Analise Matemática - Lista - 5 Questões

Lista 01 1 20 pontos Seja Pn 1 3 5 2n 1 n² n 1 Mostre que se Pk é verdadeira então Pk 1 também é verdadeira 2 20 pontos Mostre que se p é primo então p é irracional 3 20 pontos Mostre que a função f N Z dada por f x n se x 2n e fx n 1 se x 2n é uma bijeção 4 20 pontos Considere a função definida por f x x² Use a definição de derivada para encontrar f x 5 20 pontos Determine se a sequência 1ⁿ 1 é convergente ou divergente Questão 1 Seja Pn 1 3 5 2n 1 n² n 1 Mostre que se Pk é verdadeira então Pk 1 também é verdadeira Solução Suponhamos que Pk é verdadeira isto é 1 3 5 2k 1 k² 1 Queremos mostrar que Pk 1 é verdadeira ou seja que Pk 1 k 1² Somando 2k 1 em ambos os lados de 1 obtemos que 1 3 5 2k 1 2k 1 k² 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 k² 2k 1 1 3 5 2k 1 k 1² ou seja Pk 1 é verdadeira Questão 2 Mostre que se p é primo então p é irracional Solução Suponhamos que p seja racional Logo existem inteiros a e b com b 0 tais que mdca b 1 e p ab Então p ab p ab² a² p b² Como por hipótese p é primo segue que p divide a ou seja existe um inteiro q tal que a p q Substituindo a expressão acima em a² p b² temos que p q² p b² p² q² p b² p q² b² o que significa que p divide b² e portanto p divide b Logo encontramos que p divide a e b Mas isso é uma contradição com o fato do mdca b 1 Assim devemos ter que p é irracional Questão 3 Mostre que a função f N Z dada por fx n se x 2n e fx n 1 se x 2n 1 é uma bijeção Solução Dada uma função f N Z recorde que f é injetora quando para todo x₁ x₂ N se fx₁ fx₂ então x₁ x₂ f e sobrejetora quando para todo y Z existe ao menos um elemento x N tal que fx y Sejam x1 x2 N e suponhamos que fx1 fx2 Se x1 e x2 sao pares ou seja temos x1 2n1 e x2 2n2 entao fx1 n1 e fx2 n2 Como por hipotese fx1 fx2 concluımos que x1 x2 Agora se x1 e x2 sao ımpares ou seja x1 2n1 1 e x2 2n2 1 entao fx1 n1 1 e fx2 n1 1 Como por hipotese fx1 fx2 temos que n1 1 n2 1 e portanto x1 x2 Logo f e injetiva Para mostrarmos a sobrejetividade seja y Z tal que y 0 Entao tomando x 2y temos que fx f2y y Agora seja y Z tal que y 0 Se y 0 entao tomando x 1 temos que fx f1 1 1 0 Se y 0 entao tomando x 2n 1 com n 1 temos que fx f2n 1 n 1 0 Logo f e sobrejetora e portanto uma bijecao Questao 4 Considere a funcao definida por fx x2 Use a definicao de derivada para encontrar f x Solucao Sejam f uma funcao e p um ponto do seu domınio Dizemos que f e derivavel em p se o limite lim xp fx fp x p lim h0 fx h fx h existe e e finito Nesse caso denotamos o limite por f p Considerando fx x2 temos que f x lim h0 x h2 x2 h lim h0 x2 2xh h2 x2 h lim h0 h2x h h lim h02x h 2x 2 Questao 5 Determine se a sequˆencia 1n 1 e convergente ou divergente Solucao Seja an 1n 1n e consideremos duas subsequˆencias de an a2kk e a2k1k isto e a subsequˆencia de ındices pares e a subsequˆencia de ındices ımpares re spectivamente Entao temos que lim k12k 1 2 e lim k12k1 1 0 Ou seja mostramos que a sequˆencia ann possui duas subsequˆencias com limites diferentes contrariando o Teorema Se lim n an L entao toda subsequˆencia de an converge e tem limite L Logo a sequˆencia e divergente 3