Projeção Ortogonal em R4 - Solução e Análise do Kernel

Questão 4 2 pontos Considere em R4 o produto interno canônico Seja P R4 R4 o operador de projeção ortogonal de R4 sob o espaço U xyzw R4 x5z e w7y Mostrar que ker P 10500701 Solução Primeiro observamos que um vetor qualquer de U é da forma 5zyz7y z5010 y0107 Nomeando u1 5010 e u2 0107 temos que U u1u2 Também como u1u2 é linearmente independente pois um não é múltiplo do outro segue que dim U 2 Assim observando que Im P U pois P é projeção ortogonal segue pelo Teorema NúcleoImagem que dim ker P dim R4 dim Im P dim R4 dim U 4 2 2 Além disso nomeando w1 1050 e w2 0701 temos que w1 e w2 são ortogonais a cada um dos geradores de U e portanto w1w2 U Logo por propriedade de projeção ortogonal Pw1 Pw2 0 ou seja w1w2 ker P Como dim ker P 2 e w1w2 é linearmente independente pois um não é múltiplo do outro concluímos que ker P w1w2 10500701 Observação 1 Um segundo jeito de resolver essa questão é calcular explicitamente a expressão de P Observando que u1u2 é uma base ortogonal de U para v xyzw R4 obtemos a expressão Pv vu1 u1u1 u1 vu2 u2u2 u2 5xz26 5010 y7w50 0107 5265xz 150y7w 1265xz 750y7w Agora calculando o núcleo de P para v xyzw R4 temos que Pv 0 5xz0 y7w0 z5x y7w Assim um vetor qualquer de ker P é da forma x7w5xw x1050 w0701 e portanto ker P 10500701 Observação 2 Um terceiro jeito de resolver essa questão é observar que ker P U por propriedade de projeção ortogonal Como Uu1u2 temos que v xyzw U se e somente se 0vu15xz 0vu2y7w Concluímos que ker P U 10500701