Questao de Numeros Reais

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ UECE Prof André Costa Aluno Questão 1 Sejam a b R tais que a b Prove que existe n N tal que 1n b a Use o fato de que R m Z mn m1n para concluir que existe um número racional no intervalo a b x R a x b Questão 1 Primeiro a primeira afirmação é incorreta pois se b 2 e a então b a 2 1 1 1n n N O correto é 1n b a Neste caso como R é arquimediano e b a b a 0 então n N tal que n 1b a pois os naturais não é limitado superiormente e dará 1n b a a 1n b Dividindo o reto como R m Z mn m1n temos que existe m0 tal que a m0n m01n m0n a m0n 1n a 1n por x m01 n b mas a m01 n logo a m0 1n b assim o racional m0 1n a b Se a m0 1n então m0 1n é racional e está em a b Se a m0 1n a 1n m0 2n b a m0 2n b e o racional m0 2n a b Em todo caso tem um racional em a b