Lista de Exercícios Resolvidos Calculo Aplicado Otimização e Taxas Relacionadas

Tópicosexercícios para o trabalho O trabalho consistirá de resolver dois exercícios de aplicações do cálculo em forma de projeto O trabalho pode ser individual ou em grupo No caso de grupo ele deve ter k pessoas com 2 k 4 Recomendo fortemente que seja feito em grupo será uma boa oportunidade de interagir com os colegas e ainda dividir o trabalho O trabalho vale 10 ponto na média Você precisará usar recursos computacionais na solução Python Mathematica Octave etc ilustrar com belas figuras e ele deve ser entregue preferencialmente digitado em Latex sugestão usar o Overleaf Data da entrega até 0307 Escolha pelo menos um problema das três listas abaixo 1 Livro do Spivak otimização 29 30 2 Livro do Stewart otimização 12 35 44 45 59 61 76 se escolher os explique um pouco os termos econômicos no trabalho 3 Livro do Simmons aplicações em economia 17 23 se escolher algum destes explique um pouco a teoria econômica no trabalho Escolha pelo menos um problema das três listas abaixo 1 Livro do Simmons taxas relacionadas 8 9 17 2 Livro do Stewart taxas relacionadas 26 27 38 39 46 3 Livro do Stewart método de Newton 29 30 41 42 se escolher um destes explique um pouco da poder digitar os comandos é tudo bem intuitivo alguns comandos Contas simples é só digitar o que quer é apertar shiftenter Nos comandos abaixo respeite maiúsculas Aproximações decimais NPi 50 aproximação de pi com 50 casas decimais N518 3 aproximação decimal de 518 com 3 casas decimais Derivadas e integrais Dx2x calcula a derivada de x2 DCosxxx calcula a derivada de segunda ordem de Cosx Integratex2x calcula a integral indefinida de x2 Integratex5x01 calcula a integral definida de x5 com x entre 0 e 1 Funções mais comuns Cosx Sinx Tanx Expx Logx Log aqui é o nosso Ln Resolver equações Solvex2x31x resolve x2x31 atenção ao uso de dois sinais de no comando NSolveExpxx21x parecido com o de cima só que usa métodos numéricos para resolver Gráficos PlotCosxx05 faz o gráfico de ycosx com x entre 0 e 5 Plotx1Cosxx05 faz o gráfico de ycosx e o de yx1 na mesma janela com x entre 0 e 5 termos econômicos no trabalho 3 Livro do Simmons aplicações em economia 17 23 se escolher algum destes explique um pouco a teoria econômica no trabalho Escolha pelo menos um problema das três listas abaixo 1 Livro do Simmons taxas relacionadas 8 9 17 2 Livro do Stewart taxas relacionadas 26 27 38 39 46 3 Livro do Stewart método de Newton 29 30 41 42 se escolher um destes explique um pouco da teoria do Método de Newton no trabalho Observações 1 As listas do Spivak e do Simmons estão em inglês se precisar de ajuda para entender algum detalhe do enunciado estou à disposição para ajudar 2 Minha sugestão é usar o Overleaf para digitar em Latex pois ele é mais simples de usar do que instalar algo no seu computador tablet etc Você pode usar o template que desejar aqui está uma sugestão 3 Caprichem o trabalho ficará disponível no site para as próximas gerações 4 Alguns sites com problemas parecidos resolvidos 1 2 3 4 5 5 Referências de onde retirei as listas de problemas J Stewart Cálculo vol 1 7a edição G Simmons Calculus With Analytic Geometry 1996 M Spivak Calculus 6 Achou um problema legal da área do seu curso e quer fazer o trabalho sobre ele Me mande um email Exercícios de Cálculo Questão 76 O sistema vascular sanguíneo consiste em vasos sanguíneos artérias arteríolas capilares e veias que transportam o sangue do coração para os órgãos e de volta para o coração Esse sistema deve trabalhar de forma a minimizar a energia despendida pelo coração no bombeamento do sangue Em particular essa energia é reduzida quando a resistência do sangue diminui Uma das Leis de Poiseuille dá a resistência R do sangue como R C L r4 onde L é o comprimento do vaso sanguíneo r o raio e C é uma constante positiva determinada pela viscosidade do sangue A figura mostra um vaso sanguíneo principal de raio r1 ramificado em um ângulo θ em um vaso menor de raio r2 a Use a Lei de Poiseuille para mostrar que a resistência total do sangue ao longo do caminho ABC é R C a b cotgθ r14 b cossecθ r24 onde a e b são as distâncias mostradas na figura Solução Pela Lei de Poiseuille a resistência total do sangue ao longo do caminho ABC é R C AB r14 BC r24 No gráfico traçamos CD ortogonal AB Assim do gráfico cossecθ BC b BC b cossecθ cotgθ BD b BD b cotgθ Logo AB a b cotgθ Portanto R C a b cotgθ r14 b cossecθ r24 b Demonstre que essa resistência é minimizada quando cosθ r24 r14 Solução Fazendo uso de Wolfram Cloud httpswwwwolframcloudcom obtemos a derivada de R respeito a θ Agora fazendo a derivada igual a 0 temos 0 C b cotgθ cossecθ r24 b cossec2θ r14 Logo 0 b cotgθ r24 b cossecθ r14 cotgθ r24 cossecθ r14 Daí cosθ senθ r24 1 senθ r14 cosθ r24 r14 Vejamos que θ com cosθ r24 r14 é mínimo Fazendo uso de Wolfram Cloud obtemos a segunda derivada de R respeito a θ Assim d2R dθ Cbcossec3θ cos2θ r24 2cosθ r14 1 r24 Cbcossec3θ cos2θ r24 2cos2θ r24 1 r24 Cbcossec3θ 1 r24 cos2θ r24 Cbcossec3θ sen2θ r24 Cb senθ r24 0 Portanto θ é mínimo c Encontre o ângulo ótimo de ramificação com precisão de um grau quando o raio do vaso sanguíneo menor é 23 do raio do vaso maior Solução Como r2 23 r1 então cosθ r24 r14 23 r14 r14 1681 Logo θ arccos1681 Aproximando arccos1681 fazendo uso de Wolfram Cloud obtemos Questão 27 Uma esteira transportadora está descarregando cascalho a uma taxa de 3 m3min constituindo uma pilha na forma de cone com o diâmetro da base e altura sempre igual Quão rápido a altura da pilha cresce quando está a 3 m de altura Solução Como a esteira transportadora está descarregando a uma taxa de 3 m3min então a derivada do volume respeito a t t em minutos é 3 m3min isto é dVdt 3 m3min Por outro lado o volume da pilha cone é V 13hπr2 E como o diâmetro da base e altura da pilha sempre são iguais r h2 Assim V 13πh23 V 112πh3 Fazendo uso de Wolfram Cloud httpswwwwolframcloudcom ob temos a derivada de V respeito a h E pela regra da cadeia a derivada de V respeito a t é dV dt dV dh dh dt Assim a derivada de V respeito a t é dV dt 1 4h2πdh dt E como sempre dV dt 3 m3min então 3 1 4h2πdh dt Para h 3 obtemos 3 1 49πdh dt ñ dh dt 4 3π Aproximando 43π fazendo uso de Wolfram Cloud obtemos Portanto a pilha cresce a uma taxa de 042 mmin quando está a 3 m de altura 5