Exercícios Resolvidos - Funções Custo Receita Lucro e Depreciação Exponencial

Questão 1 05 Uma determinada indústria de calçados fabrica botas de montaria O custo fixo mensal da indústria é R 845000 inclui conta de energia elétrica de água impostos salários e etc Existe também um custo variável que depende da quantidade de botas produzidas sendo que o custo de produção de cada par é R 5100 Determine o que se pede considerando que o valor de cada par de botas no mercado seja equivalente a R 22000 Determine as funções abaixo considerando x como a unidade de par de botas a A função custo b A função receita c A função lucro d Calcule o valor do lucro na venda de 350 pares de botas e Quantos pares de botas no mínimo precisam ser vendidos para que não se tenha prejuízo Solução a No item a devemos considerar que a função custo é a soma da parte variável custo variável com a parte fixa custo fixo Assim a função custo para essa situação é Cx 51x 8450 b No item b basta observar que a receita será o resultado do preço multiplicado pela quantidade vendida isto é Rx 220x c Já o lucro é Receita Custo e portanto teremos d Lx Rx Cx 220x 51x 8450 169x 8450 e O lucro obtido na venda de 350 botas será de L350 169350 8450 50700 ou seja R5070000 f Para que não se tenha prejuízo devemos considerar que Lx 0 169x 8450 0 169x 8450 x 8450169 50 Logo a empresa deve vender no mínimo 50 pares de botas para não ter prejuízo Veja que ao vender 50 a receita será exatamente igual ao custo Questão 2 05 Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa fixa de 75 aplicada ano após ano Sabendo que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor na compra é de 46 mil reais a Obtenha o valor M em função dos anos x após a compra do automóvel isto é Mfx b Calcule o valor do automóvel após 5 anos da compra c Após quanto tempo o valor do automóvel será a metade do valor de compra Solução a Se desvaloriza 75 ao ano então cada ano teremos 925 do valor do ano anterior assim Mx 46 1 0075x 46 0925x b M5 46 09255 31150 Ou seja o valor será 31 150 reais após cinco anos c Queremos saber o tempo x para o qual Mx 23 mil reais Assim temos 46 0925x 23 0925x 2346 0925x 05 Aplicando a função logarítmica dos dois lados temos log0925x log05 x log0925 log05 x log05log0925 030103003385 89 Ou seja teremos a metade do valor original em aproximadamente 9 anos Questão 3 05 Segundo estimativas da ONU Organização das Nações Unidas no ano 2005 a população mundial que era de 6453 bilhões de habitantes crescia de forma exponencial segundo a função P P0 e0012 t em que P0 é a população no tempo t0 ou seja no ano de 2005 e t corresponde ao tempo em anos a partir de 2005 a Segundo esta projeção quantos habitantes nasceriam ao final de um ano b Segundo esta mesma projeção após quanto tempo a população chegaria a 7 bilhões de habitante e em que ano isto ocorreria aproximadamente c Da mesma forma após quanto tempo a população chegaria a 9 bilhões de habitantes Solução a P1 6453 e0012 1 6453 1012 6 531 bilhões de habitantes Logo em um ano nasceriam