Autovalores e Autovetores de Operador Linear em P3R - Solução Detalhada

Questão 2 15 pontos Encontre os autovalores e autovetores do operador T P3R P3R definido como Tpx x px para todo polinômio px em P3R Solução Observamos que T1 0 0 1 Tx x 1 x Tx² 2x² 2 x² Tx³ 3x³ 3 x³ Portanto 0 é um autovalor com autovetor associado 1 1 é um autovalor com autovetor associado x 2 é um autovalor com autovetor associado x² e 3 é um autovalor com autovetor associado x³ Como cada um dos quatro autoespaços V0 V1 V2 e V3 tem dimensão pelo menos 1 e dim P3R 4 segue que esses são todos os autovalores e autovetores associados do operador T V0 1 V1 x V2 x² e V3 x³ Observação Um segundo jeito de resolver essa questão é considerar β 1 x x² x³ a base canônica de P3R e calcular Tββ Das contas acima temos que Tββ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 Como Tββ é uma matriz diagonal concluímos que os autovalores de T são os valores na diagonal principal ou seja 0 1 2 e 3 com autovetores associados 1 x x² e x³ respectivamente Como cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 concluímos que cada autoespaço tem dimensão exatamente 1 pois a multiplicidade geométrica é menor ou igual à multiplicidade algébrica e portanto todos os autovetores foram encontrados V0 1 V1 x V2 x² e V3 x³