpo ordenado se existe um subconjunto tal que valem as seguintes propriedades O subconjunto é fechado para as duas operações isto é vale que e uma e somente uma das seguintes afirmações é verdadeira ou ou O subconjunto denota o conjunto dos números reais positivos É fácil de verificar que o conjunto satisfaz às propriedades descritas anteriormente e de fato o corpo dos reais é um corpo ordenado Essa nomenclatura vem do fato de que em corpos ordenados é possível determinar uma ordem No caso dos números reais iremos representar tal ordem pelo símbolo Definição Diremos que é menor que denotado por se Da mesma forma podemos dizer que é maior que denotado por se Podemos denotar também para indicar que é menor ou igual a e também para indicar que é maior ou igual a Essa ordem nos possibilita representar os números reais em uma reta onde os elementos são posicionados de maneira crescente da esquerda para a direita Fundamentos de Análise 8 Na figura vemos representado o conjunto dos números reais como uma reta onde estão destacados alguns pontos Note que aparecem números naturais inteiros racionais e até mesmo irracionais Pensar nos reais como uma reta irá facilitar muito a compreensão de diversos conceitos em análise Grande parte da matemática é construído em cima de axiomas que são proposições para as quais não há provas mas que são dadas como verdadeiras em um consenso comum Um dos principais axiomas da matemática é o Axioma de Dedekind ou Axioma de CantorDedekind que afirma que há uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos de uma reta ou seja o conjunto dos números reais pode ser visto como uma reta Esse axioma é considerado a pedra angular da geometria analítica Dedekind foi um matemático alemão nascido em 1831 que gerou grandes contribuições para a matemática inclusive é citado como o primeiro autor a conceituar o que hoje conhecemos como corpo A relação de ordem descrita anteriormente satisfaz a diversas propriedades Dentre elas destacamos Transitividade tais que e então necessariamente Tricotomia uma e somente uma das afirmações vale ou ou Monotonicidade da adição se então vale que Monotonicidade da multiplicação se e então se e então Vamos agora definir outro importante conceito dentro dos números reais o valor absoluto de um número real Definição Dado definimos o valor absoluto de também chamado de módulo de denotado por como sendo o máximo entre e isto é Se então Pela definição de módulo segue que para todo vale que Outra importante propriedade do módulo é a desigualdade triangular dada por para quaisquer Para a multiplicação vale a igualdade isto é vale que Vamos agora definir o que são e como iremos representar os intervalos um dos principais tipos de subconjuntos que trabalharemos dentro dos números reais Um subconjunto é um intervalo fechado se pode ser Fundamentos de Análise 9 descrito como onde tais que Um subconjunto é um intervalo aberto se pode ser descrito como onde tais que A diferença entre um intervalo aberto e um intervalo fechado é que nos intervalos fechados incluímos os extremos do intervalo dentro do subconjunto Podemos também usar as duas notações para descrever um intervalo semiaberto por exemplo representa o intervalo com a b A Na figura vemos representado o subconjunto que é um intervalo fechado com extremos e 3 Corpo Ordenado Completo Mais do que um corpo ordenado o conjunto dos números reais é um corpo ordenado completo Para compreender o que isso significa iremos primeiro definir alguns conceitos importantes Um subconjunto é dito limitado superiormente se existe tal que para todo Neste caso é chamado cota superior do conjunto De maneira análoga diremos que o subconjunto é limitado inferiormente se existe tal que para todo Nesse caso é chamado cota inferior para o conjunto c b A Na representação acima o subconjunto está representado destacado em azul é uma cota superior para e é uma cota inferior para Um subconjunto é limitado se for limitado superiormente e inferiormente Outra caracterização possível para conjuntos limitados é a seguinte o conjunto é limitado se existe tal que Um exemplo de um subconjunto que não é limitado nos reais é o conjunto dos inteiros pois e no entanto não é possível descrever uma cota superior ou inferior para os inteiros O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente mas não superiormente Fundamentos de Análise 10 Note que tanto a cota superior quanto a cota inferior não são únicas isso é se é cota superior de então todo tal que é também cota superior de Da mesma forma se é cota inferior de então todo tal que é também cota inferior de Chamamos de supremo do conjunto a menor das cotas superior de Dessa forma é supremo de se satisfaz a para todo E se existe tal que para todo então necessariamente Chamamos de ínfimo do conjunto a maior das cotas inferiores de Dessa forma é ínfimo de se satisfaz para todo Se existe tal que para todo então necessariamente Diferente das cotas superiores e inferiores o supremo e o ínfimo de um conjunto são únicos Quando o supremo de um conjunto pertence ao conjunto ele é chamado de máximo quando o ínfimo de um conjunto pertence ao conjunto ele é chamado de mínimo é máximo de se é supremo de e é mínimo de se é ínfimo de e Definição o corpo dos reais é um corpo ordenado completo pois para todo subconjunto não vazio limitado superiormente possui supremo em isso é existe que é supremo de Como consequência podemos afirmar que todo subconjunto não vazio dos números reais que é limitado inferiormente admite ínfimo nos reais pois se é limitado inferiormente então definido como sendo é limitado superiormente e portanto admite supremo nos reais Se é supremo de então é o ínfimo de Essa afirmação pode ser provada diretamente das definições de supremo e ínfimo junto com as propriedades da ordem definida nos reais O fato de ser um corpo ordenado completo diferencia o corpo dos reais do corpo dos racionais Por exemplo o subconjunto é limitado é o supremo desse conjunto e Podemos usar a mesma regra de formação do subconjunto para os números racionais isto é vamos considerar Note que agora estamos tomando apenas os números racionais cujo valor absoluto é menor que É claro que é limitado basta tomar 2 como cota superior e 2 como cota inferior e segue que é de fato limitado No entanto o conjunto não possui supremo nos racionais pois para todo que é cota superior de podemos encontrar Fundamentos de Análise 11 também cota superior de com Isso acontece pois o supremo de é um número irracional e por mais aproximado que um racional possa chegar de ele nunca será exatamente igual a Em análise apesar de trabalharmos com conceitos já vistos em cálculo temos um enfoque completamente diferente Estamos interessados aqui em uma visão mais generalizada e abstrata do que geralmente é apresentado em um curso de Cálculo 1 É importante que todos as definições estejam claras e para ajudar a compreender determinados conceitos tente sempre pensar na representação deles vendo o conjunto dos reais como a reta real Neste capítulo fizemos uma breve introdução à lógica e algumas das principais formas de provas que encontramos na matemática Convencionamos certas notações que iremos usar no decorrer de todo o livro e que de certa forma seguem um padrão em todo texto matemático A organização desses elementos é muito importante pois agiliza a escrita e sistematiza a representação do desenvolvimento do raciocínio de forma universal Introduzimos a representação do conjunto dos números reais como um reta e além disso definimos uma ordem neste conjunto O corpo dos reais é na verdade um corpo ordenado completo pois como dito anteriormente é possível definir uma ordem nele e todo conjunto limitado superiormente possui supremo no conjunto Esse é o conjunto que iremos trabalhar durante todo esse curso por isso é importante se familiarizar com suas características objetos e notações Referências ÁVILA G S S Análise matemática para licenciatura 3 ed São Paulo Blucher 2019 ÁVILA G S S Introdução à análise matemática 2 ed São Paulo Blucher 2016 LIMA E L Análise Real vol 1 Funções de uma variável 8a ed Rio de Janeiro IMPA 2006 PANONCELI D M Análise matemática Curitiba Intersaberes 2017 Fundamentos de Análise 12