Autovalores e Autovetores Diagonalizacao de Matriz A

associado ao autovalor λ1 3 Para determinar os autovetores associados ao autovalor λ2 3 precisamos estudar kerA 3I 1 2 1 2 4 2 1 2 1x y z 0 0 0 x 2y z 0 Portanto os autovetores associados a λ2 3 são da forma 2y z y z y2 1 0 z1 0 1 para y z R não simultaneamente nulos Podemos escolher os autovetores X2 1 0 1 e X3 2 1 0 associados ao autovalor λ2 3 c A matriz A é diagonalizável pois possui três autovetores linearmente independentes De fato como A é uma matriz simétrica poderíamos afirmar que A é ortogonalmente diagonalizável no início Para encontrar Q ortogonal como no enunciado precisamos de um conjunto ortonormal de autovetores de A Primeiro vamos nos preocupar em encontrar um conjunto ortogonal de autovetores depois normalizamos Considere o espaço vetorial R3 com produto interno usual e a transformação linear T R3 R3 tal que Tββ A onde β é a base canônica de R3 Os autovetores de T são v1 1 2 1 associado ao autovalor λ1 3 e v2 101 e v3 210 associados ao autovalor λ2 3 Como A é uma matriz simétrica consequentemente T é um operador simétrico autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais Assim podemos aplicar o processo de ortogonalização de GramSchimidt separadamente em cada autoespaço Vamos aplicar o processo no conjunto v2 v3 autovetores associados a λ2 3 q1 v2 101 q2 v3 v3 q1q1 q1q1 210 210 101101 101101 210 101 111 Normalizando temos os autovetores u2 12 0 12 e u3 13 13 13 Além disso normalizando v1 obtemos u1 16 26 16 Seja γ u1 u2 u3 observamos que γ é uma base ortonormal de autovetores de T e Tγγ 3 0 0 0 3 0 0 0 3