Matemática

Problema 5 Seja n um inteiro positivo e θn a soma de todos os divisores positivos de n Prove que θn θn 1 5n2 5 Seja n um inteiro positivo e θn a soma de todos os divisores positivos de n Prove que θn θn 1 5n2 Vamos resolver por indução Para n 1 temos θ1 1 θ2 2 1 3 e 5n2 52 25 Então θ1 θ2 4 52 ou seja vale para o caso base Para o passo indutivo suponha que para um dado n vale θn θn 1 5n2 Para n 2 temos pelo menos que 1 e n 2 são seus divisores positivos Então θn 2 n 3 assim como θn 1 n 2 Mas entre n 1 e n 2 um deles é par então n 12 ou n 22 é um inteiro divisor de um dos números da soma Ou seja pelo menos n 12 entra na soma Então temos θn 1 θn 2 n 2 n 3 n 12 2n 5 n 12 4n 10 n 12 5n 112 5n 12 Então vale a indução