Cortes de Dedekind com Propriedade Arquimediana

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ UECE Prof André Costa Aluno Atividade Complementar Propriedade Arquimediana Dados ab ℝ positivos existe n ℕ tal que b a n Definicao Dizemos que r ℝ é o supremo do conjunto X se i r x para todo x X ii se s x para todo x X então r s Definicao Dizemos que r ℝ é o ínfimo do conjunto X se i r x para todo x X ii se s x para todo x X então r s Definicao Sejam α β dois cortes de Dedekind distintos Dizemos que α β se α β Questao 1 Seja A αn n ℕ ℝ o conjunto formado pelos cortes de Dedekind αn x ℚ x 1n Use a Propriedade Arquimediana para provar os dois itens a seguir a Prove que sup nℕ αn 0 Como todos os elementos de nℕ αn sao racionais você não precisa pensar em cortes de Dedekind b Prove que x ℚ x 0 inf A Aqui você deve usar a ordem nos cortes de Dedekind como apresentado na definicao acima Para provar a condição ii tente por reducao ao absurdo Questao 1 a Primeiro seja x nℕ αn então x ℚ e x 1n n ℕ assim x 0 pois caso contrário x 0 e pela Propriedade Arquimediana n0 ℕ com n0 1x 1n0 x o que não pode porque x 1n n ℕ em particular x 1n0 Veja que 0 ℚ e 0 1n n ℕ logo 0 nℕ αn Assim se s x x nℕ αn então em particular s 0 Portanto sup nℕ αn 0 b Primeiro note que x ℚ x 0 αn n ℕ pois se x x ℚ x 0 então x ℚ e x 0 1n n ℕ e assim x αn n ℕ x ℚ x 0 αn n ℕ Seja S um Corte de Dedekind com S αn n ℕ Assim S αn n ℕ suponha por absurdo que S x ℚ x 0 logo x S com x 0 e x ℚ pois S é corte de Dedekind Se x 0 então n ℕ com 0 1n0 x pelo Propriedade Arquimediana e daí teríamos o absurdo de S αn0 Assim x 0 mas se isso acontecer como S é um corte de Dedekind existiria y S com x 0 y mas novamente pelo propriedade Arquimediana já mostramos que y S com y 0 e temos outro absurdo Em todo caso para não ter absurdos S x ℚ x 0 Portanto x ℚ x 0 inf A