Problemas de Cálculo: Exemplos e Diagramação

300 CALCULO a Faga varios diagramas ilustrando a situagao alguns com divi 21 Encontre os pontos sobre a elipse 4x y 4 que esto mais s6es rasas e largas e alguns com divis6es profundas e estreitas distantes do ponto 1 0 Encontre as areas totais dessas configuragoes Parece que existe 422 Encontre com precisao de duas casas decimais as coordenadas do uma area maxima Se a resposta for sim estimea eo ponto na curva y sen x que est4 mais préximo do ponto 4 2 b Facga um diagrama ilustrando a situacao geral Introduza uma 4 x 23 Encontre as dimensoes do retangulo com a maior area que pode notagdo e marque no diagrama seus simbolos ser inscrito em um circulo de raio r c Escreva uma expressdo para a Area total d Use a informagao dada para escrever uma equacdo que rela 24 Encontre a area do maior retangulo que pode ser inscrito na oe 2 42 2 2 cione as variaveis elipse xa yb 1 e Use a parte d para escrever a 4rea total como uma fungao de 25 Encontre as dimensGes do retangulo com a maior area que pode uma variavel ser inscrito em um triangulo equilatero com lado L se um dos la f Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua dos do retangulo estiver sobre a base do triangulo estimativa da parte a 26 Encontre a area do maior trapézio que pode ser inscrito num cir 12 Considere 0 seguinte problema uma caixa sem tampa deve ser culo com raio e cuja base é 0 diametro do circulo construida a partir de um pedao quadrado de papelao com 3 me 27 Encontre as dimensoes do triangulo isdsceles de maior area que tros de largura cortando fora um quadrado de cada um dos qua pode ser inscrito em um circulo de raio r tro cantos e dobrando para cima os lados Encontre o maior vo 2 28 Encontre a 4rea do maior retangulo que pode ser inscrito em um lume que essa caixa podera ter ae triangulo retangulo com catetos de comprimentos 3 e 4 cm se dois a Faga varios diagramas para ilustrar a situagao algumas caixas lados do retangulo estiverem sobre os catetos baixas com bases grandes e outras altas com base pequena Encontre os volumes de varias dessas caixas Parece existir um 29 Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r En volume maximo Se a resposta for sim estimeo contre o maior volume possivel para este cilindro b Facga um diagrama ilustrando a situac4o geral Introduza uma 30 Um cilindro circular reto é inscrito em um cone com altura h e raio notagaéo e marque no diagrama seus simbolos da base r Encontre 0 maior volume possivel para este cilindro c Escreva uma expressao para o volume 31 Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r En d Use a informagao dada para escrever uma equac4o que rela contre o maior superficie possivel para este cilindro cione as variaveis 32 Uma janela normanda tem a forma de um retangulo tendo em e Use a parte d para escrever 0 volume como uma func4o de oO im cima um semicirculo O diametro do semicirculo é igual a lar uma so variavel gura do retangulo Veja o Exercicio 62 Se o perimetro da janela f Acabe de resolver o problema e compare sua resposta com sua Loo for 10 m encontre as dimensGes da janela que deixam passar a estimativa da parte a maior quantidade possivel de luz 13 Um fazendeiro quer cercar uma area de 15 000 m em um campo Lp yey 33 As margens superiores e inferiores de um péster tém 6 cme cada retangular e ento dividilo ao meio com uma cerca paralela a um Lo margem lateral tem 4 cm Se a area do material impresso no pés dos lados do reténgulo Como fazer isso de forma que minimize ter é de 384 cm encontre as dimensdes do péster com a menor o custo da cerca area 14 Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de 4 P to 34 Um poster deve ter uma drea de 900 cm com uma margem de 3 32 000 cm Encontre as dimensGes da caixa que minimizam a cm na base e nos lados e uma margem de 5 cm em cima Que di quantidade de material usado a mens6es daro a maior drea impressa 15 Se 1 200 cm de material estiverem disponfveis para fazer uma P P 35 Um pedaco de fio com 10 m de comprimento é cortado em duas caixa com uma base quadrada e sem tampa encontre o maior vo partes Uma parte é dobrada no formato de um quadrado ao passo lume possivel da caixa m pe que a outra é dobrada na forma de um triangulo equilatero Como 16 Um contéiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ser cortado o fio de forma que a 4rea total englobada seja deve ter um volume de 10 m O comprimento de sua base 0 do a maxima b minima bro da largura O material para a base custa 10 por metro qua a P P 4 36 Responda o Exercicio 35 se um pedaco estiver dobrado no for drado O material para os lados custa 6 por metro quadrado En ne mato de um quadrado e 0 outro no formato de um circulo contre o custo dos materiais para o mais barato desses contéineres oe ne 37 Uma lata cilfndrica sem 0 topo é feita para receber V cm de li 17 Faca o Exercicio 16 supondo que o contéiner tenha uma tampa woe quido Encontre as dimensdes que minimizarao o custo do metal feita do mesmo material usado nos lados para fazer a lata 18 a Mostre que de todos os retangulos com uma dada drea aquele sp d 8 4 38 Uma cerca de 2 m de altura corre paralela a um edificio alto a com a menor area é um quadrado ar wo uma distancia de 1 m do ediffcio Qual o comprimento da menor b Mostre que de todos os retangulos com um dado perimetro a Lo escada que se apoie no chao e na parede do prédio por cima da aquele com a maior area é um quadrado cerca 19 Encontre 0 ponto sobre areta y 2x 3 que estd mais pr6ximo at ep da ori P y 4 P 39 Um copo com formato cénico é feito de um pedaco circular de pa a origem S pel de raio R cortando fora um setor e juntando os lados CA e CB 20 Encontre o ponto sobre a curva y Vx que esta mais pr6ximo Encontre a capacidade maxima de tal copo do ponto 3 0 APLICACGOES DA DERIVAGAO 301 A B a Calcule dSd6 R b Que Angulo as abelhas deveriam preferir c Determine a area da superficie minima do alvéolo em termos de seh Observacdo Medidas reais do angulo 6 em colmeias foram fei tas e as medidas desses angulos raramente diferem do valor cal culado em mais que 2 parte posterior angulo 40 Um copo de papel em forma de cone é feito de maneira a conter do alvéolo triedral 6 27 cm de agua Ache a altura e 0 raio do copo que usa a menor quantidade possivel de papel 41 Um cone com altura h esta inscrito em outro cone maior com al tura H de forma que seu vértice esteja no centro da base do cone h maior Mostre que o cone interno tem seu volume maximo quando 1 hH ft 42 Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano hori b zontal por uma forga agindo ao longo de uma corda atada ao ob 5 parte anterior jeto Se a corda faz um Angulo 6 com o plano entao a intensidade do alvéolo da forga é 46 Um barco deixa as docas as 14 h e viaja para o sul com veloci F bing dade de 20 kmh Outro barco estava rumando leste a 15 kmhe sen cos 0 alcanga a mesma doca as 15 h Em que momento os dois botes es onde p é uma constante chamada coeficiente de atrito Para qual tavam mais préximos um do outro valor de 6 F menor 47 Resolva o problema no Exemplo 4 se 0 rio tiver 5 km de largura 43 Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts e 0 ponto B estiver somente a 5 km de A rio abaixo com resisténcia interna de r ohms entéo a poténcia em watts no 48 Uma mulher em um ponto A na praia de um lago circular com raio resistor externo de 3 km quer chegar no ponto C diametralmente oposto a A do ou ER tro lado do lago no menor tempo possivel Ela pode andar a uma p Rr taxa de 6 kmh e remar um bote a 3 kmh Como ela deve proce Se Ee r forem fixados mas R variar qual é 0 valor minimo da po der téncia B 44 Para um peixe nadando a uma velocidade v em relac4o 4 agua a energia gasta por unidade de tempo proporcional a v Acredita se que Os peixes migrat6rios tentam minimizar a energia total ne A C cessaria para nadar uma distancia fixa Se o peixe estiver nadando contra uma corrente u u v entéio o tempo necessdrio para na dar a uma distancia L é Lv u e a energia total E requerida para nadar a distancia é dada por 49 Uma refinaria de petrdleo esta localizada na margem norte de um Ev av oe rio reto que tem 2 km de largura Um oleoduto deve ser construido vu da refinaria até um tanque de armazenamento localizado na mar onde a é uma constante de proporcionalidade x oo gem sul do rio 6 km a leste da refinaria O custo de construcao a Determine 0 valor de v que minimiza E do oleoduto é 400000km sobre a terra até um ponto P na mar b Esboce 0 grafico de E gem norte e 800000km sob o rio até o tanque Onde P deve ObservacdGo Esse resultado foi verificado experimentalmente ria estar localizado para minimizar 0 custo do oleoduto peixes migrat6rios nadam contra a corrente a uma velocidade 50 maior que a velocidade da corrente 450 Suponha que a refinaria do Exercicio 49 esteja localizada 1 km ao norte do rio Onde P deveria estar situado 45 Em uma colmeia cada alvéolo é um prisma hexagonal regular aberto em uma extremidade com um Angulo triédrico na outra ex 51 A iluminacao de um objeto por uma fonte de luz é diretamente tremidade Acreditase que as abelhas formam esses alvéolos de proporcional a poténcia da fonte e inversamente proporcional ao modo a minimizar a 4rea da superficie usando assim uma quan quadrado da distancia da fonte Se duas fontes de luz uma trés ve tidade minima de cera na construgaéo O exame desses alvéolos zes mais forte que a outra sao colocadas a 4 m de distancia onde mostrou que a medida do Angulo do 4pice 6 é surpreendentemente deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de forma consistente Baseado na geometria do alvéolo pode ser mos a receber o minimo de iluminagao trado que a drea da superficie S é dada por 52 Encontre uma equacao da reta que passa pelo ponto 3 5 e que delimita a menor drea do primeiro quadrante S 6sh 28 cots 35 v3 2 cossec 8 53 Sejam a e b nimeros positivos Ache 0 comprimento do menor onde s 0 comprimento dos lados do hexagono h a altura sao segmento de reta que é cortado pelo primeiro quadrante e passa constantes pelo ponto a b 302 CALCULO 54 Em quais pontos da curva y 40x 3x areta tangente tem a sua maior inclinag4o0 a b 55 Qual é o menor comprimento de um segmento de reta que é cor tado pelo primeiro quadrante e é tangente 4 curva y 3x em al gum ponto a b 56 Qual é a menor drea de um triangulo que é cortado pelo primeiro quadrante e cuja hipotenusa é tangente a parabola y 4 xem 65 Um ponto P precisa ser localizado em algum ponto sobre a reta algum ponto AD de forma que o comprimento total L de fios ligando P aos pon 57 a Se Cx for o custo para produzir x unidades de uma merca tos A B e C seja minimizado veja a figura Expresse L como doria entao o custo médio por unidade é cx Cxx Mos uma fungao de x AP use os graficos de L e dL dx para es tre que se 0 custo médio for minimo entao o custo marginal timar o valor minimo de L igual ao custo médio A b Se Cx 16 000 200x 4x7 em délares encontre i 0 custo 0 custo médio e 0 custo marginal no nivel de produg4o P de 1 000 unidades ii 0 nivel de producao que minimizara o 5m custo médio e iii o custo médio minimo 58 a Mostre que se 0 lucro Px for maximo ento a receita mar ginal é igual ao custo marginal 2m a 3m 4 b Se Cx 16000 500x 16x 0004x for a funcao B D Cc custo e px 1 700 7x a fungao demanda encontre o ni 66 O grafico mostra o consumo de combustivel c de um carro medido vel de produgao que maximiza o lucro em litroshora como uma fungao da velocidade v do carro Em ve 59 Um time de beisebol joga em um estddio com capacidade para locidade muito baixa o motor nao rende bem assim inicialmente 55 000 espectadores Com o prego do ingresso a 10 a média c decresce 4 medida que a velocidade cresce Mas em alta veloci de ptblico tem sido de 27 000 Quando os ingressos abaixaram dade 0 consumo cresce Vocé pode ver que cv minimizado para para 8 a média de piblico subiu para 33 000 esse carro quando v 48 kmh Porém para a eficiéncia do com a Encontre a fungdo demanda supondo que ela seja linear bustivel o que deve ser minimizado nfo é o consumo em li b Qual deveria ser 0 preco dos ingressos para maximizar a re troshora mas em vez disso o consumo de combustivel em litros ceita por quil6metro Vamos chamar esse consumo de G Usando o gra 60 Durante os meses de vero Terry faz e vende colares na praia No fico estime a velocidade na qual G tem seu valor minimo verao passado ele vendeu os colares por 10 cada e suas vendas c eram em média de 20 por dia Quando ele aumentou 0 prego 1 descobriu que a média diminuiu em duas vendas por dia a Encontre a fungao de demanda supondo que ela seja linear b Se o material de cada colar custa a Terry 6 qual deveria ser o prego de venda para maximizar seu lucro 61 Um fabricante tem vendido 1 000 aparelhos de televisao de tela 0 40 80 plana por semana a 450 cada Uma pesquisa de mercado indica 67 Seja v a velocidade da luz no ar e v2 a velocidade da luz na 4gua que para cada 10 de desconto oferecido ao comprador o nimero De acordo com o Principio de Fermat um raio de luz viajara de de aparelhos vendidos aumenta 100 por semana um ponto A no ar para um ponto B na 4gua por um caminho ACB a Encontre a fungao demanda que minimiza o tempo gasto Mostre que b Que desconto a companhia deveria oferecer ao comprador para maximizar sua receita sen 61 c Se sua funcgao custo semanal for Cx 68000 150x sen 62 ee como o fabricante deveria escolher o tamanho do desconto onde 6 0 angulo de incidéncia e 62 0 angulo de refraao sao para maximizar seu lucro conforme mostrados Essa equagao é conhecida como a Lei de 62 O gerente de um complexo de apartamentos com 100 unidades Snell A sabe a partir da experiéncia que todas as unidades estarao ocu padas se o aluguel for 800 por més Uma pesquisa de mercado sugere que em média uma unidade adicional permanecera vazia C para cada 10 de aumento no aluguel Qual o aluguel que 0 ge rente deveria cobrar para maximizar a receita 63 Mostre que de todos os triangulos isésceles com um dado peri metro aquele que tem a maior area é 0 equilatero B 64 A moldura para uma pipa é feita com seis pedacos de madeira Os 68 Dols Postes verticals PQ e STsao amarrados por uma corda PRS que quatro pedacos externos foram cortados com os comprimentos in vai do topo do primeiro poste para um ponto R no chao entre os pos dicados na figura Para maximizar a drea da pipa de que tamanho tes e entao até topo do segundo poste como na figura Mostre que devem ser os pedacos diagonais o menor comprimento de tal corda ocorre quando 6 42 APLICAGOES DA DERIVAGAO 303 dy S J X b PO y 3 X y Q ho WA l A 5 69 O canto superior direito de um pedaco de papel com 30 cm de lar 74 Uma pintura em uma galeria de arte tem altura h e est4 pendurada gura por 20 cm de comprimento é dobrado sobre o lado direito de forma que o lado de baixo esta a uma distancia d acima do olho como na figura Como vocé dobraria de forma a minimizar 0 com de um observador como na figura A que distancia da parede primento da dobra Em outras palavras como vocé escolheria x deve ficar o observador para obter a melhor viséio Em outras pa para minimizar y lavras onde deve ficar o observador de forma a maximizar 0 an 30 gulo 6 subentendido em seu olho pela pintura 5 y x h 2 6 d 75 Encontre a drea maxima do retangulo que pode ser circunscrito 70 Um cano de metal esta sendo carregado através de um corredor eullo d P com 3 mde largura No fim do corredor ha uma curva em angulo em torno de um dado retaéngulo com comprimento L e largura W Dica Expresse a drea como uma funcao do angulo 0 reto passandose para um corredor com 2 m de largura Qual é 0 P s 8 comprimento do cano mais longo que pode ser carregado hori 76 O sistema vascular sanguineo consiste em vasos sanguineos ar zontalmente em torno do canto térias arterfolas capilares e veias que transportam o sangue do corag4o para os 6rg4os e de volta para o coracfo Esse sistema deve trabalhar de forma a minimizar a energia despendida pelo co rag4o no bombeamento do sangue Em particular essa energia é reduzida quando a resisténcia do sangue diminui Uma das Leis de Poiseuille da a resisténcia R do sangue como L RC 3 r 71 Um observador permanece em um ponto P distante uma unidade onde L 0 comprimento do vaso sanguineo r 0 raio e C é uma de uma pista Dois corredores iniciam no ponto S da figura e cor constante positiva determinada pela viscosidade do sangue Poi rem ao longo da pista Um corredor corre trés vezes mais rapido seuille estabeleceu essa lei experimentalmente mas também seguiu que o outro Encontre o valor maximo do 4ngulo 6 de visao do ob a Equacao 842 A figura mostra um vaso sanguineo principal de servador entre os corredores Dica Maximize tg 0 raio r ramificado em um Angulo 6 em um vaso menor de raio 72 Cc Ze a a a a a Py Ao a ramificagao Ad b vascular wie a a A rT 6 rr i B 72 Uma calha deve ser construida com uma folha de metal de largura ve ooo AAT 30 cm dobrandose para cima 13 da folha de cada lado fazendo a um Angulo com a horizontal Como 6 deve ser escolhido para que a calha carregue a maior quantidade de Agua possivel a Use a Lei de Poiseuille para mostrar que a resisténcia total do sangue ao longo do caminho ABC é abcotg bcossecé 0 6 R ctenet 1 ry ry I 10 cm 10 cm 10 em onde a e b sao as distaéncias mostradas na figura 73 Como deve ser escolhido 0 ponto P sobre 0 segmento AB de b Demonstre que essa resist6ncia minimizada quando forma a maximizar o angulo 6 304 CALCULO 4 para o passaro voar para B e entao seguir ao longo da praia r cos para D ry d Se os ornitologistas observarem que passaros de certa espécie c Encontre 0 Angulo 6timo de ramificaio com precisdo de um atingem a praia em um ponto a 4 km de B quantas vezes mais grau quando 0 raio do vaso sanguineo menor é 23 do raio do energia sera despendida pelo passaro para voar sobre a 4gua vaso maior que sobre a terra s a a e8 2 ee ATS ET Q oe J 4 2 4 od Sie S sy a t a ae 5 A sj a a a a A AE 78 Duas fontes de luz de igual poténcia estao colocadas a 10 m uma oD 4 da outra Um objeto deve ser colocado em um ponto P sobre uma c s reta paralela a reta que une as fontes de luz a uma distancia d 71 Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de passa metros dela veja a figura Queremos localizar pP em de forma ros tendem a evitar voos sobre largas extens6es de agua durante que a intensidade de iluminagao seja minimizada Precisamos usar o dia Acreditase que é necessria mais energia para voar sobre o fato de que a intensidade de iluminagfo para uma Unica fonte a Agua que a terra pois o ar em geral sobe sobre a terra e desce é diretamente proporcional 4 poténcia da fonte e inversamente sobre a 4gua durante o dia Um passaro com essas tendéncias é proporcional ao quadrado da distancia da fonte solto de uma ilha que esta a 5 km do ponto mais proximo B so a Encontre uma expressdo para a intensidade x em um ponto P bre uma praia reta voa para um ponto C na praia e entéo voa b Sed 5 m use os graficos de Ix e x para mostrar que a ao longo da praia para a area D seu ninho Suponha que o pas intensidade é ee quando x 5 m isto é quando P saro instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu esté no ponto médio de gasto de energia Os pontos B e D distam 13 km um do outro c Se d 10 m mostre que a intensidade talvez surpreenden a Em geral se é preciso 14 vezes mais energia para voar so temente ndo minimizada no ponto médio bre a Agua do que sobre a terra para que ponto C o passaro d Em algum ponto entre d 5 m ed 10 m existe um valor precisa voar para minimizar a energia total gasta no retorno de d no qual ponto de iluminagao minima muda abrupta ao ninho mente Estime esse valor de d por métodos graficos Encon b Sejam W e L a energia em joules por quilémetro voado so tre entao o valor exato de d bre a 4gua e sobre a terra respectivamente Qual o significado P em termos do voo do passaro de grandes valores da razao si OodCtS 1 Lo x WIL O que significaria um valor pequeno Determine a ra 1 zao WL correspondente ao minimo dispéndio de energia c Qual deveria ser o valor de WL a fim de que 0 passaro voasse diretamente para seu ninho D Qual deveria ser o valor de WL 10 m Pe eee PROJETO APLICADO A FORMA DE UMA LATA Neste projeto examinaremos a forma mais econémica para uma lata Primeiro interpretamos isso como se 0 volume V de uma lata cilindrica fosse dado e precisa4ssemos achar a altura h e 0 raio r que minimizasse no custo do metal para fazer a lata veja a figura Se desprezarmos qualquer perda de metal no processo de manufatura entao o problema seria minimizar a drea da superficie do ci Pp Pp Pp lindro Resolvendo esse problema no Exemplo 2 da Secao 47 descobrimos que h 2r isto é a altura deve ser igual ao diametro Porém se vocé olhar seu armario ou um supermercado com uma régua descobrira que a altura é geralmente maior que o diadmetro e a razdo hr varia de 2 até cerca 38 Vamos ver se conseguimos explicar este fendmeno 1 O material para fazer as latas é cortado de folhas de metal Os lados cilindricos sao formados dobrandose retangulos esses retangulos sao cortados da folha com uma pequena ou nenhuma E necessério usar uma calculadora grafica ou computador