Base e Ortonormalização em Subespaço R3 - Exercício Resolvido

Questão 3 Seja S o subespaço de R³ definido por S x y z R³ x y z 0 1 1 ponto Dê uma base para S mostre que o conjunto proposto é base de fato 2 15 pontos Considere em R³ o produto interno dado por x y z x y z 2xx 3yy zz Encontre uma base ortonormal de S com respeito a este produto interno dado Solução 1 Perceba que 1 1 0 e 0 1 1 pertencem a S Agora seja x y z S se x y z 0 então x z y Logo x y z x x z z x x 0 0 z z x1 1 0 z0 1 1 Portanto o conjunto β 1 1 0 0 1 1 gera o subespaço S Como 1 1 0 a0 1 1 a R β é linearmente independente e portanto é base 2 Pelo processo de GramSchimidt tomamos q₁ 1 1 0 e q₂ 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 201 311 10 211 311 00 1 1 0 0 1 1 35 1 1 0 35 25 1 Agora tome q₁ q₁ q₁ q₁ 55 55 0 q₂ q₂ q₂ q₂ 35555 25555 5511 Assim β q₁ q₂ é base ortonormal de S