Slide - Tensão Deflexão e Deformação - 2020-2

EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão Deflexão e Deformação Jaime Izuka EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Definições Tensão é definida como força por unidade de área. Tensão Normal : Tensão de Cisalhamento : obs : 𝜎 = 𝑃 𝐴 𝜏 = 𝑃 𝐴𝑐𝑖𝑠 P P EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão no Elemento Infinitesimal Tensões Normais : Atuam na direção perpendicular (normal) à face do cubo e tendem a puxá-la (tensão de tração) ou empurrá-la (tensão de compressão) : 𝜎𝑥𝑥 , 𝜎𝑦𝑦 , 𝜎𝑧𝑧 Tensões de Cisalhamento : Atuam na direção paralela às faces dos cubos, em pares binários sobre faces opostas : 𝜏𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 , 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑦𝑧 , 𝜏𝑧𝑥 , 𝜏𝑧𝑦 e 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 , 𝜏𝑥𝑧 = 𝜏𝑧𝑥 , 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 (equilíbrio de forças). EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão no Elemento Infinitesimal Tensor de Tensões 𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧 Cada componente de tensão contém três elementos: • uma magnitude (σ ou τ), • a superfície onde atua, definida pela direção ao plano correspondente (primeiro subscrito), • uma direção de ação (segundo subscrito). σ : tensões normais e τ : tensões de cisalhamento. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Versores Normais à Superfície O sinal de cada componente de tensão é definido como positivo se o sinal normal à superfície e da direção da tensão são os mesmos, e negativo se forem diferentes. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão Bidimensional Estado Plano de Tensão Assume-se que 𝜎𝑧𝑧 = 0 , 𝜏𝑧𝑥 = 0 e 𝜏𝑦𝑧 = 0 EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Deformação no Elemento Infinitesimal Tensor de Deformação 𝜀𝑥𝑥 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑥 𝜀𝑦𝑦 𝜀𝑦𝑧 𝜀𝑧𝑥 𝜀𝑧𝑦 𝜀𝑧𝑧 • Deformação normal: 𝜀𝑥𝑥 , 𝜀𝑦𝑦 , 𝜀𝑧𝑧 • Deformação de cisalhamento : 𝜀𝑥𝑦 , 𝜀𝑥𝑧 , 𝜀𝑦𝑧 • Tensão e deformação são linearmente relacionadas pela lei de Hooke, na região elástica. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensões Principais • Os versores (sistemas de eixos) são convenientemente escolhidos para calcular as tensões aplicadas; • Tensão Normal e de Cisalhamento irão variar com a direção em qualquer sistema de coordenadas escolhido; • Planos nos quais as tensões de cisalhamento são nulas => só existem tensões normais, que são chamadas tensões principais; • Conjunto de eixos onde a tensão de cisalhamento são máximas => tensões de cisalhamento principais : ângulo de 𝟒𝟓𝒐 com os planos das tensões principais. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka • Planos nos quais as tensões de cisalhamento são nulas => só existem tensões normais, que são chamadas tensões principais; • Conjunto de eixos onde a tensão de cisalhamento são máximas => tensões de cisalhamento principais : ângulo de 𝟒𝟓𝒐 com os planos das tensões principais. Elemento Bidimensional EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Motivação • Para o projeto, precisamos saber qual a maior tensão que existe em um ponto, e estas tensões são chamadas de tensões principais; • Estas maiores tensões (tensões principais) geralmente irão determinar se a falha do material irá ocorrer; • Geralmente estamos mais preocupados com o valor absoluto (magnitude) da tensão principal, e não com a sua direção (exceção feita aos materiais anisotrópicos, ex madeira). EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão Aplicada e Tensão Principal • Precisamos resolver o problema de auto valor e auto vetor: • 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 − 𝜎 𝜏𝑦𝑧 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧 − 𝜎 𝜂𝑥 𝜂𝑦 𝜂𝑧 = 0 0 0 • 𝜎 :magnitude da tensão principal, 𝜂 : direções 𝑨 EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão Principal • Para que a solução seja diferente da trivial : det 𝐴 = 0 • Dessa forma : 𝜎3 − 𝐶2𝜎2 − 𝐶1𝜎 − 𝐶0 = 0 onde 𝐶2 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 𝐶1 = 𝜏𝑥𝑦 2 + 𝜏𝑦𝑧 2 + 𝜏𝑥𝑧 2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 − 𝜎𝑦𝜎𝑧 − 𝜎𝑧𝜎𝑥 𝐶0 = 𝜎𝑥𝜎𝑦𝜎𝑧 + 2𝜏𝑥𝑦𝜏𝑦𝑧𝜏𝑧𝑥 − 𝜎𝑥𝜏𝑦𝑧 2 − 𝜎𝑦𝜏𝑧𝑥 2 − 𝜎𝑧𝜏𝑥𝑦 2 EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão Principal • As raízes dos polinômios fornecem as três tensões principais, e geralmente são ordenados de forma que 𝜎1 > 𝜎2 > 𝜎3; • As direções 𝜂𝑥 𝜂𝑦 𝜂𝑧 𝑇 podem ser obtidos substituindo cada valor da tensão principal na equação fundamental (utilizada para o calculo do autovalor); EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão Principal • As tensões de cisalhamento principais podem ser obtidas por : 𝜏13 = 𝜎1 − 𝜎3 2 𝜏21 = 𝜎2 − 𝜎1 2 𝜏32 = 𝜎3 − 𝜎2 2 • As direções dos planos das tensões de cisalhamento estão a 45𝑜das direções do plano das tensões normais principais. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Tensão Principal : Estado plano de Tensão • Para um estado de tensão bidimensional, temos que uma das tensões principais é nula, ou seja : 𝜎𝑎, 𝜎𝑏 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 ± 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 2 + 𝜏𝑥𝑦 2 𝜎𝑐 = 0 • A tensão de cisalhamento máxima é obtida por : 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜏13 = 𝜎1 − 𝜎3 2 EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Estado Plano de Tensão e Deformação • Estado plano de tensões : requer que uma das tensões principais seja igual a zero; ex: chapa fina, casca fina, regiões distantes de suas extremidades ou pontos de fixação; • Estado plano de deformações : deformações principais estão associadas a tensões principais; Quando uma dessas deformações é nula (ex. 𝜀3) e as outras deformações não variam ao longo do eixo principal 𝜂3, tem-se o estado plano de deformações. Ex: barra prismática longa e solida, submetido a um carregamento transversal. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr • Solução gráfica para encontrar as tensões principais para os casos de estado plano de tensões; • Úteis para visualizar o estado de tensões de um ponto; • Pode-se calcular as tensões principais de forma numérica e apresentar na forma gráfica do circulo de Mohr; • Todos os ângulos desenhados no plano de Mohr tem o seu valor dobrado em relação aos ângulos correspondentes no espaço real; EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr • A abscissa é o eixo das tensões normais; • A ordenada é o eixo das tensões de cisalhamento; • Convenção de sinais : é considerado positivo os binários cisalhamento que giram no sentido horário, ou seja, não é consistente com a regra da mão direita; EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr negative EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka a. rotating in the same direction on the element and the circle, and b. using angles on the circle that are twice those on the element. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr – Exemplo 1 • Determinação das tensões principais usando o circulo de Mohr : Considere um elemento em estado plano de tensão, 𝜎𝑥 = 40000 psi, 𝜎𝑦 = −20000 psi e 𝜏𝑥𝑦 = 30000 psi no sentido anti-horario. Utilize o circulo de Mohr para determinar as tensões principais. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr – Exemplo 1 • 𝜎𝑥 = 40000 psi, 𝜎𝑦 = 20000 psi e 𝜏𝑥𝑦 = 10000 psi no sentido anti-horario. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr – Exemplo 2 • 𝜎𝑥 = 40000 psi, 𝜎𝑦 = −20000 psi e 𝜏𝑥𝑦 = 30000 psi no sentido anti-horario. EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr – Exemplo 3 • 𝜎𝑥 = 40000 psi, 𝜎𝑦 = −20000 psi , 𝜎𝑧 = −10000 e 𝜏𝑥𝑦 = 5000 psi , 𝜏𝑦𝑧 = −1500 psi e 𝜏𝑧𝑥 = 2500 psi EU 602 – ELEMENTOS DE MÁQUINAS Prof. Jaime Izuka Círculo de Mohr – Exemplo 3 • 𝜎𝑥 = 40000 psi, 𝜎𝑦 = −20000 psi , 𝜎𝑧 = −10000 e 𝜏𝑥𝑦 = 5000 psi , 𝜏𝑦𝑧 = −1500 psi e 𝜏𝑧𝑥 = 2500 psi