Problemas de Taxas Relativas em Movimento e Geometria

224 CALCULO d Escreva uma equacf4o que relacione as quantidades e Termine a resolugdo do problema Za 11 Um aviao voa horizontalmente a uma altitude de 2 km a 800 kmh e passa diretamente sobre uma estacéo de radar Encontre a taxa segundo a qual a distancia entre 0 aviao e a estagdéo aumenta oo quando ele est a 3 km além da estagio 21 Ao meiodia 0 navio A esté a 100 km a oeste do navio B O na vio A esta navegando para o sul a 35 kmh ec o navio B esta na 12 Se uma bola de neve derrete de forma que a area de sua superfi vegando para norte a 25 kmh Quéo répido a distincia entre os cie decresce a uma taxa de cmmin encontre a taxa segundo a vine oo variando as16h P qual o didmetro decresce quando o diametro é 10 cm 22 Uma particula movese ao longo da curva y 2 senzx2 13 Uma luz de rua é colocada no topo de um poste de 6 metros de d cul 1 1 1 denad altura Um homem com 2 m de altura anda afastandose do Quando a particula passa pelo ponto 3 1 sua coordenada x cresce a uma taxa de 10 cms Quao rapido a distancia da par poste com velocidade de 15 ms ao longo de uma trajetoria reta ticula A sua origem est4 variando nesse momento Com que velocidade se move a ponta de sua sombra quando ele est4 a 10 m do poste 23 Esta vazando agua de um tanque cénico invertido a uma taxa de 10000 cm min Ao mesmo tempo agua esta sendo bombeada 14 Ao meiodia 0 navio A esta a 150 km a oeste do navio B O na d d 6md oA esti d leste a 35 kmh o B esti para dentro do tanque a uma taxa constante O tanque tem 6 m de vro ie a ve net sk 0 a pid hetaned en nae altura e o didmetro no topo é de 4 m Se o nivel da Agua estiver vegan oP are vend a 1 PNAS TAPIGO 2 CUSTANCIA EDITS OS subindo a uma taxa de 20 cmmin quando a altura da agua for navios esta variando As 16h 2 m encontre a taxa segundo a qual a 4gua esta sendo bombeada a dentro do tanque 15 Dois carros iniciam 0 movimento partindo de um mesmo ponto 4 Um viaja para o sul a 30 kmh e 0 outro viaja para o oeste a 72 24 Um cocho tem 6m de comprimento e suas extremidades tém a kmh A qual taxa a distancia entre os carros est4 aumentando duas forma de triangulos isdsceles com 1 m de base e 50 cm de altura ae horas depois Se o cocho for preenchido com 4gua a uma taxa de 12 mmin 16 Um holofote sobre o solo ilumina uma parede 12 m distante quao répido o nivel da agua estard subindo quando ela tiver 30 em de profundidade dele Se um homem de 2 m de altura anda do holofote em dire P cfio a parede a uma velocidade de 16 ms quao rapido o com 25 Um cocho de agua tem 10 m de comprimento e uma seccao primento de sua sombra diminui sobre a parede quando ele esta transversal com a forma de um trapezoide isdsceles com 30 cm a4 m dela de comprimento na base 80 cm de extensdo no topo e 50 cm de 17 Umh 4 12 m ind altura Se o cocho for preenchida com agua a uma taxa de bm Homem comega a andar para 0 norte a a partir ce um 02 mmin quao rapido o nivel da agua estard subindo quando ela onto P Cinco minutos depois uma mulher comega a andar para 4 P s 4 P tiver 30 cm de profundidade o sul a 16 ms de um ponto 200 ma leste de P A que taxa as pes soas estao se distanciando 15 min apés a mulher comegar a andar 26 Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento 1 m de rofundidade na parte rasa e 3 m na parte mais funda Sua seccAo 18 Uma quadra de beisebol é um quadrado com um lado de 90 pés P 2 P P s 97432 Um batedor ati bol ditecio A pri transversal esta mostrada na figura Se a piscina for enchida a uma 432 m Um batedor atinge a bola e corre em direcao a pri os ie ica b vad de 24 péss 73152 P taxa de 01 mmin quao rapido o nivel da dgua estara subindo meira base com uma velocidade de 24 péss 7 ms uando sua profundidade no ponto mais profundo for de 1 m a A que taxa decresce sua distancia da segunda base quando ele 4 P P P est4 a meio caminho da primeira base tT b A que taxa aumenta sua distancia da terceira base no mesmo momento i 2 kh S 15 3 4 15 27 Uma esteira transportadora esta descarregando cascalho a uma ws taxa de 3 mmin constituindo uma pilha na forma de cone com L o didmetro da base e altura sempre igual Quao rapido a altura da i 90 pés pilha cresce quando esta a 3 m de altura V L 19 A altura de um triangulo esta aumentando a uma taxa de 1 cmmin enquanto a 4rea do triangulo esta aumentando a uma taxa de 2 cmmin A que taxa a base do triangulo esté variando quando a altura for 10 cm e a drea for 100 cm 4 20 Um bote é puxado em diregao ao ancoradouro por uma corda que esta atada na proa do bote e que passa por uma polia sobre o an laa Ss coradouro colocada m mais alto que a proa Se a corda for pu 3 xada a uma taxa de ms quao rapido se aproxima o bote do an coradouro quando ele estiver a 8 m dele REGRAS DE DERIVACAO 225 28 Uma pipa a 50 m acima do solo movese horizontalmente a uma 38 Duas carretas A e B estao conectadas por uma corda de 12 m que velocidade de 2 ms A que taxa decresce o Angulo entre a linha passa por uma polia P veja a figura O ponto Q no chio esta 4 e a horizontal depois de 100 m de linha serem soltos m diretamente abaixo de P e entre as carretas A carreta A esta 29 Dois lados de um triangulo tém 4 me 5 m e o Angulo entre eles sendo puxada para longe de Q a uma velocidade de 05 ms A que esté crescendo a uma taxa de 006 rads Encontre a taxa segundo velocidade a carreta B esta se movendo em diregao a Q no instante a qual a drea esta crescendo quando o Angulo entre os lados de em que a carreta A estiver 3 m de Q comprimento fixo for 773 30 Quao rapido o angulo entre o solo e a escada esta variando no Exem P plo 2 quando a parte de baixo da escada estiver a 3 m da parede 31 O topo de uma escada desliza por uma parede vertical a uma taxa de 015 ms No momento em que a base da escada esta a 3 m da 4m parede ela afastase da parede a velocidade de 02 ms Qual o Ad comprimento da escada 00 32 Uma torneira esta preenchendo uma pia hemisférica de 60 cm de Q didmetro com agua a uma taxa de 2 Lmin Encontre a taxa na 39 Uma camera de televisdo esta posicionada a 1200 m de uma base qual a gua esta aumentando na pia quando estiver cheia até a me de lancamento de foguete O angulo de elevacao da camera deve tade Use os seguintes fatos 1 L 1 000 cm O volume de uma variar a uma taxa na qual possa focalizar o foguete O mecanismo porgao de uma esfera de raio r com altura h a partir da base é de foco da cAmera também deve levar em conta 0 aumento da dis V rh th como sera mostrado no Capitulo 6 tancia entre a camera e o foguete em subida Vamos supor que 0 33 A Lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gas est4 sendo foguete suba verticalmente e com velocidade de 200 ms quando comprimida a uma temperatura constante a pressao P e o volume Ja tiver subido 900 m V satisfazem a equactio PV C onde C é uma constante Supo a Quao rapido estara variando a distancia da camera ao foguete nha que em um certo momento o volume seja de 600 cm a pres naquele momento sdo de 150 kPa e a presso cresga a uma taxa de 20 kPamin A b Se a camera de televisao se mantiver sempre na direcao do fo que taxa esta decrescendo o volume nesse instante guete quao rapido estara variando o angulo de elevagao dela 34 Quando o ar se expande adiabaticamente sem ganhar ou perder naquele mesmo momento calor sua pressao P e volume V estao relacionados pela equacg4o 40 Um farol esta localizado em uma pequena ilha e a distancia en PV C onde C é uma constante Suponha que em um certo tre ele e o ponto P mais pro6ximo em uma costa reta do continente instante o volume seja de 400 cm e a pressio 80 kPa e esteja de de 3 km Sua luz gira quatro revolugdes por minuto Quao ra crescendo a uma taxa de 10 kPamin A que taxa esta crescendo pido o feixe de luz est4 se movendo ao logo da costa quando ele o volume nesse momento estiver a 1 km de P 35 Se dois resistores com resisténcias R e Rz estaéo conectados em 41 Um aviao voa horizontalmente a uma altitude de 5 km e passa di paralelo como na figura ento a resisténcia total R medida em retamente sobre um telesc6pio no chao Quando o angulo de ele ohms Q é dada por vacio for 73 esse Angulo estaré diminuindo a uma taxa de ar6 radmin A que velocidade 0 avido esté viajando naquele ins 4 t t tante R R R Se R e Rp estéio aumentando a taxas de 03 Qs e 02 s res 42 Uma rodagigante com raio de 10 m esta girando a uma taxa de uma pectivamente quao rapido R esta variando quando R 80 Ne revolucao a cada dois minutos Quao rapido um passageiro estara R 100 0 subindo quando seu assento estiver 16 m acima do nivel do solo 43 Um aviaio voando a uma velocidade constante de 300 kmh passa sobre uma estacg4o de radar no solo a uma altitude de 1 km e su R R bindo em um Angulo de 30 A que taxa esta crescendo a distan cia do aviaéo em relac4o a estagao de radar 1 minuto mais tarde 44 Duas pessoas comecam a andar a partir do mesmo ponto Uma 36 Nos peixes o peso B do cérebro como uma funcao do peso cor anda para o leste a 4 kmh e a outra anda para nordeste a 2 kmh poral W foi modelado pela funcao poténcia B 0007W7 onde Quao rapido a distancia entre as pessoas esta variando apés 15 mi Be Wsao medidos em gramas Um modelo para 0 peso corporal nutos como uma funao de comprimento de corpo L medido em centi 45 Um velocista corre numa pista circular com raio de 100 m numa metros W 012L Se em 10 milhdes de anos 0 compri velocidade constante de 7 ms O amigo do corredor est parado mento médio de uma certa espécie de peixes evoluiu de 15 cm para auma distancia 200 m do centro da pista Quao rapido a distan 20 cm a uma taxa constante quao rapido estava crescendo 0 cé cia ente os amigos estd variando quando a uma distancia entre eles rebro dessa espécie quando o comprimento médio era de 18 cm é de 200 m 37 Dois lados de um triangulo tem comprimento de 12 me 15 mO 46 O ponteiro dos minutos de um relégio mede 8 mm enquanto o das Angulo entre eles est4 aumentando a uma taxa de 2min A que horas tem 4 mm de comprimento Quio rapido esta variando a dis taxa o comprimento de um terceiro lado est4 aumentando quando tancia entre a ponta dos ponteiros a 1 hora o Angulo entre os lados de comprimento fixo for 60