Exercícios Resolvidos - Operadores Lineares Simétricos e Ortogonais

Questão 1 Sejam V espaço vetorial real de dimensão finita munido do produto interno e T V V um operador linear Mostrar que a 125 ponto Se T é simétrico e ortogonal então T² I b 125 ponto Se T é simétrico e T² I então T é ortogonal Dica Considere uma base ortonormal β de V e utilize a matriz A Tᵦᵦ Solução a Seja T V V operador simétrico e ortogonal Como V tem dimensão finita tome β v₁vₙ uma base ortonormal de V e considere A Tᵦᵦ Como β é uma base ortonormal sabemos que T ser simétrico e ortogonal implica que A é uma matriz simétrica e ortogonal ou seja Aᵗ A e AAᵗ Iₙ onde Iₙ é a matriz identidade de Mₙₓₙℝ Assim T²ᵦᵦ A² AA AAᵗ Iₙ Iᵦᵦ Logo T² I b Seja T simétrico tal que T² I Do mesmo modo tome β v₁vₙ uma base ortonormal de V e considere A Tᵦᵦ Como β é uma base ortonormal sabemos que T ser simétrico e T² I implica que A é uma matriz simétrica e A² Iₙ Assim AAᵗ A² Iₙ ou seja A é uma matriz ortogonal Logo T é um operador ortogonal pois β é uma base ortonormal