Fundamentos de Analise - Topologia da Reta

Fundamentos de Análise Topologia da Reta Produção Gerência de Desenho Educacional NEAD Desenvolvimento do material Gregório Luís Dalle Vedove Nosaki 1ª Edição Copyright 2021 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitoria de Programas de PósGraduação Nara Pires PróReitoria de Programas de Graduação Lívia Maria Figueiredo Lacerda PróReitoria Administrativa e Comunitária Carlos de Oliveira Varella Núcleo de Educação a Distância NEAD Márcia Loch Sumário Topologia da Reta Para Início de Conversa 4 Objetivo 4 1 Conjuntos Abertos 5 2 Conjuntos Fechados 6 3 Ponto de acumulação 10 Referências 12 Fundamentos de Análise 3 Para Início de Conversa Neste capítulo apresentaremos alguns dos elementos do que é conhecido como a topologia da reta A topologia é uma área da matemática que pode ser vista como uma extensão da geometria portanto diversos elementos dela têm uma interpretação geométrica que auxilia na compreensão das definições Introduziremos os conceitos de conjunto aberto conjunto fechado ponto de aderência ponto de acumulação e outros objetos e propriedades Objetivo Construir as noções topológicas na reta real necessárias ao estudo das funções Fundamentos de Análise 4 1 Conjuntos Abertos Como visto no capítulo anterior o conjunto dos números reais possui uma correspondência biunívuca com os pontos de uma reta Vamos utilizar essa representação e dessa forma utilizaremos as nomenclaturas reta real ou apenas reta para significar o conjunto dos números reais e ponto para significar um elemento do conjunto dos números reais Esse tipo de correspondência é muito importante dentro da análise pois auxilia tanto a compreender as definições e propriedades quanto a construir um raciocínio lógico para demonstrar a grande parte dos resultados obtidos Definição diremos que um ponto é ponto interior de um subconjunto se existem tais que e Em outras palavras dado um conjunto diremos que um ponto é um ponto interior de se existe uma vizinhança aberta de que está completamente contida em Sempre que usarmos vizinhança aberta de um ponto estamos nos referindo a um intervalo aberto que contém o ponto Outra maneira que podemos definir um ponto interior é a seguinte dado um conjunto um ponto é um ponto interior se tal que Essa definição é equivalente a anterior pois o intervalo aberto é uma vizinhança aberta de Denotaremos o conjunto dos pontos interiores de um conjunto como Definição um conjunto é um conjunto aberto se todo ponto de é ponto interior isso é Todo intervalo aberto é um conjunto aberto da reta real Por exemplo se considerarmos temos que e por consequência Considerando agora o intervalo o ponto segue o mesmo raciocínio para o intervalo pois o intervalo é aberto em Note que o ponto mas pois vale que e portanto não é um conjunto aberto Observação usaremos também apenas a nomenclatura aberto para nos referirmos a um conjunto aberto ou seja se dissermos que é um aberto da reta isso significa que e que é um conjunto aberto Desse modo a leitura fica mais simples assim como a notação A seguir apresentaremos um teorema que caracteriza duas propriedades muito importantes sobre os conjuntos abertos Teorema Se considerarmos dois conjuntos abertos e então o conjunto dado por é também aberto Se considerarmos uma família de conjuntos abertos representada por isso é para todo o conjunto é aberto então o conjunto dado por é também aberto Fundamentos de Análise 5 A demonstração desse e de todos os resultados apresentados aqui pode ser encontrada em qualquer livro de Análise Real O teorema anterior caracteriza duas importantes características dos conjuntos abertos A primeira diz que a interseção de dois abertos quaisquer é sempre um aberto Isso vale geralmente para qualquer interseção finita isto é qualquer interseção de um número finito de conjuntos abertos sempre será aberta Em contrapartida a união de abertos é sempre aberta e isso vale para qualquer união de abertos seja ela finita ou infinita Vamos ver alguns exemplos para ilustrar essas propriedades Considere os conjuntos abertos e A interseção entre eles é e é também um conjunto aberto Considere agora um terceiro intervalo Observe que e portanto o conjunto vazio é considerado um conjunto aberto da reta real Vamos considerar agora para todo os abertos A união de todos esses intervalos dada por é aberta Note que e portanto é a reta real sem considerar o conjunto dos números inteiros Se considerarmos para todo os abertos então é aberto o que nos leva à conclusão de que a reta real é considerada um conjunto aberto O conjunto vazio e a reta real são considerados intervalos abertos e fechados simultaneamente Isso acontece pois eles satisfazem as duas definições como veremos mais adiante Além disso podemos obtêlos com base nas propriedades de conjuntos abertos e fechados Vamos ver um exemplo de uma interseção infinita de abertos que não é um aberto Considere para todo os abertos dados por Desse modo temos que ou seja a interseção de todos os conjuntos é o conjunto unitário formado apenas pelo ponto zero representado por Todo conjunto unitário não é aberto pois não é possível definir uma vizinhança aberta que esteja contido dentro dele 2 Conjuntos Fechados Definição dado um conjunto diremos que é um ponto aderente ou ponto de aderência do conjunto se vale que isso é toda vizinhança aberta do ponto intersecta o conjunto Fundamentos de Análise 6 Segue imediatamente da definição de ponto de aderência que se então é ponto de aderência do conjunto pois qualquer vizinhança aberta de contém o ponto e portanto vale a definição Denotaremos por o conjunto de todos os pontos aderentes do conjunto é chamado de fecho do conjunto Pela fato que todo ponto de um conjunto é aderente a ele obtemos que para qualquer conjunto vale que Definição um conjunto é fechado se é igual ao seu fecho isto é Todo intervalo fechado é um conjunto fechado Por exemplo se considerarmos vale que pois todo ponto de é de fato um ponto aderente à No entanto se considerarmos temos que pois para qualquer vizinhança aberta de que você tomar vai intersectar o conjunto mas e portanto não é um conjunto fechado pois Observação Assim como no caso dos conjuntos abertos usaremos apenas a nomenclatura fechado para nos referirmos a um conjunto fechado ou seja se dissermos que é um fechado da reta isso significa que e que é um conjunto fechado Vale ressaltar que se um conjunto não é aberto ele não é necessariamente fechado O mesmo vale para conjuntos que não são fechados se um conjunto não é fechado ele não é necessariamente aberto Como visto em exemplos apresentados anteriormente um conjunto pode não ser aberto e não ser fechado Vamos agora ver duas propriedades dos conjuntos fechados que se assemelham às condições descritas para os conjuntos abertos Teorema se considerarmos dois conjuntos fechados e então o conjunto dado por é também fechado Se considerarmos uma família de conjuntos fechados representada por isso é para todo o conjunto é fechado então o conjunto dado por é também fechado O teorema anterior caracteriza duas importantes características dos conjuntos abertos A primeira diz que a interseção de dois abertos quaisquer é sempre um aberto Isso vale mais geralmente para qualquer interseção finita isto é qualquer interseção de um número finito de conjuntos abertos sempre será aberta Em contrapartida a união de abertos é sempre aberta e isso vale para qualquer união de abertos seja ela finita ou infinita Vamos ver alguns exemplos para ilustrar essas propriedades Fundamentos de Análise 7 Considere os conjuntos fechado e A interseção entre eles é e é também um conjunto fechado Se considerarmos para todo os fechados então é fechado o que nos leva a conclusão que a reta real é considerada um conjunto fechado Vamos ver um exemplo de uma união infinita de fechados que não é um fechado Considere para todo os abertos dados por Deste modo temos que Note que pois nenhum fechado contém o mas ao mesmo tempo tal que e portanto Dessa forma qualquer vizinhança aberta de intersecta a união o que significa que é um ponto aderente de que não pertence a essa união logo não é fechado É importante pontuar que no exemplo anterior temos que não é aberto nem fechado Temos uma relação entre conjuntos abertos e fechados que é apresentada no teorema seguinte Teorema um conjunto é fechado se e somente se seu complementar dado por é aberto Com base nesse teorema podemos entender melhor por que e são ao mesmo tempo abertos e fechados Já vimos anteriormente como o conjunto pode ser visto como a interseção de dois abertos Dessa forma o conjunto vazio é aberto e pelo teorema anterior seu complementar que é toda a reta real é fechado No entanto também conseguimos construir a reta real como uma união infinita de abertos e portanto é um aberto O complementar da reta real é o conjunto vazio e portanto é fechado Reunimos essas características no próximo teorema Teorema os únicos subconjuntos que são ao mesmo tempo abertos e fechados dentro do conjunto dos números reais são o conjunto vazio e toda a reta real Pode parecer estranho à primeira vista mas como ambos satisfazem as definições de aberto e fechado esses dois conjuntos são os únicos subconjuntos da reta real que são tanto abertos quanto fechados A Matemática apesar de extremamente lógica pode apresentar alguns paradoxos principalmente quando tentamos verbalizar algumas ideias Paradoxo é o oposto do que alguém pensa ser a verdade ou o contrário a uma opinião admitida como válida Um paradoxo consiste em uma ideia incrível contrária do que se espera Também pode representar a ausência de nexo ou lógica Fundamentos de Análise 8 O uso desses paradoxos pode ser uma forma de despertar o interesse dentro de sala de aula O filósofo grego Zenão é conhecido pelo paradoxo de Aquiles e a tartaruga O contexto para esse paradoxo é a seguinte história Aquiles e uma tartaruga disputariam uma corrida mas como a tartaruga era muito mais lenta que Aquiles ele deixa que ela comece com uma vantagem começando alguns metros à frente Segundo o paradoxo de Zenão Aquiles jamais alcançaria a tartaruga Sua justificativa é que Aquiles parte do ponto A e a tartaruga do ponto B muito à frente de A Quando Aquiles chegar ao ponto B a tartaruga já terá se movido e estará no ponto C Quando Aquiles chegar ao ponto C a tartaruga já terá se movido novamente para o ponto D e assim por diante Portanto Aquiles jamais alcançaria a tartaruga Esse paradoxo é possível pois Zenão desconsidera o tempo um dos fatores físicos que interfere na corrida Existem diversos outros paradoxos na Matemática que podem servir de ponto de partida para introduzir novos conteúdos e conceitos Outra nomenclatura usada na topologia geral que também pode ser aplicada para a topologia na reta é a ideia de bola Uma bola aberta centrada num ponto de raio denotase por e é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto do ponto é menor que formalmente é definido como sendo No caso dos números reais temos que ou seja uma bola aberta é uma vizinhança aberta de um ponto Podemos também definir bola fechada Uma bola fechada centra num ponto de raio denotase por é o conjunto dos pontos cuja distância ao ponto do ponto é menor ou igual a formalmente é definido como sendo No caso dos números reais temos que Como dito anteriormente os conceitos de bola aberta e bola fechada são também definidos em topologia geral e é por isso que são chamados de bolas No nosso caso como estamos trabalhando apenas com a reta real as bolas abertas serão sempre intervalos abertos e as bolas fechadas serão sempre intervalos fechados Em Matemática é muito importante saber como negar uma afirmação Muitas vezes pode não ser tão simples mas sempre segue um raciocínio lógico muito bem definido Por exemplo vimos a definição de ponto interior na primeira seção desta unidade Dada a definição de ponto interior você deve ser capaz de expressar a definição do que é não ser um ponto interior Fundamentos de Análise 9 significa que é um ponto interior de um subconjunto e portanto tal que Agora se isso significa que não é ponto interior de e portanto vale que Perceba que a expressão existe epsilon maior que zero da definição de ponto interior quando negada se torna para todo epsilon maior que zero Um ponto é ponto interior de um subconjunto se existe uma vizinhança aberta deste ponto que está inteiramente contida no conjunto Logo um ponto não é interior de um subconjunto se para toda vizinhança aberta desse ponto existem pontos exteriores ao conjunto Podemos da mesma forma definir o que significa um ponto não ser aderente a um conjunto Um ponto não é aderente ao subconjunto se tal que ou seja existe uma vizinhança aberta do ponto que não possui nenhum ponto do conjunto Sempre que uma nova definição for introduzida tente sempre mostrar como negar essa definição 3 Ponto de acumulação Definição diremos que é um ponto de acumulação de um conjunto se toda vizinhança aberta de contém infinitos pontos de Vale também a seguinte caracterização é um ponto de acumulação de um conjunto se vale que Se considerarmos o conjunto então todo é ponto de acumulação pois se então vale que Vamos agora considerar o conjunto Novamente todo é ponto de acumulação mas além disso temos que é também ponto de acumulação de pois vale que Da mesma forma o ponto é ponto de acumulação de pois vale que Os conjuntos e apesar de possuírem os mesmos pontos de acumulação não são o mesmo conjunto Os conceitos de ponto de acumulação e ponto de aderência são muito parecidos mas não são equivalentes Vamos ver um exemplo em que um ponto é ponto de aderência mas não é ponto de acumulação Considere o conjunto unitário formado apenas pelo ponto Note que e portanto para todo vale que e portanto não é ponto de acumulação do conjunto No entanto temos que para todo vale que e portanto é ponto de aderência do conjunto Quando mas não é ponto de acumulação do conjunto chamamos de ponto isolado O conjunto dos números inteiros é um subconjunto dos reais formado apenas por pontos isolados Fundamentos de Análise 10 Alguns subconjuntos dos reais possuem propriedades importantes como é o caso do subconjunto definido como sendo O conjunto é um conjunto formado só por pontos isolados assim como é o caso do conjunto dos inteiros Diferentemente do conjunto dos inteiros o conjunto tem um ponto de acumulação que é Note que satisfaz a definição de ponto de acumulação para pois por menor que seja sempre irá existir um número natural tal que e portanto Além disso para todo natural vale que e portanto também pertence a vizinhança Vamos agora mostrar que para todo o ponto é um ponto isolado Note que e além disso e Para provar que é de fato um ponto isolado precisamos exibir um valor tal que a vizinhança aberta que só intersecte no ponto Basta que você tome e assim é válido que Isso porque o ponto que pertence a que está mais perto de é o ponto mas como estamos tomando segue que Esse tipo de situação é generalizado no seguinte teorema Fundamentos de Análise 11 Teorema todo conjunto infinito que é limitado possui pelo menos um ponto de acumulação O conjunto descrito anteriormente é infinito e limitado portanto ele deve possuir pelo menos um ponto de acumulação no caso o 0 Note que o conjunto dos inteiros apesar de ser infinito não tem nenhum ponto de acumulação Isso não contraria o teorema anterior pois apesar de o conjunto dos números inteiros ser infinito ele não é limitado e portanto não está dentro do caso do teorema acima É sempre importante verificar se o caso que estamos estudando se encaixa em todas as hipóteses de um teorema antes de aplicálo A topologia é uma área da matemática que estuda os espaços topológicos e tem dentre seus principais objetos os subconjuntos abertos e fechados de um espaço Apresentamos a definição de ponto interior e como caracterizar os conjuntos abertos e fechados da reta real Observamos também que um conjunto pode ser não aberto e também não fechado ao mesmo tempo como o intervalo Os dois únicos conjuntos que são abertos e fechados simultaneamente nos reais são o conjunto vazio e a própria reta real Apresentamos as definições de ponto de aderência ponto de acumulação e ponto isolado Apresentamos diversos exemplos para compreender melhor esses objetos e também as relações entre eles por exemplo nem todo ponto de aderência é um ponto de acumulação Referências ÁVILA G S S Análise matemática para licenciatura 3 ed São Paulo Blucher 2019 LIMA E L Análise real funções de uma variável Coleção Matemática Universitária 8 ed Rio de Janeiro IMPA 2006 PANONCELI D M l Análise matemática Curitiba Intersaberes 2017 MICHAELIS Paradoxo 2020 Disponível em httpmichaelisuolcombr buscar0f0t0palavraparadoxo Acesso em 6 nov 2020 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