Tensões no Maciço de Terra- Conceitos e Aplicações na Mecânica dos Solos

TENSÕES ATUANTES NUM MACIÇO DE TERRA Profa Dra Nelcí Helena Maia Gutierrez Departamento de Engenharia Civil Universidade Estadual de Maringá DISCIPLINA MECÂNICA DOS SOLOS DEC 2573 TENSÕES ATUANTES NUM MACIÇO DE TERRA IMPORTÂNCIA Estimativas de recalques de fundações Determinação de empuxos de terra Verificação da capacidade de carga dos solos Análise de estabilidade de taludes Estudos requer o conhecimento da distribuição de tensões no maciço de solo Exemplos empuxos de terra capacidade de carga dos solos recalques Rupturas de taludes Ouro Preto jan2022 BR 376 próximo à Curitiba nov2022 PESO PRÓPRIO Tensões iniciais SOBRECARGAS Acréscimo de tensões resultantes de fundações aterros pavimentos escavações alívio TENSÕES ATUANTES NUM MACIÇO DE TERRA SOLO sólidos vazios fase sólida grãospartículas fase líquida água fase gasosa ar ar água sólido CONCEITO DE TENSÕES NUM MEIO PARTICULADO CONSTITUIÇÃO DO SOLO Forças aplicadas ao solo transmitidas aos sólidos transmitidas à água existente nos vazios Transmissão das forças é muito complexa depende do tipo de mineral VISÃO MICROSCÓPICA F F F F N N N N T T T T mineralmineral predominante nos grãos equidimensionais ex areias através da água quimicamente adsorvida na superfície predominante nas argilas TRANSMISSÃO SE FAZ NOS CONTATOS EM ÁREAS MUITO REDUZIDAS 1 da área total Lambe Whitman areia uniforme grãos arredondados Ø 06 mm Área de contato As 003 Atotal Tensão de contato s 350 MPa Sousa Pinto s pode chegar até 700 MPa enquanto nos problemas de engenharia de solos raramente as tensões chegam a 1 MPa Forças transmitidas F podem ser decompostas em normais N e tangenciais T VISÃO MACROSCÓPICA Como é impossível desenvolver modelos matemáticos com base nestas inúmeras forças Ação das forças normais e tangenciais é substituída pelo conceito de tensões As tensões e assim definidas e que são consideradas na Mecânica dos Solos são muito menores do que as tensões que efetivamente ocorrem nos contatos entre os grãos Esse conceito de tensão conduz ao conceito de tensão da Mecânica do Contínuo As tensões serão consideradas atuando num ponto definindo um estado de tensões num cubo infinitesimal de um material homogêneo Área N Área T Tensão normal Tensão cisalhante Ao se fazer assim não se está cogitando se este ponto na massa de solo está materialmente ocupado por um grão ou por um vazio SÍNTESE a O conceito de tensão definido conduz ao conceito de tensão num meio contínuo Ao se considerar um ponto no sistema particulado este poderá estar materialmente ocupado por um grão ou por um vazio Assim as tensões numa visão macroscópica representam tensões fictícias pois as áreas de atuação consideradas são áreas totais incluindo também áreas de vazios b as tensões reais numa visão microscópica existentes nos contatos intergranulares são extremamente elevadas pois as áreas de contato são extremamente pequenas c a tensão intergranular não é necessariamente normal à superfície de contato Isto faz com que no contato intergranular exista também esforço tangencial ou de cisalhamento d Num solo não saturado em todo instante quem de fato resiste aos esforços é o arcabouço sólido TENSÕES NUM SOLO SATURADO PRESSÃO NEUTRA OU POROPRESSÃO u TENSÃO DE CONTATO s atua nos vazios água intersticial transmitida nos contatos sólidosólido SOLO SATURADO Sr 100 Vw Vv u VISÃO MICROSCÓPICA s em todas as direções e com a mesma intensidade PRINCÍPIO DAS TENSÕES EFETIVAS TERZAGHI Seção transversal de área total At At Área de sólidos As Área de vazios Av t v t s s t t A uA A A A F v s s v s t uA A F F F sA é muito pequena em relação à t v A A tA u Tensão total Tensão efetiva transmitida ao arcabouço sólido Pressão neutra ou poropressão transmitida na água intersticial t s A A 0 03 s u 1ª Para solos saturados 2ª Todos os efeitos mensuráveis resultantes de variações de tensões nos solos como compressão distorção e resistência ao cisalhamento são devidos à variações de tensões efetivas após intensa verificação experimental constatou que as tensões normais que se desenvolvem num solo saturado são suportadas parte pelo esqueleto arcabouço sólido e parte pela fase fluida vazios acarretando no solo diferentes efeitos mecânicos Estabeleceu o Princípio das Tensões Efetivas expresso em duas partes TERZAGHI u NA NA NA a Esponja em repouso c Elevação do nível dágua em 10 cm b Peso aplicado VISUALIZAÇÃO DO CONCEITO DE TENSÃO EFETIVA esponja cúbica aresta 10 cm P 10 N Tensão aplicada 10 N001 m2 1 kPa A esponja se deforma sob a ação do peso expulsando água do seu interior O aumento de tensão foi efetivo Tensão aplicada 10 kNm3 x 01 m 1 kPa A esponja não se deforma A pressão é sentida somente nos vazios e portanto o acréscimo de pressão na estrutura sólida é neutro Conclusão Se um carregamento é feito na superfície do terreno as tensões efetivas aumentam o solo se comprime e parte da água é expulsa dos vazios ainda que lentamente Mas se o nível dágua se eleva o aumento de tensão total é igual ao aumento da pressão neutra nos vazios e o solo não se comprime SÍNTESE a v h v h são tensões intergranulares denominadas de tensões efetivas atuantes nos planos vertical e horizontal b uv uh são pressões existentes nos fluidos do solo No ponto considerado são iguais pois atua em todas as direções e com a mesma intensidade c Os fluidos existentes nos poros de um solo saturado não apresentam resistência ao cisalhamento portanto quem resiste ao cisalhamento é o arcabouço sólido esqueleto Os fluidos só transmitem de seção a seção a pressão neutra positiva compressão ou negativa sucção d é importante recordar que os solos são meios porosos e que os seus vazios são basicamente intercomunicantes DESENVOLVIMENTO DE PRESSÃO NEUTRA NO SOLO elevação de nível dágua no subsolo carregamento ou solicitação externa do maciço de solo compressão ou cisalhamento movimento de água no solo percolação de água capilaridade no solo tensões capilares e outros fenômenos TENSÕES DEVIDAS AO PESO PRÓPRIO DO SOLO superfície horizontal i 0 z v h a Tensão total em solo não saturado z P v v Tensão vertical total v tensão vertical efetiva P peso da coluna de solo peso específico natural do solo z altura da coluna de solo A Condição geostática Superfície do terreno horizontal Subcamadas horizontais Pouca variação das propriedades do solo na direção horizontal v v σ zγ σ Obs 1 Sendo a superfície do terreno horizontal não existem tensões de cisalhamento nos planos horizontais e dessa forma a tensão vertical total causada pelo solo é uma tensão principal Para terreno estratificado 1 2 3 z1 z2 z3 i i v Σγ z σ Obs 2 É de fundamental importância notar que no elemento de solo além da tensão vertical devido ao peso próprio ocorrem também tensões horizontais que são uma parcela da tensão vertical atuante v h σ kσ k coeficiente de empuxo Tensão horizontal efetiva k k0 Coeficiente de empuxo no repouso quando não ocorrem deformações na massa de solo A tensão horizontal efetiva depende de uma série de fatores relacionados não só com a aplicação de novos incrementos verticais de carga mas dependem também dos anteriormente aplicados inclusive daqueles geológicos e pedológicos atuantes quando da formação do respectivo solo μ μ k 1 0 coeficiente de Poisson Teoria da elasticidade Valor de k0 Pode ser obtido através de ensaios de laboratório ou in situ Superfície do terreno inclinada i 0 b0 z P b γbcosiz σv zγ cosi σv seni zγ cosi τ bo bcosi superfície horizontal i 0 A z v h b Tensão total em solo saturado z P v sat Tensão vertical total A Az A V Área P nat nat v u σ z γ z γ σ v sat nat v P peso da coluna de solo sat peso específico do solo saturado z altura da coluna de solo v tensão vertical efetiva u pressão neutra NA NA γwhw u peso específico da água altura de coluna de água Neste caso hw z Relação entre γsub γsat γw Empuxo de Arquimedes Todo corpo imerso num fluido líquido ou gás sofre por parte do fluido uma força vertical direcionada para cima cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado γsub Ps Vs γw V γsub Ps V VvγwV Ps Vv γw V γwV Psat V γwV γsub γsat γw DIAGRAMAS DE TENSÕESPRESSÕES VERTICAIS superfície horizontal i 0 z sat X z NA w X z sat w X z Tensão total v Pressão neutra u Tensão efetiva v u v sat X z w X z sat w X z Para o caso de solo saturado por submersão sat w sub Peso específico do solo submerso v sub X z Tensão efetiva TENSÕES ATUANTES NUM MACIÇO DE TERRA EXERCÍCIO 1 Determinar as tensões vertical e horizontal no ponto X para as condições a e b considerando o coeficiente de empuxo no repouso Ko 045 a Solo seco X 00 m 50 m d 170 KNm3 s 267 KNm3 a Solo seco a1 Tensão vertical no ponto X σv γnat z σv50 m 17 kNm³ x 5 m 85 kNm² uv50 m 0 σv50 m σv50 m uv50 m 85 kNm² a2 Tensão horizontal no ponto X σh k0 σv σh50 m 045 x 85 383 kNm² uh50 m 0 σh50 m σh50 m uh50 m 383 kNm² b Solo saturado NA 00 m γd 170 kNm³ γs 267 kNm³ γsat 50 m x e γsγd 1 e 0571 γsat e γw γs1 e γsat 206 kNm³ b Solo saturado σv γnat z γsat z σv u σh k0 σv σh σh u b1 Tensão vertical no ponto X σv γnat z σv50 m 206 kNm3 x 5 m 103 kNm2 uv50 m 10 kNm3 x 5 m 50 kNm2 σv50 m σv50 m uv50 m σv50 m 103 50 53 kNm2 b2 Tensão horizontal no ponto X σh k0 σv σh50 m 045 x 53 2385 kNm2 uh50 m 10 kNm3 x 5 m 50 kNm2 σh50 m σh50 m uh50 m σh50 m 2385 50 7385 kNm2 Análise dos resultados σhseco50 m 383 kNm2 σhsat50 m 7385 kNm2 Ao saturar o solo houve um aumento de 93 na tensão horizontal σh saturado σh seco 1 x 100 93 Esse é um dos motivos pelo qual no caso de estruturas de contenção muros de arrimo cortinas se procura drenar a água existente junto ao tardo da contenção Para o perfil de solo esquematizado a seguir a determinar as tensões verticais totais e efetivas e as pressões neutras verticais nos planos A cota 20 m B cota 60 m e C cota 130 m b determinar as tensões horizontais totais e efetivas e as pressões neutras horizontais nos planos A cota 20 m B cota 60 m e C cota 130 m c traçar os diagramas de tensõespressões verticais e horizontais EXERCÍCIO 2 PERFIL DE SOLO 00 m 20 m 60 m 130 m NA AREIA AREIA ARGILA 3 17 kN m 50 0 k 3 19 kN m 3 16 kN m 70 0 k 40 k0 a Tensõespressões verticais totais neutras e efetivas a1 Tensões verticais totais σv γ z γ peso específico natural do solo z altura da coluna de solo σv00 m 0 σv20 m 17 x 2 34 kNm2 σv60 m 16 x 60 20 34 98 kNm2 σv130 m 19 x 130 60 98 231 kNm2 00 m NA AREIA γ 17 kNm3 k0 05 20 m ARGILA γ 16 kNm3 k0 07 60 m AREIA γ 19 kNm3 k0 04 130 m PARAMENTO CANALETA DE CRISTA PARAMENTO EXTERNO TARDOZ FILTRO DE AREIA OU GEOCOMPOSTO DRENANTE BARBACÃS DREN0 DE BRITA BASE a2 Pressões neutras verticais uv γw x z γw peso específico da água z altura da coluna dágua uv00 m 0 uv20 m 0 uv60 m 10 x 60 20 40 kNm² uv130 m 10 x 130 20 10 x 130 60 40 110 kNm² 00 m 20 m NA AREIA γ 17 kNm³ k₀ 05 ARGILA γ 16 kNm³ k₀ 07 60 m AREIA γ 19 kNm³ k₀ 04 130 m a3 Tensões verticais efetivas σv σv u σv00 m 0 σv20 m 34 0 34 kNm² σv60 m 98 40 58 kNm² σv130 m 231 110 121 kNm² 00 m 20 m 60 m 130 m DIAGRAMAS DE TENSÕESPRESSÕES VERTICAIS Tensões totais vkPa Tensões efetivas vkPa Pressões neutras u kPa 34 98 231 40 110 34 58 121 b Tensõespressões horizontais totais neutras e efetivas b1 Tensões horizontais efetivas σh k₀ σv σh00 m 0 σh20 m 34 x 05 17 kNm² 34 x 07 238 kNm² σh60 m 58 x 07 406 kNm² 58 x 04 232 kNm² σh130 m 121 x 04 484 kNm² 00 m 20 m NA AREIA γ 17 kNm³ k₀ 05 ARGILA γ 16 kNm³ k₀ 07 60 m AREIA γ 19 kNm³ k₀ 04 130 m b2 Pressões neutras horizontais uh uv u γw z γw peso específico da água z altura da coluna dágua uh00 m uv00 m 0 uh20 m uv20 m 0 uh60 m uv60 m 10 x 60 20 40 kNm² uh1 0 m uv130 m 10 x 130 20 110 kNm² b3 Tensões horizontais totais σh σh u σh00 m 0 σh20 m 17 kNm² 238 kNm² σh60 m 406 40 806 kNm² 232 40 632 kNm² σh1 0 m 484 110 1584 kNm² 00 m 20 m 60 m 130 m DIAGRAMAS DE TENSÕESPRESSÕES HORIZONTAIS Tensões totais hkPa Tensões efetivas hkPa Pressões neutras u kPa 17 806 1584 40 110 17 406 484 238 232 238 632 00 m 150 m 70 m 40 m NA 20 kNm3 s 265 kNm3 areia argila w 30 sat 175 kNm3 s 26 kNm3 w 6 EXERCÍCIO 3 Determinar as tensões geostáticas verticais para o perfil abaixo esquematizado considerando os casos 1 2 e 3 e traçar os respectivos diagramas Obs Compare os resultados obtidos para cada caso CASO 1 NA na cota 70m 00 m 150 m 70 m 40 m NA areia argila CASO 2 Elevação do NA até a superfície do terreno 00 m 150 m 70 m 40 m NA areia argila CASO 3 Elevação do NA até a cota 50m 50 m w 10 kNm3 água CAPILARIDADE NOS SOLOS Propriedade pela qual a água alcança em tubos de pequeno diâmetro capilares pontos situados acima do nível freático nível dágua superfície onde a pressão neutra é igual a pressão atmosférica tomada como nível de referência para o cálculo das pressões neutras nos trabalhos da Mecânica dos Solos Nível dágua NA Franja capilar NA Solo FENÔMENO DA CAPILARIDADE relacionado à tensão superficial existente num líquido e às condições de contato do líquido com as paredes do tubo Tubo capilar M N P hc Pressão atmosférica pressão em M pressão em P pressão atmosférica pressão em M pressão em N pressão em N pressão atmosférica hc altura de ascensão capilar Tubo capilar patm u P hc hc altura de ascensão capilar 2R Fc Fc cos Ts NA Equilíbrio P Fc cos w V Ts perímetro cos w π R2 hc Ts 2 π R cos Ts tensão superficial atuante ao longo da linha de contato entre o líquido e o sólido Fc força capilar ângulo de contato líquido sólido P peso da coluna de água suspensa R raio do tubo cos R 2T h w s c P 0º w s cmáx R 2T h A tensão superficial da água Ts a 20ºC é de 0073 Nm A altura de ascensão capilar é inversamente proporcional ao raio do tubo Ø 1 mm a altura de ascensão é de 3 cm Ø 01 mm a altura de ascensão é de 30 cm Ø 001 mm a altura de ascensão é de 3 m Ø 0001 mm a altura de ascensão é de 30 m Nos solos o diâmetro do tubo equivale ao diâmetro dos vazios ininterruptos que por sua vez tem a mesma ordem de grandeza que os diâmetros dos grãospartículas constituintes do solo Logo dependendo do tipo de solo têmse constatado na prática alturas de ascensão capilar de Pedregulhos 2mm 60mm poucos milímetros Areias 006 mm 2 mm 1 a 2 m Siltes 0002mm 006 mm 3 a 4 m Argilas 0002 mm dezenas de metros Da equação para cálculo de hc concluise que em tubos com Franja capilar zona saturada Pressões neutras negativas provocam aumento das tensões efetivas meniscos pontos de contato meniscosgrãos geram pressões de contato pressões neutras negativas tendendo a comprimir os grãos u Acréscimo de tensão efetiva proporciona um acréscimo de resistência coesão aparente hc h1 w x hc w x h1 Diagrama de pressões neutras EXERCÍCIO 4 Dado o perfil do terreno esquematizado a seguir pedese a determinar as tensões verticais totais e efetivas e as pressões neutras nos pontos A e B b traçar os respectivos diagramas de tensõespressões verticais Obs Admitir que na zona da franja capilar 20m a 25m o solo se encontra completamente saturado Perfil do terreno 45 m 00 m 20 m 25 m A B NA Areia fina Franja capilar nat 1 18 kNm3 nat 2 22 kNm3 a Tensõespressões verticais totais neutras e efetivas nos pontos A e B a1 Tensões verticais totais σv γ z γ peso específico natural do solo z altura da coluna de solo σvA20 m 18 x 2 36 kNm² σvB45 m 18 x 2 22 x 25 91 kNm² γnat 1 18 kNm³ γnat 2 22 kNm³ 00 m 20 m 25 m 45 m A B NA Franja capilar Areia fina a2 Pressões neutras verticais uv γw z γw peso específico da água z altura da coluna dágua uvA20 m 10 x 05 5 kNm² uvA45 m 10 x 45 25 20 kNm² γnat1 18 kNm³ γnat2 22 kNm³ NA Franja capilar Areia fina a3 Tensões verticais efetivas σv σv u σvA20 m 36 5 41 kNm² σvB45 m 91 20 71 kNm² 00 m 45 m 20 m 25 m A B NA b Diagramas de tensõespressões verticais totais neutras e efetivas Tensões totais vkPa Tensões efetivas vkPa Pressões neutras u kPa 36 91 5 20 71 36 41 00 m 150 m 40 m 15 m NA nat 175 kNm3 Areia Argila nat 185 kNm3 Pedregulho 190 kNm3 80 m EXERCÍCIO 5 Determinar as tensões geostáticas verticais total neutra e efetiva e traçar os respectivos diagramas considerando a existência do nível freático subterrâneo a 40 m de profundidade e franja capilar com Sr100 situada entre 15 m e 40 m de profundidade tomando como referência o perfil de solo representado a seguir franja capilar com Sr100 A construção de uma obra de dimensões finitas apoiada em uma dada cota do terreno e aplicando nessa cota uma pressão devido ao seu peso causará acréscimo diferente na tensão efetiva inicial peso próprio para cada ponto do maciço provocando deformação no solo e recalque da estrutura As considerações acerca desses esforços são bastante complexas e o tratamento normalmente se dá a partir das hipóteses formuladas pela Teoria da Elasticidade TENSÕES NUM MACIÇO DE SOLO DEVIDAS ÀS SOBRECARGAS ESFORÇOS EXTERNOS EFEITO DA SOBRECARGA acréscimo de tensão Tensão vertical Inicial v z Final v z z acréscimo sobrecarga Tensão horizontal Tensão cisalhante Tensões iniciais peso próprio Tensões finais após aplicação da sobrecarga P peso próprio acréscimo de tensão sobrecarga Inicial h z Final h z x acréscimo sobrecarga Inicial 0 Final acréscimo sobrecarga A z z x i 0 P x A z v h ESTADOS DE TENSÕES EM SOLOS TENSÕES INICIAIS Peso próprio A z z x ACRÉSCIMOS DE TENSÕES Sobrecarga P x A z v z i 0 TENSÕES FINAIS Peso próprio Sobrecarga P x h x Para problemas de fundações interessam mais as tensões verticais e para problemas de empuxo as tensões horizontais ESTIMATIVA DE TENSÕES MÉTODO SIMPLIFICADO 21 z z L B P z 2 z z B P Placa retangular Para placa quadrada B z2 z2 z 0 z DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES TEORIA ANTIGA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME AO LONGO DE UM MESMO PLANO B z B L P DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES Distribuição de tensões com a profundidade Bulbo de tensões Conjunto de isóbaras 0 0 v 0 08 0 05 0 03 0 01 0 Concentração menor e distribuição maior com o aumento da profundidade Última isóbara de interesse para fins práticos OBSERVAÇÕES EXPERIMENTAIS COM EMPREGO DE CÉLULAS ESPECIAIS DISTRIBUIÇÃO VARIÁVEL AO LONGO DE UM MESMO PLANO Deslocamento vertical Comportamento elástico As deformações provocadas por determinado carregamento desaparecem com a retirada deste Materiais elásticos ou reversíveis a curva de carregamentodescarregamento volta a zero Sem histerese material hookeano linearmente elástico Sem histerese material nãohookeano Com histerese REOLOGIA DOS MATERIAIS Comportamento plástico Ciclo carregamentodescarregamento Se o material atingir o escoamento e se deformar ao retirar a carga as tensões e deformações decrescem de modo linear ao longo da reta CD paralela à reta AB da curva de carregamento O valor de não volta a zero indicando que o material sofreu deformação permanente ou plástica Ciclo carregamentodescarregamentorecarregamento Para muitos materiais a deformação plástica atingida não depende somente da tensão máxima a que o material foi submetido mas também do tempo decorrido entre a aplicação e a retirada do carregamento Deformação lenta do material parcela de deformação dependente da tensão Fluência parcela de deformação que depende do tempo de carregamento e da temperatura TEORIA DA ELASTICIDADE Principais postulados Conceito de comportamento elástico Hipóteses de um material homogêneo de extensão finita constituindo um semiespaço infinito Hipótese da proporcionalidade tensão deformação Hipótese da homogeneidade Terreno homogêneo em extensa área e até em grande profundidade TEORIA DA ELASTICIDADE APLICADA AO SOLO O solo é admitido elástico somente para pequenas deformações para grandes deformações dividir o carregamento e obter parâmetros elásticos diferentes Para que esta hipótese seja válida é necessário que os acréscimos de tensões sejam pequenos e que o estado final de tensões esteja distante do estado de tensões correspondente à ruptura Referese à forma da curva tensãodeformação e ao módulo de deformabilidade correspondente a resistência aumenta com o confinamento aumentando o módulo de deformabilidade com a profundidade deixando o solo de ser homogêneo Esta condição pode ser considerada válida no caso de terreno de conformação essencialmente uniforme por distâncias da ordem de algumas vezes a menor dimensão da área carregada SOLUÇÕES COM BASE NA TEORIA DA ELASTICIDADE Obtidas supondose o solo como um material perfeitamente elástico homogêneo e isotrópico Validade do princípio da superposição de efeitos A tensão resultante de carregamentos distintos é a soma das tensões de cada carregamento atuando independentemente isto é os efeitos não interagem DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES BASEADA NA TEORIA DA ELASTICIDADE carga concentrada vertical atuando na superfície do terreno semiespaço infinito de superfície horizontal material homogêneo isótropo e linearmente elástico a Solução de Boussinesq 1885 z tensão vertical r tensão radial t tensão circunferencial rz tensão de cisalhamento z profundidade r afastamento radial R distância entre o ponto de aplicação da carga e o elemento considerado ângulo entre R e z P r z z r i 0 rz R ө t 2 5 2 1 2 3 2 Rr z R R r z P r 2 3 1 2 2 Rr z R R z P t 5 3 5 2 52 2 2 3 2 3 2 3 2 3 πR Pz πz cos θ P z r π Pz σ z 5 2 2 3 R rz π P τrz Tensão vertical Tensão radial Tensão de cisalhamento Tensão circunferencial EXERCÍCIO 1 P 50 kN r 2 m Z 3m z r rz R 361 m ө t 2 5 3 5 2 52 2 2 3 06 1 3 61 2 50 3 3 3 61 3 3 2 50 3 3 2 2 3 50 3 m kN z 2 2 5 2 0 40 61 2 3 3 61 3 40 1 2 61 3 3 2 3 2 50 m kN r 2 2 3 0 034 61 2 3 61 3 3 3 61 3 40 1 2 2 50 m kN t 2 5 2 70 0 61 3 3 2 2 3 50 kN m rz Adotar coeficiente de Poisson 04 A Acréscimo de tensões no ponto A 500 kN 25 m 00 m 50 m A B Uma carga de 500 kN é aplicada na superfície do terreno Determine as tensões verticais nos pontos A e B do perfil esquematizado a seguir EXERCÍCIO 2 EXERCÍCIO 3 Traçar o diagrama de tensões verticais ao longo do eixo de uma carga de 1000 kN aplicada na superfície do terreno Calcular as tensões nas profundidades de 2m 4m 6m 8m e 10m Resp zA 955 kPa zB 547 kPa 5 3 5 2 52 2 2 3 2 3 2 3 2 3 πR Pz πz cos θ P z r π Pz σ z Tensão vertical P 500 kN rA 0 RA zA 50 m rB 25 m zB 50 m RB 559 m 2 0 0 k N 30 m 00 m 20 m 300 kN 1 2 200 kN Na superfície de um maciço terroso atuam cargas de 200 kN e 300 kN espaçadas de 30 m Calcule as tensões resultantes nas verticais das cargas na profundidade de 20 m EXERCÍCIO 4 Resp z1 26 kPa z2 37 kPa 300 kN 210 m 150 m 110 m y x z EXERCÍCIO 5 Uma carga concentrada de 300 kN é aplicada na superfície do terreno Calcule a tensão vertical em um ponto do maciço Ponto A de coordenadas x 150 m y 210 m e z 110 m Obs O ponto de aplicação da carga coincide com a origem do sistema de referência Resp zA 11 kPa A Onde b Extensão da Solução de Boussinesq Soluções para outros tipos de carregamentos frequentes na prática b1 Carregamento uniformemente distribuído ÁREA RETANGULAR Newmark z z p a b z tensão vertical p carga uniformemente distribuída Iσ influência do carregamento função de m e n determinado graficamente Estimativa para pontos situados abaixo de um dos vértices da placa carregada m az n bz 2 2 2 2 0 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 5 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 4 m n n m n arctg mn m n m m n n m n m n m mn π p σ z Onde I p z Solução de Newmark PLACA RETANGULAR UNIFORMEMENTE CARREGADA Obs m e n são intercambiáveis m az n bz I I p z Para pontos fora do vértice da placa carregada Utilização de artifício B E A C D F I H G B D E C A F I H G σzA σzABCAE σzACDFA σzAEAHG σzAAFIH σzA σzABAIG σzABAFD σzACAIH σzACAFE Ponto A interno à placa Ponto A externo à placa Aplicase o princípio da superposição de efeitos A A EXERCÍCIO 6 Uma carga de 40000 kN está uniformemente distribuída sobre uma placa retangular de fundação 10 m x 20 m conforme esquematizado na figura a seguir Determinar as tensões verticais nos pontos A B C D e E situados à profundidade de 40 m abaixo da placa Carga uniformemente distribuída na fundação p 40000 10 x 20 200 kNm² Ponto A A m bz 104 25 n az 204 5 Ábaco I 𝟐 20 m 10 m a 20 m b 10 m z 4 m 0245 n5 m25 Solução de Newmark PLACA RETANGULAR UNIFORMEMENTE CARREGADA Obs m e n são intercambiáveis m az n bz I I p z m bz n az I Ou Ponto A a 20 m b 10 m z 4 m m bz 104 25 n az 204 5 Ábaco IσA 0245 Tensão vertical em A σzA p IσA σzA 200 x 0245 σzA 49 kPa Ponto B a 20 m b 5 m z 4 m m bz 54 125 n az 204 5 Ábaco IσB 022 Tensão vertical em B σzB 2 p IσB σzB 2 x 200 x 022 σzB 88 kPa Ponto C a 10 m b 5 m z 4 m m bz 54 125 n az 104 25 Ábaco IσC 0217 Tensão vertical em C σzC 4 p IσC σzC 4 x 200 x 0217 σzC 1736 kPa Ponto D p 200 kNm² a 10 m b 10 m z 4 m m bz 104 25 n az 104 25 Ábaco IσD 024 Tensão vertical em D σzD 2 p IσD σzD 2 x 200 x 024 σzD 96 kPa Ponto E p 200 kNm² a 22 m b 5 m z 4 m m bz 54 125 n az 224 55 Ábaco IσEIII 022 a 5 m b 2 m z 4 m m bz 24 05 n az 54 125 Ábaco IσEII 0127 Tensão vertical em E σzE σzEII σzEII x 2 σzE pIzEIII IzEII x 2 σzE 200022 0127 x 2 σzE 372 kPa EXERCÍCIO 7 Estimar as tensões verticais para o exercício nº 6 considerando a distribuição de tensões com base no método simplificado 21 a Compare os resultados obtidos b Faça uma análise em relação às deformações considerando os resultados obtidos com base na teoria da elasticidade e na hipótese simples ou antiga b2 Carregamento uniformemente distribuído ÁREA RETANGULAR DE COMPRIMENTO INFINITO CAROTHERSTERZAGHI a b 2 2 z b2 b2 p x a b cos2 sen p z cos2 sen p x 2 sen sen p xz Obs ângulos em radianos ex sapata corrida X z x rz z x 2 2 Z 1 m 1 m 05 m p200kPa x kPa sen sen p z 42 7 cos2 47 4 41 6 180 41 6 200 cos2 0 0 41 6 0 01 50 01 52 arctg arctg 47 4 0 2 01 50 arctg kPa sen sen p x 49 8 cos2 47 4 41 6 180 41 6 200 cos2 0 0 kPa sen sen sen sen p xz 421 2 47 4 41 6 200 2 0 0 X z x rz 1 m Placa de largura b 2m e comprimento infinito EXERCÍCIO 8 EXERCÍCIO 9 Calcular a tensão vertical no ponto A devido à implantação de um galpão industrial com dimensões 10 m x 100 m O ponto A está situado à 80 m de profundidade na vertical que passa pelo centro do galpão Considerar nos cálculos a carga uniformemente distribuída p 200 kPa 00 80 m A 200 kPa 10 m 100 m b3 Carregamento uniformemente distribuído ÁREA CIRCULAR LOVE z R R p x Z 2 3 2 z R z 1 1 1 p I fator de influência Tensão vertical abaixo do centro da placa I p z EXERCÍCIO 10 Calcular a tensão vertical num ponto situado a 40 m de profundidade na vertical que passa pelo centro de uma placa circular de fundação de 30 m de raio Considerar a carga uniformemente distribuída na fundação p 300 kPa Utilizar os métodos de Love de Newmark e do Bulbo de tensões e comparar os resultados obtidos Love σz p 1 1 1 Rz232 Iσ 0488 σzC p IσC 300 x 0488 1464 kPa c Carregamento uniformemente distribuído ÁREA QUALQUER NEWMARK 2 3 2 z R z 1 1 1 I p Construção do Gráfico de Newmark com base na Equação de Love Atribuemse valores a I e calculase o raio R da placa necessário para produzir o acréscimo de tensão à profundidade z Construção do gráfico de Newmark 1ª circunferência fazendose I 01 Rz 027 R 027z Arbitrandose z 10m R1 27 m Dividindose a circunferência de raio R 27 m em N setores iguais cada um corresponderá ao fator de influência I 01N Nas cartas de Newmark N 20 Logo I 0120 0005 0005 2ª circunferência fazendose I 02 Rz 040 R 040z Arbitrandose z 10m R2 40 m Dividindose o raio R 40 m em N setores iguais cada um corresponderá ao fator de influência I 02N Como N 20 I 0220 001 0005 001 001 0005 0005 E assim sucessivamente foram construídas as demais circunferências Independentemente do tamanho de cada unidade seu valor representará sempre uma influência igual a 0005 p 2ª circunferência Fazendo I 02 R2 40 m 3ª circunferência Fazendo I 03 4ª circunferência Fazendo I 04 5ª circunferência Fazendo I 05 6ª circunferência Fazendo I 06 7ª circunferência Fazendo I 07 8ª circunferência Fazendo I 08 9ª circunferência Fazendo I 09 10ª circunferência Fazendo I 10 R3 52 m R10 R9 191 m R8 139 m R7 111 m R6 91 m R5 77 m R4 64 m 1ª circunferência Fazendo I 01 R1 27 m CONSTRUÇÃO DO GRÁFICO DE NEWMARK z Utilização do Gráfico de Newmark Desenhar a planta do carregamento na escala do gráfico profundidade z segmento AB a partir do qual foi elaborado o gráfico Coincidir o ponto abaixo do qual se quer determinar a tensão z com o centro do gráfico z tensão vertical na profundidade z p carga uniformemente distribuída N nº de unidades de influência dentro do contorno da área carregada I valor de cada unidade de influência 0005 I N p I p z 0 005 N p z EXERCÍCIO 11 Com o emprego do gráfico de Newmark estimar as tensões verticais nos pontos A B e C situados na profundidade de 8 m provenientes de uma placa de fundação quadrada com 6 m de lado Considerar nos cálculos que a fundação aplica na superfície do terreno uma carga uniformemente distribuída de 300 kPa 3 m A B C Transformação das dimensões da placa de fundação para a escala do gráfico de Newmark 3 m A B C Profundidade z 8 m 8 m z 5 cm segmento AB do gráfico enviado 6 m 375 cm 3 m 1875 cm Escala transformada 1875 cm A B C 6 m 6 m 375 cm 375 cm 1875 cm 1875 cm Ponto A centro da placa Ponto A coincidente com o centro do gráfico σzA p NA 0005 σzA 300 NA 0005 N 200 valor de influência 0005 z Ponto A σzA p NA 0005 σzA 300 NA 0005 σzA 300 43 0005 σzA 645 kPa NA 43 unidades de influência N 200 valor de influência 0005 z Ponto B Coincidir o Ponto B com o centro do gráfico σzB p NB 0005 σzB 300 NB 0005 N 200 valor de influência 0005 z Ponto B σzA p NB 0005 σzB 300 NB 0005 σzB 300 34 0005 σzB 51 kPa NB 34 unidades de influência Ponto C Coincidir o Ponto C com o centro do gráfico σzc p NC 0005 σzc 300 NC 0005 Ponto C σzc p NC 0005 σzc 300 NC 0005 σzc 300 18 0005 σzc 27 kPa NC 18 unidades de influência quadrada contínua Fonte Foundation Analysis and Design Bowles qqo zp I Bulbos de tensões Para placas quadrada BxB ou contínua BxL uniformemente carregadas p carga uniformemente distribuída I p z contínua Fonte Foundation Analysis and Design Bowles Bulbo de tensões Para placa quadrada BxB uniformemente carregada p carga uniformemente distribuída I p z quadrada qqo zp I Fonte Foundation Analysis and Design Bowles Bulbo de tensões Para placa contínua BxL uniformemente carregada p carga uniformemente distribuída I p z contínua qqo zp I Fonte Soil Mechanics Lambe Whitman ΔvΔo zp I Bulbo de tensões Para placa circular Raio R uniformemente carregada p carga uniformemente distribuída I p z R x R z Um tanque metálico circular com 14 m de diâmetro foi construído com fundação direta na superfície de um terreno plano para estocagem de combustível O tanque transmitirá ao terreno uma tensão de 50 kPa Para a previsão de eventuais recalques desejamse conhecer os acréscimos de tensão em pontos situados abaixo do centro e da periferia do tanque nas profundidades de 35 m e 70 m Utilizar os métodos a Bulbo de tensões b Love c Newmark EXERCÍCIO 12 p 50 kPa x 00 70 m 35 m P1 C1 P1 P2 C2 P2 14 m R 7 m R 7 m Tanque metálico P P C z kNm2 I zR xR z m x m Posição do ponto 450 090 05 0 35 0 Centro C1 205 041 05 1 35 7 Periferia P1 325 065 10 0 7 0 Centro C2 170 034 10 1 7 7 Periferia P2 a Método do Bulbo de tensões Placa circular R 70m zR xR 1 2 3 4 0 1 2 CONSIDERAÇÕES GERAIS No solo a elasticidade linear é válida para pequenas deformações e na condição de carregamento Área retangular de comprimento L 3B a 3b tende a ser considerada de comprimento infinito sapata contínua ou corrida Para profundidades z 3B z 3b as cargas distribuídas podem ser consideradas concentradas pontuais A propagação de tensões em profundidade tem sido em muitos casos considerada com um espraiamento de 21 ou 30º Para ser espaço semiinfinito a espessura da camada deve ser de no mínimo 5B 5b isto é H 5B H 5b Para vários carregamentos fazer a somatória dos efeitos isolados No local cujo subsolo está representado na figura a seguir pretendese construir um tanque circular com diâmetro de 10 m e altura de 15 m para armazenamento de álcool e uma torre com carga tida como pontual de 3000 kN Nesta região haverá também a construção de um aterro extenso com 2 m de espessura EXERCÍCIO 13 a As pressões neutras e as tensões totais e efetivas referentes às condições antes das construções e os respectivos diagramas b O acréscimo de tensão efetiva nos pontos A B e C posicionados no plano médio da camada de argila mole após as construções c As tensões efetivas finais nos pontos A B e C após as construções Determinar 20 m 00 m 40 m 70 m 100 m Aterro 17 kNm3 w 15 3000 kN p 150 kNm2 NA Areia grossa compacta 20 kNm3 Argila mole 16 kNm3 10 m A B C Perfil Planta A B C w 5