Aplicações da Derivação na Minimização do Uso de Metal nas Latas

APLICACOES DA DERIVACAO 305 Cc 5 perda Mas se os discos do topo e da base forem cortados de quadrados de lado 27 como na fi gura isso leva a uma consideravel perda de metal que pode ser reciclado mas que tem um pe queno ou nenhum valor para quem fabrica as latas Se for esse 0 caso mostre que a quantidade h de metal usada é minimizada quando 8 Lass roo Va YN YO 2 Uma maneira mais eficiente de obter os discos é dividir a folha de metal em hex4gonos e cor eee tar as tampas e bases circulares dos hexa4gonos veja a figura Mostre que se for adotada essa eee estratégia entaio h 4vy3 tA aa NNN 3 Os valores de hr que encontramos nos Problemas 1 e 2 esto muito pr6ximos daqueles que real cen eortactel mente ocorrem nas prateleiras do supermercado mas eles ainda nao levam em conta tudo Se partir de quadrados examinarmos mais de perto uma lata veremos que a tampa e a base so formadas de discos com raio maior que aqueles que sao dobrados sobre as extremidades da lata Se permitissemos isso Vf V V VY 5 ae aumentariamos hr Mais significativamente além do custo do metal devemos incorporar 0 custo A A S A A de manufatura da lata Vamos supor que a maior parte da despesa esteja em ligar os lados as bor LX YX YX das para formar as latas Se cortassemos os discos dos hexagonos como no Problema 2 entao A A A A 0 custo total seria proporcional a Y VY VY YY 43 r 2arh k4ar h Discos cortados a partir de hex4gonos onde k é 0 inverso do comprimento que pode ser ligado ao custo por uma unidade de area de metal Mostre que essa expresséo0 é minimizada quando YT ah 2m bh ko rr whr 43 4 4 Desenhe Vk como uma fungiio de x hr e use seu grafico para argumentar que quando uma lata é grande ou a juncao é barata deveriamos fazer hr aproximadamente 221 como no Problema 2 Mas quando a lata é pequena ou a jungao é cara hr deve ser substancialmente maior 5 Nossa andlise mostra que as latas grandes devem ser quase quadradas mas as latas pequenas devem ser altas e estreitas Examine as formas relativas das latas em um supermercado Nossa conclusao é de forma geral verdadeira na pratica Ha exceg6es Vocé pode apontar as razGes de latas pequenas nao serem sempre altas e estreitas 48 Metodo de Newton Suponha que um vendedor de carro ponha um carro 4 venda por 18000 ou em pagamentos de 375 mensais durante cinco anos Vocé gostaria de saber qual a taxa de juros mensal que o vendedor de fato esta cobrando Para encontrar a resposta vocé deve resolver a equacao 015 1 A8x1 x 1 x 10 Os detalhes sao explicados no Exercicio 41 Como vocé deve resolver a equagao0 Para uma equagao quadratica ax bx c O existe uma férmula bem conhecida para 0 ed 0012 as raizes Para as equacées de terceiro e quarto grau também existem formulas para as raizes mas Pe elas sao extremamente complicadas Se f for um polindmio de grau 5 ou maior nao existe ne 005 nhuma férmula Da mesma forma nao existe uma férmula que nos possibilite encontrar as rai FIGURA 1 zes exatas de uma equagao transcendental como cos x x Podemos encontrar uma solugaéo aproximada para a Equagao tragando o lado esquerdo da equacdo Usando uma ferramenta grafica e apds experimentar com janela retangular ob temos o grafico na Figura 1 306 CALCULO Tente resolver a Equagdo 1 usando 0 Vemos também que além da solucdo x 0 que nao nos interessa ha uma solugao entre metodo numérico de encontrar raizes em 0007 e 0008 Aproximando vemos que a raiz de aproximadamente 00076 Se precisdsse sua calculadora ou computador Algumas oe médquinas ndo so capazes de resolvéla mos de maior preciso poderfamos aproximar repetidamente mas isso se tornaria cansativo Outras tém sucesso mas requerem que Uma alternativa mais rapida é usar um método numérico de encontrar raizes em uma calcu vocé especifique um ponto inicial para a ladora ou um SCA Se fizermos isso encontraremos que a raiz correta até a nona casa deci busca mal é 0007628603 Como funcionam esses métodos numéricos de encontrar raizes E usada uma variedade de métodos mas a maior parte usa o método de Newton também denominado método de NewtonRaphson Vamos explicar agora como funciona esse método parcialmente para mostrar 0 que acontece dentro de uma calculadora ou computador e parcialmente como uma aplicagao da ideia de aproximagao linear A geometria por tras do método de Newton é mostrada na Figura 2 onde a raiz que esta Y mos tentando achar é chamada r Comegamos com uma primeira aproximagao x que é ob x Fx tida por conjectura ou de um esboco rapido do grafico de f ou de um grafico gerado por com putador de f Considere a reta tangente L a curva y f x no ponto x1 fx1 e veja a intersecgao de L com 0 eixo x denominada x2 A ideia por tras do método de Newton é que a reta tangente fica pr6xima da curva assim a intersecg4o com 0 eixO xX X2 esta pr6xima da in y Fx terseccAo com 0 eixo x da curva isto é a raiz r que estamos procurando Como a tangente é L uma reta podemos facilmente encontrar sua intersecg4o com 0 eixo x 0 Ps xX x Para encontrarmos uma férmula para x2 em termos de x usamos 0 fato de que a inclina cio de L é fx1 assim sua equacado é FIGURA 2 y fxr f x1 Uma vez que a interseccao com 0 eixo x de L é x2 fazemos y 0 e obtemos 0 fxr fQ2 x1 Se fx1 4 0 podemos isolar x2 nessa equacio way t x1 ST fie Usamos x2 como uma segunda aproximagao a r A seguir repetimos 0 procedimento com x substituido por x2 usando a reta tangente em x2 f 2 Isso dé uma terceira aproximagao way et x2 fe x1 F Se ficarmos repetindo esse processo obteremos uma sequéncia de aproximacdes X1 X2 X3 X4 conforme mostra a Figura 3 Em geral se a nésima aproximagao é x e x fx fn 0 ento a aproximacao seguinte é dada por r 0 17x x x 2 tay x Le X4 ft Xn FIGURA 3 Se os nimeros x ficarem cada vez mais proximos de r 4 medida que n cresce dizemos que Sequéncias foram introduzidas brevemente a sequencla converge pata r escrevemos em Uma Apresentacao do Calculo Veremos mais sobre sequéncias na lim x r Seco 111 no segundo volume desta obra me Embora a sequéncia de aproximacées sucessivas convirja para a raiz desejada no caso das fung6es do tipo ilustrado na Figura 3 em certas circunstancias a sequéncia pode nao convergir Por exemplo considere a situagao mostrada na Figura 4 Vocé pode ver que x2 APLICACGOES DA DERIVAGAO 307 é uma aproximacao pior que x Esse provavelmente 0 caso quando fx esta préximo y de 0 Pode até acontecer de uma aproximagao tal como x na Figura 4 cair fora do do minio de f Entaéo o método de Newton falha e uma melhor aproximagao inicial x deve ser escolhida Veja os Exercicios 3134 para exemplos especificos nos quais 0 método de Newton funciona muito lentamente ou nao funciona 0 X2 SGM Comegando com x 2 encontre a terceira aproximagdo x3 para a raiz da A equacao x7 2x 50 SOLUCAO Vamos aplicar o método de Newton com FIGURA 4 fy x 2x 5 e fx 3x 2 O proprio Newton usou essa equacao para ilustrar seu método e escolheu x 2 apds algu mas experiéncias pois f1 6 f2 le f3 16 16 A Equacio 2 fica x 2x 5 Xnt1 Xn 3x2 2 No Module 48 vocé pode investigar como o método de Newton Com n 1 temos 3 funciona para Varlas fungdes o que xj 2x 5 acontece quando vocé muda x1 2X1 3x 2 3 A Figura 5 mostra a geometria atras do 2 2 22 5 21 primeiro passo do método de Newton para 322 2 o Exemplo 1 Como f2 10 a reta tangente y x7 2x Sem 2 1 Entao com n 2 obtemos tem equagao igual y 10x 21 cujo zero esta em x2 21 3 3 xz 2x 5 21 221 5 x3 xX 21 a 20946 ye 3x32 2 3212 2 1 Resulta que essa terceira aproximagdo x3 20946 é precisa até quatro casas decimaism patina sf er oo 18 7 22 Suponha que queiramos obter uma dada precisdo digamos de oito casas decimais em pregando o método de Newton Como saber quando devemos parar O procedimento experi mental geralmente usado é que devemos parar quando duas aproximag6es sucessivas Xy Xn1 s4o iguais até a oitava casa decimal Um enunciado preciso a respeito da precisdo do método J de Newton sera dado no Exercicio 39 da Segao 1111 no Volume II 2 Observe que o procedimento para ir de n paran 1 0 mesmo para todos os valores de FIGURA5 n Isso é chamado processo iterativo Isso significa que o método de Newton é particular mente adequado ao uso de calculadoras programaveis ou de um computador SQ Use o método de Newton para encontrar 2 com precisio de oito casas deci mais SOLUCAO Observamos primeiro que encontrar 2 equivale a determinar a raiz positiva da equacao x20 dessa forma tomamos fx x 2 Entdo fx 6x e a Formula 2 método de Newton fica xe 2 Xn1 Xn 6x5 Se escolhermos x 1 como a aproximacaio inicial obtemos X 116666667 x3 112644368 x4 112249707 X5 112246205 X6 112246205 308 CALCULO Uma vez que x5 X6 SA0 iguais até a oitava casa decimal conclufmos 42 112246205 até a oitava casa decimal 95ete Encontre a raiz da equagao cos x x com preciso de seis casas decimais SOLUCAO Primeiro reescrevemos a equacao na forma padrao cosx x 0 Portanto fazemos fx cos x x Entao fx sen x 1 e assim a Formula 2 fica COS Xn Xn 4 LO8 Xn Xn Xntt Xy xX sen x 1 sen x 1 A fim de determinarmos um valor adequado para x esbogamos o grafico de y cos xe y x y na Figura 6 E evidente que elas se interceptam em um ponto cuja coordenada x um pouco x i menor que dessa forma vamos tomar x 1 como uma primeira aproximacao conveniente Y COS X Logo lembrando de colocar nossa calculadora no modo radiano obtemos xX 15 X2 075036387 x3 073911289 FIGURA 6 x4 073908513 x5 073908513 Como x4 x5 S40 iguais até a sexta casa decimal na realidade oitava concluimos que a raiz da equagao correta até a sexta casa decimal é 0739085 Em vez de usarmos 0 esboco da Figura 6 para obter a aproximacaAo inicial para o método 1 de Newton no Exemplo 3 poderiamos ter usado um grafico mais apurado fornecido por cal culadora ou computador A Figura 7 sugere o uso de x 075 como a aproximacaio inicial Entao o método de Newton da x2 073911114 x3 073908513 x4 073908513 e assim obtemos a mesma resposta anterior mas com um numero menor de passos Vocé deve estar se perguntando por que nos preocupamos com 0 método de Newton se uma 0 1 ferramenta grafica esta disponivel Nao é mais facil dar repetidos zooms para encontrar as rai FIGURA 7 zes como fizemos na Secdo 14 Se somente for pedida uma precisdo de uma ou duas casas decimais entéo realmente o método de Newton é inadequado e basta uma ferramenta grafica Mas se forem exigidas seis ou oito casas decimais entao repetidos zooms tornamse entediantes Em geral é mais rapido e mais eficiente usar 0 computador e o método de Newton em con junto a ferramenta grafica para comegar e 0 método de Newton para acabar 48 Exercicios 1 A figura mostra o grafico da fungao f Suponha que seja usado o mé TPRTLLELLIELLL SE todo de Newton para aproximar a raiz r da equacao f x 0 com FTA LEE ore proxi iis FORAEE EEE a Desenhe as tangentes que s4o usadas para encontrar x2 e x3 FFPALLLELLIIA estime os valores numéricos de x2 e x3 FIN TLL CL b Uma melhor aproximagio seria x 5 Explique eee VS PRECEREEEECH E necessario usar uma calculadora grafica ou computador 1 As Homework Hints estao disponiveis em wwwstewartcalculuscom APLICACGOES DA DERIVAGAO 309 2 Siga as instrugées do Exercicio 1a mas use x 9 como a apro 17 3cosxx1 8 xt1lx2x ximagao inicial para encontrar a raiz s 1 2 3 3 Suponha que a reta tangente 4 curva y f x no ponto 2 5 te 19 x 2 Inx 20 x Px nha a equagao y 9 2x Se for usado o método de Newton para localizar uma raiz da equacao f x 0 com a aproximagao ini 21 cos x yx 2 tgx yl x ial x 2 t d imagao x on encen ma seu a Promeeses AE 2328 Use 0 método de Newton para encontrar todas as raizes da equa 4 Para cada aproximacao inicial determine graficamente 0 que 4o com precisao de oito casas decimais Comece fazendo um grafico acontecera se for usado 0 método de Newton para a func4o cujo para encontrar a aproximacio inicial grafico é dado 65 gh 2 a x 0 b 4 1 c 4 3 23 x x 6x xx100 d x 4 e x 5 24 0 3xt tx2 x x60 y 25 Jlx 26 cosx x x x 1 27 4e sinx x x 41 28 e VJx3 1 7 29 a Aplique o método de Newton 4 equacio x a 0 para de I duzir 0 seguinte algoritmo para a raiz quadrada usada pelos antigos babilénios para calcular a 5 Para cada aproximacao inicial x a b c e d vocé acha que o mé Xr i x a todo de Newton funcionard e levara 4 raiz da equacao f x 0 2 Xn y b Use a parte a para calcular 1000 com precisao de seis ca sas decimais 30 a Aplique o método de Newton a equacao 1x a 0 para de duzir 0 seguinte algoritmo para os inversos a 0 b c d x Xn 2X axz Esse algoritmo possibilita a um computador achar os inver 68 Use o método de Newton com 0 valor inicial especificado x para sos sem realmente dividir encontrar x3 a terceira aproximacao da raiz da equagao dada Dé sua b Use a parte a para calcular 116984 com precisao de seis ca resposta com quatro casas decimais sas decimais 6 ix t4x230 1 3 31 Explique por que 0 método de Newton nado funciona para en contrar as rafzes da equacéo x7 3x 6 0 se 0 valor inicial 72 x x10 x1 1 8 x7 40 1 1 escolhido for x 1 AE 9 Use 0 método de Newton com a aproximagao inicial x 1 para 32 a Use o metodo de Newton com m Ip ara encontrar a raiz da x x 43 equagao x x com precisao de seis casas decimais achar x2 a segunda aproximagao da raiz da equacdo x x 3 oo 0 Faca o grafico da funcao e da reta tangente no ponto 1 1 b Resolva a equacao da parte a usando como aproximagao ini 2 cial x 06 Usando este grafico explique como 0 método funciona neste caso 7 Fy sodo d Loo c Resolva a equacao da parte a utilizando x 057 Vocé de 10 Use o metodo de Newton com a ap FOxXIMAaGao inicial x1 I para finitivamente precisa de uma calculadora programavel para achar x2 a segunda aproximagao da raiz da equagio x4 x 1 esta parte 0 Faca o grafico da funcao e da reta tangente no ponto 1 1 d Faca o grafico de fx x8 x 1 e suas retas tangentes em Usando este grafico explique como 0 método funciona neste caso x 1 06 057 para explicar por que 0 método de Newton 1 41U 1112 Use 0 método de Newton para aproximar 0 numero dado com to sensivel ao valor da aproximacio inicial precisao de oito casas decimais 33 Explique por que o método de Newton falha quando aplicado a 11 420 12 100 equacao x 0 com qualquer valor inicial x 0 lustre sua explicagaéo com um esboco 1316 Use 0 método de Newton para aproximar a raiz indicada da 34 Se equac4o com precisdo de seis casas decimais JE se x0 13 A raiz de x 2x 5x 6 Ono intervalo 1 2 fa Y x sex0 14 A raiz de 22x 44x 13x 09x 40 0 no inter entao a raiz da equacao f x 0 x 0 Explique por que o mé valo 2 1 todo de Newton falha para encontrar a raiz nado importando que 15 A raiz positiva de sen x x aproximagao inicial x 0 é usada Ilustre sua explicagiéo com 16 A raiz positiva de 2 cos x x um esbogo TO 35 a Use 0 método de Newton para encontrar os ntimeros criticos 1722 Use 0 método de Newton para encontrar todas as raizes da equa da fungao fx x x 3x 2x com precisdo de trés cao com precisao de seis casas decimais casas decimais 310 CALCULO b Encontre o valor minimo absoluto de f com precisao de qua A R 1 a a tro casas decimais i 36 Use 0 método de Newton para encontrar o valor maximo absoluto Substituindo i por x mostre que da Fungao Fx x cos x 0 x S zm com precisao de seis ca 48x1 1 x 10 sas decimais Use 0 método de Newton para resolver essa equagao 37 Use o método de Newton para encontrar as coordenadas do ponto 42 A figura mostra o Sol na origem e a Terra no ponto 10 A uni de inflexao da curva y sen x 0 x 7 com precisdo de dade aqui é a distancia entre os centros da Terra e do Sol chamada SeIs Casas decimais unidade astronémica 1 AU 1496 X 10 km Existem cinco 38 Dentre as infinitas retas tangentes 4 curva y sen x que pas localizagées Li Ls La La e Ls nesse plano de rotacao da Terra em sam pela origem existe uma que tem a maior inclinagao Use 0 torno do Sol onde um satélite permanece imével em relagao a Terra método de Newton Para encontrar a inclinagao desta reta com pre em razao de as forcas que agem no satélite inclusive a atragao gra cisdo de seis casas decimais vitacional da Terra e do Sol se contrabalancearem Essas locali 39 Use o método de Newton para encontrar as coordenadas com pre zacées sio denominadas pontos de libracdo Um satélite de pes cisdo de seis casas decimais dlo ponto na parabola y x 1 quisa solar foi colocado em um desses pontos de libragao Se m que esteja mais proximo da origem éamassa do Sol m2 é a massa da Terra er m2m mz en 40 Nesta figura o comprimento da corda AB 4 cm eo comprimento tao a coordenada x de L é a tinica raiz da equac4o de quinto grau do arco AB é5 cm Encontre o angulo central 0 em radianos cor reto até a quarta casa decimal Dé entao a resposta com precisao Px x 2 rx 1 2rx 1 rx de um grau 21 rxr10 5cm e a coordenada x de Ly é a raiz da equacao AZ 4om ep px 2rx 0 No Usando o valor r 304042 X 10 encontre a localizacao dos pontos de libragao a L e b Ly y e La 41 Um agente vende um carro novo por 18000 Ele também oferece Sol Terra para vender 0 mesmo carro em pagamentos de 375 por més du L L LX rante 5 anos Qual a taxa de juro mensal cobrada pelo vendedor Para resolver esse problema vocé necessitara da formula para L o valor presente A de uma anuidade formada por n pagamentos iguais de tamanho R com uma taxa de juros 7 por perfodo de tempo 43 Primitivas Um fisico que conhece a velocidade de uma particula pode desejar saber sua posiao em um dado instante Um engenheiro que pode medir a taxa de variagdo segundo a qual a 4gua esta escoando de um tanque quer saber a quantidade escoada durante certo perfodo Um bidlogo que conhece a taxa segundo a qual uma populagao de bactérias esta crescendo pode querer de duzir qual o tamanho da populaao em certo momento futuro Em cada caso o problema é en contrar uma fungao F cuja derivada é uma fungao conhecidaf Se a fungao F existir ela é cha mada primitiva de f Definigéo Uma fungao F é denominada uma primitiva de f num intervalo se Fx fx para todo x em J Por exemplo seja fx x Nao é dificil descobrir uma primitiva de f se tivermos em mente a Regra da Poténcia De fato se Fx 4x logo Fx x fx Mas a fungiio Gx 4x 100 também satisfaz Gx x Portanto F e G sao primitivas de f De fato qualquer funcao da forma Hx ix C onde C é uma constante uma primitiva def A questao surge ha outras Para responder a essa questaéo lembrese de que na Seco 42 usamos o Teorema do Va lor Médio para demonstrar que se duas fungdes tém derivadas idénticas em um intervalo en