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Engenharia Agrícola ·
Álgebra Linear
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Questão 4 Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas Justifique adequadamente 1 125 pontos Seja T ℝ⁴ ℝ² uma transformação linear tal que kerT x y z w ℝ⁴ x 5z e w 7y Então T é sobrejetora 2 125 pontos Existe uma transformação linear T P₂ℝ P₂ℝ cujo núcleo é gerado pelos polinômios 1 x 1 x² Solução 1 A afirmação é verdadeira Veja que se x y z w kerT então x y z w 5z y z 7y z5 0 1 0 y0 1 0 7 Como kerT é gerado por 2 vetores li dimkerT 2 Agora pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos que dimℝ⁴ dimImT dimkerT 4 dimImT 2 dimImT 2 Logo ImT ℝ² 2 A afirmação é verdadeira Tome a transformação T P₂ℝ P₂ℝ tal que Ta bx cx² a b c Veja que Ta bx cx² 0 a b c 0 a b c Logo se p a bx cx² kerT então p b c bx cx² b1 x c1 x² ou seja kerT é gerado pelos polinômios 1 x 1 x²
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