Autovalores e Autovetores da Matriz A - Exercício Resolvido

Questão 3 Considere a seguinte matriz real A 2 2 1 2 1 2 1 2 2 a 1 ponto Mostre que o polinômio característico de A é pAλ λ 32λ 3 b 15 ponto Para cada autovalor de A determine os autovetores correspondentes c 15 pontos A matriz A é diagonalizável Em caso afirmativo dê uma matriz ortogonal Q de forma que Qt A Q seja diagonal Solução a Por um lado pAλ det2 λ 2 1 2 1 λ 2 1 2 2 λ 2 λ1 λ 4 4 1 λ 42 λ 42 λ 4 4λ λ21 λ 23 9λ λ3 3λ2 9λ 27 Por outro lado desenvolvendo o polinômio dado no enunciado λ 32λ 3 λ2 6λ 9λ 3 λ3 3λ2 9λ 27 Logo pAλ λ 32λ 3 b Do polinômio característico temos que os autovalores de A são λ1 3 com multiplicidade algébrica 1 e λ2 3 com multiplicidade algébrica 2 Para determinar os autovetores associados ao autovalor λ1 3 precisamos estudar kerA 3I 5 2 1 2 2 2 1 2 5x y z 0 0 0 5x 2y z 0 2x 2y 2z 0 x 2y 5z 0 Somando a terceira equação as duas primeiras obtemos z x Substituindo esse resultado na terceira equação obtemos y 2x Portanto os autovetores associados a λ1 3 são da forma x 2x x para x R não nulo Podemos escolher o autovetor X1 1 2 1