Cálculo de Fluxo e Circulação

Calcule o fluxo e a circulação de a F xy x através e ao redor da circunferência x2 y2 1 b F1 2x xy e F2 x2 y2 através e ao redor da circunferência rt a cost a sent a F x y x região x2 y2 1 através de uma curva é o mesmo que fluxo ao redor de uma curva é o mesmo que circulação FLUXO Temos uma curva fechada e simples então podemos aplicar o teorema de green c F n ds c M dy N dx R Mx Ny dx dy Essa equação calcula o fluxo exterior de um campo F M î N ĵ Temos que F xy x xy î x ĵ m N Então Mx x xy 1 Ny 0 O fluxo será então Φ R 1 0 dx dy R dx dy A região R é dada por x2 y2 1 r2 1 r 1 Então em coordenadas polares 0 r 1 0 θ 2π dx dy r dr dθ Assim temos para o fluxo Φ 02π 01 r dr dθ 02π r2 201 dθ 02π 12 dθ Φ 12 02π dθ 12 θ 02π Φ 2π 2 π CIRCULAÇÃO c F T ds c M dx N dy R Nx My dx dy Esse é o teorema de green para a circulação e se calcula a circulação no sentido antihorário de um campo F M î N ĵ em torno de uma curva fechada e simples Temos que F xy î x ĵ Então Nx 1 My 1 Também sabemos que 0 r 1 0 θ 2π dxdy rdrdθ Então c F T ds R 1 1 dx dy 02π 01 2r dr dθ 𝓘 02π 2r22 01 dθ 02π 1 dθ θ 02π 2π 𝓘 c F T ds 2π b F₁ 2x x y F₂ x² y² rt a cost a sint Sabemos que 0 r a 0 t 2π dx dy r dr dt Para F₁ F₁ 2x î x y ĵ FLUXO Vamos usar o teorema de Green 𝓘 R M x N y dx dy Mx 2 Ny 1 Então 𝓘₁ 02π 0a 2 1 r dr dt 02π 0a r dr dt 02π r²20a dt 𝓘₁ a² 2 02π dt a² 2 t 02π 2π a 2 𝓘₁ π a² CIRCULAÇÃO 𝓒₁ R Nx My dx dy Novamente em coordenadas polares 0 r a 0 t 2π dx dy r dr dt Das derivadas Nx 1 My 0 Então 𝓒₁ 02π 0a 1 0 r dr dt 02π 0a r dr dt 𝓒₁ 02π r²2 0a dt a²2 02π dt a²2 t 02π 𝓒₁ 2π a² 2 π a² Para F₂ F₂ x² î y² ĵ Fluxo Do teorema de Green Φ2 R Mx Ny dx dy Mx 2x My 2y Em coordenadas polares x a cos θ 0 r a dx dy r d r d θ y a sen θ 0 θ 2 π Determinando o fluxo Φ2 02π 0a 2a cos θ 2a sen θ r d r d θ Φ2 2a 02π r2 20a cos θ sen θ d θ a3 02π cos θ sen θ d θ Φ2 a3 sen θ cos θ02π mas sen 0 sen 2π 0 Φ2 a3 cos 2π cos 0 0 Então Φ2 0 Circulação Usando o teorema de Green Γ2 R Nx My dx dy Nx 0 My 0 Podemos concluir então que Γ2 0