Slide - Determinação das Solicitações e Eq de Singularidade - 2021-2

Determinação das Solicitações Equações de Singularidade Jaime Izuka Objetivos • Carregamento em Vigas • Vigas bi-apoiadas • Vigas engastadas • Vigas bi-apoiadas com extremidade em balanço • Viga indeterminada Força Cortante e Momento • Relação entre força cortante V, momento fletor M, carregamento distribuído q(x): 𝑞 𝑥 = 𝑑𝑉 𝑑𝑥 = 𝑑2𝑀 𝑑𝑥2 Força Cortante e Momento • Conhecendo o carregamento distribuído q(x): න 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑑𝑉 = න 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑞dx න 𝑀𝐴 𝑀𝐵 𝑑𝑀 = න 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑉dx Convenções de Sinais • Força cortante positiva: rotação horária na secção que atua. • Momento fletor positivo: deflexão côncava para baixo, parte superior em compressão e parte inferior em tração. Positive shear force Positive bending moment Solução da Equação • Aproximação clássica: calcular as reações de apoio e desenhar os diagramas de força cortante e momento; • Através das funções de singularidade: representar os carregamentos através das funções de singularidade. Funções de Singularidade • Carregamentos em vigas => carregamentos pontuais ou carregamentos distribuídos descontínuos ao longo do comprimento; • Funções de singularidade são utilizadas para representar esta situação matemática; • Exemplo: função de singularidade impulso unitário: 𝑥 − 𝑎 −1 Variável de interesse Denota onde a função atua ou começa a atuar. Funções de Singularidade • Toda função de singularidade envolve uma restrição condicional; • Exemplo: impulso unitário vale ∞ se 𝑥 = 𝑎 e vale 0 para qualquer outro valor de x. Tipos de Carregamentos • Carregamento concentrado 𝑥 − 𝑎 −1 : função impulso, que vale ∞ para 𝑥 = 𝑎 e vale 0 para todos os outros valores de x. A sua integral vale 1. Tipos de Carregamentos • Carregamento uniformemente distribuído 𝑥 − 𝑎 0 : função degrau unitário ou Heaviside. Vale 0 para todos os valores menores que a e vale 1 para todos os valores de x maior que 𝑎 Tipos de Carregamentos • Carregamento distribuído linearmente 𝑥 − 𝑎 1 : função rampa unitária. Vale 0 quando 𝑥 ≪ 𝑎 e igual a 𝑥 − 𝑎 quando 𝑥 > 𝑎. Tipos de Carregamentos • Carregamento de distribuição quadrática 𝑥 − 𝑎 2 : função parabólica unitária. Vale 0 quando 𝑥 ≪ 𝑎 e igual a 𝑥 − 𝑎 2 quando 𝑥 > 𝑎. • Momentos concentrados. 𝑥 − 𝑎 −2 : função dipolo. Vale 0 quando 𝑥 < 𝑎 e 𝑥 > 𝑎 . É indeterminado para 𝑥 = 𝑎. Corresponde a um momento unitário aplicado em 𝑥 = 𝑎. Integrais da Função de Singularidade න −∞ 𝑥 𝜆 − 𝑎 2𝑑𝜆 = 𝑥 − 𝑎 3 3 න −∞ 𝑥 𝜆 − 𝑎 1𝑑𝜆 = 𝑥 − 𝑎 2 2 න −∞ 𝑥 𝜆 − 𝑎 0𝑑𝜆 = 𝑥 − 𝑎 1 න −∞ 𝑥 𝜆 − 𝑎 −1𝑑𝜆 = 𝑥 − 𝑎 0 න −∞ 𝑥 𝜆 − 𝑎 −2𝑑𝜆 = 𝑥 − 𝑎 −1 Exemplos