Fundamentos da Analise Integral Unigranrio - Material Didatico NEAD

Fundamentos de Análise Integral Produção Gerência de Desenho Educacional NEAD Desenvolvimento do material Gregório Luís Dalle Vedove Nosaki 1ª Edição Copyright 2021 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Núcleo de Educação a Distância wwwunigranriocombr Rua Prof José de Souza Herdy 1160 25 de Agosto Duque de Caxias RJ Reitor Arody Cordeiro Herdy PróReitoria de Programas de PósGraduação Nara Pires PróReitoria de Programas de Graduação Lívia Maria Figueiredo Lacerda PróReitoria Administrativa e Comunitária Carlos de Oliveira Varella Núcleo de Educação a Distância NEAD Márcia Loch Sumário Integral Para Início de Conversa 4 Objetivo 4 1 Integral de Funções 5 2 Definição e Generalidades 7 3 Propriedades Operatórias 11 4 Condição Necessária e Suficiente para Integrabilidade 12 Referências 14 Fundamentos de Análise 3 Para Início de Conversa Neste capítulo vamos trabalhar com as integrais de funções reais que são a última parte do objeto de estudo em análise real Uma das motivações que levaram ao desenvolvimento do cálculo infinitesimal para construir o conceito de integral foi a necessidade de calcular a área formada pela curva do gráfico e o eixo horizontal do plano cartesiano Hoje já conhecemos diversas outras aplicações para esse conceito que também pode ser generalizado para diversos outros espaços Faremos uma breve revisão sobre os conceitos de supremo e ínfimo de um conjunto e também apresentaremos algumas propriedades desses dois elementos Vamos também definir o que iremos considerar como uma partição de um intervalo e como refinar essa partição Finalmente iremos definir o conceito de integral de uma função real baseado na soma inferior e soma superior Trabalharemos com algumas das principais propriedades operatórias que são válidas para funções reais integráveis e também iremos enunciar resultados que garantem condições suficientes e necessárias para que uma função seja integrável Objetivo Compreender os conceitos de Integral definida e indefinida suas relações e a relação com o conceito de derivada Fundamentos de Análise 4 1 Integral de Funções O conceito de integral compõe o último objeto de estudo de um primeiro curso de cálculo e também é objeto de estudo na Análise Real Destacamos aqui a importância e relação entre esse conceito e o de derivada O professor Elon Lages Lima descreve em um dos seus principais livros de Análise Real As noções de derivada e integral constituem o par de conceitos mais importantes da Análise Enquanto a derivada corresponde à noção geométrica de tangente e à ideia física de velocidade a integral está associada à noção geométrica de área e à ideia física de trabalho É um fato notável e de suma importância que essas duas noções aparentemente tão diversas estejam intimamente ligadas LIMA 2009 p165 O professor Elon Lages Lima nasceu em Maceió no ano de 1929 e possui diversos livros didáticos publicados que são amplamente usados nos cursos de Matemática em todo o Brasil Ele obteve seu diploma de bacharelado em Matemática no ano de 1953 seu título de mestre em 1955 e de doutor em 1958 ambos pela Universidade de Chicago Trabalhou boa parte da sua vida no Instituto de Matemática Pura e Aplicada IMPA no Rio de Janeiro um dos centros de referência em pesquisas matemáticas no mundo inteiro Sempre se mostrou preocupado com a divulgação da Matemática e também com a formação do professor de Matemática e por isso criou diversos livros e coleções para auxiliar nesse processo formativo O professor Elon faleceu em 2017 no Rio de Janeiro Já apresentamos os conceitos de supremos e ínfimos de conjuntos reais Vamos retomar esses elementos e apresentar alguns resultados e propriedades que eles possuem Considere uma função real O supremo da função é a menor das cotas superiores do conjunto imagem da função isso é Da mesma forma definimos o ínfimo da função como sendo a maior das cotas inferiores do conjunto imagem da função isto é As seguintes propriedades foram retiradas de Lima 2009 e suas demonstrações podem ser encontradas neste mesmo livro Lema Considere dois conjuntos tais que para todo e todo vale que Neste caso temos que Lema Considere dois conjuntos limitados e um real Os conjuntos dados por Fundamentos de Análise 5 e são também limitados Além disso vale que e Se então e se então e Como resultado imediato do lema anterior temos um resultado semelhante para funções limitadas Ele é apresentado como um corolário Corolário Considere duas funções reais e limitadas e uma constante As funções e são também limitadas Além disso vale que e Se então e se então e Fundamentos de Análise 6 2 Definição e Generalidades Vamos agora construir intuitivamente a integral de Riemann a partir da ideia de que ela irá representar a área formada pelo gráfico de uma função e o eixo horizontal do plano cartesiano Primeiro precisamos definir o que iremos considerar como sendo uma partição de um intervalo Definição Dado um intervalo definimos como uma partição do intervalo como sendo um conjunto de pontos tais que Ao subintervalo dáse o nome de ésimo intervalo da partição do intervalo tem comprimento e vale que Se e são partições de um mesmo intervalo diremos que refina ou que é mais fina que se A maneira mais simples de se refinar uma partição de um intervalo é adicionar mais um ponto a partição Considere uma função limitada Denotaremos por uma letra minúscula o ínfimo de e por uma letra maiúscula o supremo de ou seja e Dado um intervalo e uma partição de Considere ainda uma função limitada Denotaremos por e o ínfimo e o supremo respectivamente da função no ésimo intervalo da partição isso é e Definição A soma inferior da função relativamente à partição é o valor Fundamentos de Análise 7 A soma superior da função relativamente à partição é o valor Ao efetuar a partição de um intervalo nós o subdividimos em intervalos menores A soma inferior calcula a área dos retângulos que têm por base os subintervalos da partição e por altura o valor do ínfimo da função avaliada em cada um deles De maneira análoga a soma superior também calcula o valor de uma área formada por retângulos com as bases sendo os subintervalos da partição mas com a altura sendo o supremo da função avaliada em cada um deles Observe a figura abaixo que representa a soma inferior de uma função a b fx Figura 1 Soma interior de uma função Fonte Wikimedia Aqui estamos falando sobre a noção de área do gráfico da função formada em relação ao eixo x mas como estamos trabalhando no plano cartesiano esses valores podem ser negativos Apesar de ser um conceito de área e que portanto não pode ser negativo o sinal nesse cálculo nos indica se o gráfico da função está acima ou abaixo do eixo x No gráfico abaixo vemos a representação de uma função que possui valores positivos e negativos Ao calcularmos a área dos retângulos representados na figura teremos valores positivos para os retângulos azuis e valores negativos para os retângulos amarelos Figura 2 Gráfico de função e retângulos de soma de Riemann Fonte Wikimedia Fundamentos de Análise 8 Baseado nessa representação iremos definir o conceito de integral superior e integral inferior Definição Considere uma função limitada Definimos a integral inferior da função como sendo o supremo de todas as somas inferiores tomado sobre todas as partições finitas do intervalo isto é Definimos como a integral superior da função como sendo o ínfimo de todas as somas superiores tomado sobre todas as partições finitas do intervalo isso é Alguns resultados relacionados às somas inferiores e superiores são imediatos das suas definições e também nos ajudam a compreender melhor como as integrais inferiores e superiores se comportam Enunciaremos alguns desses resultados a seguir Teorema Considere uma função limitada e duas partições e do intervalo tais que Dessa forma vale que e O teorema anterior nos fornece uma informação muito importante quanto ao comportamento das somas inferiores e superiores de uma função limitada quando refinamos a partição Ao refinar uma partição a soma inferior nunca diminui enquanto que a soma superior nunca aumenta Vejamos em um simples exemplo o que esse resultado significa Exemplo Considere a função dada por Se considerarmos uma partição com apenas dois pontos ou seja temos que o ínfimo da função no intervalo é e o supremo de no intervalo é e portanto e Se considerarmos uma outra partição como sendo agora com três pontos devemos avaliar o ínfimo e supremo em cada um dos dois subintervalos da partição O ínfimo de no intervalo é e no intervalo é portanto Fundamentos de Análise 9 O supremo de no intervalo é e no intervalo é portanto Note que a partição refina a partição e neste caso temos que e como o teorema anterior afirmava Como resultado imediato do último teorema temos o seguinte corolário Corolário Considere uma função limitada tal que para todo Dada qualquer partição do intervalo vale que Diremos que uma função é integrável quando sua soma superior e soma inferior forem iguais ou seja Chamamos esse valor de integral ou integral de Riemann da função no intervalo e denotamos por O nome de integral de Riemann é uma homenagem ao matemático alemão Bernhard Riemann que teve grandes contribuições não só para o cálculo infinitesimal mas também para diversos outros ramos da matemática Existem outros tipos de integrais que podem ser definidas mas aqui sempre que usarmos o conceito de integral ou integrabilidade estaremos nos referenciando à integral de Riemann Até o momento estamos apenas considerando que a função seja limitada No entanto essa não é uma condição suficiente para que ela seja integrável Vejamos o clássico exemplo da função de Dirichlet que serve de contraexemplo para essa afirmação Exemplo A função de Dirichlet pode ser definida para toda a reta real mas aqui iremos nos restringir ao intervalo Considere a função definida como sendo Fundamentos de Análise 10 Essa função atribui o valor 1 para todos os pontos racionais no intervalo enquanto para os pontos irracionais no intervalo ela atribui o valor 0 logo tratase de uma função limitada pois seu conjunto imagem são apenas os pontos 0 e 1 Esse é um exemplo de uma função que é descontínua em todos os pontos do seu domínio Existe uma propriedade dos números reais que afirma que entre dois pontos racionais distintos da reta sempre existe um valor irracional e o mesmo vale para dois pontos irracionais distintos Dessa forma temos que para qualquer intervalo aberto da reta por menor que seja sempre haverá números racionais e irracionais Assim o ínfimo da função de Dirichlet em cada intervalo aberto é igual a 0 e o supremos é igual a 1 fazendo com que a soma inferior e superior de qualquer partição do intervalo sejam diferentes Portanto a função de Dirichlet não é integrável 3 Propriedades Operatórias Antes de analisarmos algumas condições necessárias e suficientes para que uma função real seja integrável vamos enunciar propriedades operatórias de funções integráveis Os resultados apresentados aqui podem ser encontrados com suas respectivas demonstrações em Panonceli 2017 Teorema é uma função integrável no intervalo se e somente se para todo com vale que é também integrável nos intervalos e Mais do que isso vale ainda que Teorema Considere duas funções integráveis e Valem as seguintes propriedades 1 A soma de funções integráveis é integrável e vale que 2 Para toda constante vale que 3 Se existe tal que então o quociente é também integrável 4 Se vale que para todo então vale que Fundamentos de Análise 11 5 A função é também integrável e vale que 4 Condição Necessária e Suficiente para Integrabilidade Diremos que uma condição é suficiente para a garantir a integrabilidade de uma função se toda função que satisfizer a essa condição for necessariamente integrável Em contrapartida diremos que uma condição é necessária para a integrabilidade de uma função se toda função que for integrável satisfaz necessariamente a essa condição Alguns resultados possibilitam garantir a integrabilidade de funções reais Vamos apresentar alguns desses resultados a seguir Teorema Toda função que é contínua é também integrável Lembrando que uma função é dita contínua se é contínua em todos os pontos do seu domínio Teorema Toda função monótona é também integrável Os dois teoremas anteriores podem ser considerados uma consequência de um teorema ainda mais geral que envolve conjuntos de medida Vamos estabelecer algumas definições para poder enunciar esse resultado mais abrangente O comprimento de um intervalo com extremos e em que é Isso vale para qualquer intervalo com extremos e seja ele aberto como fechado como em ou semiaberto como em Denotamos a comprimento de um intervalo pela notação Definição Um conjunto tem medida nula se para todo é possível encontrar uma coleção finita ou infinita de intervalos abertos tais que e além disso Na definição anterior não indicamos os índices na união dos conjunto e nem no somatório de seus comprimentos pois essas operações podem ser em um conjunto finito ou infinito a depender do conjunto Um conjunto unitário isto é um conjunto com apenas um ponto tem medida nula Contudo geralmente qualquer conjunto formado por um número finito de pontos também tem medida nula Na verdade podemos provar que todo subconjunto enumerável da reta real tem medida nula Fundamentos de Análise 12 Dizemos que um conjunto é enumerável se existe uma relação entre os números naturais e o conjunto isto é diremos que é enumerável se existe uma função sobrejetora de que associa a cada número natural um elemento de Os exemplos mais clássicos de conjuntos enumeráveis da reta real são os próprios números naturais os números inteiros e os números racionais Apesar de parecer estranho que os conjuntos dos números inteiros e dos racionais sejam enumeráveis é possível definir funções dos naturais nesses conjuntos provando que os três conjuntos possuem o mesmo número de elementos Essa é uma das características mais peculiares do conceito infinito na Matemática Voltando aos critérios de integrabilidade temos o seguinte teorema que engloba os dois teoremas anteriores Teorema Uma função é integrável se o conjunto dos seus pontos de descontinuidade tem medida nula Note que se é contínua então ela é integrável Isso significa que o fato de ser contínua é uma condição suficiente para que ela seja integrável no entanto a continuidade não é uma condição necessária para a integrabilidade O último teorema nos fornece a informação de que se o conjunto de pontos de descontinuidade no domínio da função tiver medida nula então a função é integrável ou seja a função pode não ser contínua e ainda assim ser integrável Apresentaremos um último teorema que nos fornece caracterizações equivalentes para a integrabilidade de uma função real Teorema Considere uma função real limitada As afirmações a seguir são equivalentes é integrável Para todo existem partições e de tais que Para todo existe uma partição de tal que Nesse caso as condições expressas nos itens 2 e 3 do teorema anterior são condições suficientes e necessárias para que a função seja integrável por isso usamos a denominação de que as afirmações são equivalentes Neste capítulo abordamos o conceito de integrais de funções reais e suas propriedades Construímos de maneira intuitiva o conceito de integral a partir da ideia de calcular a área de um gráfico de uma função Definimos as partições de um intervalo que faz parte do domínio da Fundamentos de Análise 13 função e a partir dessa divisão avaliamos a função e pudemos aproximar o cálculo da área Tratase de um conceito muito completo e complexo dentro da análise e que requer uma atenção especial pois nem toda função real é integrável Nesse sentido também abordamos condições que são suficientes para garantir a integrabilidade de determinadas funções reais Vimos o exemplo da função de Dirichlet que é uma função limitada descontínua em todos os pontos do seu domínio e não integrável Referências ÁVILA G S S Análise matemática para licenciatura 3 ed São Paulo Blucher 2019 ÁVILA G S S Introdução à análise matemática 2 ed São Paulo Blucher 2016 LIMA E L Análise Real Funções de uma variável 10 ed Rio de Janeiro IMPA 2009 LIMA E L Academia Brasileira de Ciências Disponível em httpwww abcorgbrmembroelonlageslima Acesso em 2 dez 2020 PANONCELI DM l Análise matemática Curitiba Intersaberes 2017 Fundamentos de Análise 14