Analise Matemática - Lista de Questões

ATIVIDADE 01 ANÁLISE MATEMÁTICA Nome 01 Use o processo de indução para mostrar que a soma dos n primeiros números naturais impares é igual a n2 02 Prove que dado um número racional ab e um número natural n 2 nem sempre nab é um número racional 03 Descreva o procedimento que mostra que a dízima periódica 0353535 é igual a fração 3599 04 Determine o valor da soma dos números decimais a 2878787 3919191 b 325323232 9103222 05 Mostre que se p é primo então p é irracional 06 07 08 09 10 11 12 Verifique se a sequência 4n22n21 é convergente ou divergente 13 Defina cota inferior e cota superior de um dado conjunto X R Análise Matemática 1 1 3 5 2m1 m2 m1 Solução i m 1 1 m2 ii Suponha por hipótese de indução que vale para m e vamos mostrar que vale para m1 1 3 2m1 2m 1 m2 2m 1 m12 Portanto pelo PI F₁ a afirmação é válida m1 2 Basta tomar m2 e a2 b1 Vamos provar que x2 é irracional Suponha por contradição que 2 mn com mn Z mdcmn1 m0 2 m2m2 m2 2n2 m ímpar m2 ímpar e por m 0 Portanto 2 não é racional 3 x 03535 100x 3535 100x x 35 99x 35 x 3599 4 a x 287 100x 28787 99x 285 x 28599 9533 x 391 100x 39191 99x 388 x 38899 287 391 285 38899 67399 b x 3253232 100x 3253232 10000x 3253232 9900x 32207 x 322079900 x 91032 100x 91032 10000x 9103232 9900x 90122 x 901229900 3253232 91032 1223299900 Digitalizado com CamScanner 5 p primo raiz de p é irracional Solução Suponha por contradição que raiz de p mm mn pertencem a N mdcmn 1 m2 pn2 p divide m m kp k pertence a N k2p2 pn2 m2 pk2 p divide m p divide mdcmn 1 p 1 contradição Portanto raiz de p é irracional 6 X Y diferente de vazio f X Y bijeção X finito Y é finito Solução Suponha que existe psi Im X bijeção com m pertencente a N f psi Im Y é bijeção pois é composição de bijeções Y é finito Pela generalidade de X e Y vale a equivalência 7 A 123 f 1234m N Qualquer função de A em N não é sobrejetiva 8 f N Z fx m se x2m m1 se x 2m1 Solução i f é injetiva f2m f2m m m 2m 2m f2m1 f2m1 m1 m1 m m 2m1 2m1 ii f é sobrejetiva K pertence a Z k m f2k k m1 f2k1 1 m k 1 f é bijeção 9 X Y finitos f X Y sobrejetora Y X Solução Existem psix Im X e psim Im Y bijeções Logo psim1 f psim Im Im é sobrejetora e assim m m 10 A Q interseção 04 Sejam a 0 Então como A pertence a 04 então x 0 para todo x pertencente a A Como a pertence a Q temos a pertence a A Logo a minA infA Analogamente seja b 4 Então A pertence a 04 x b para todo x pertence a A Como b pertence a Q temos b pertence a A logo b maxA supA 11 Propriedades Soma Produto Associatividade x y z x y z x y z x y z Comutatividade x y y x x y y x Elemento neutro x 0 0 x x x 1 1 x x Simétricos x x x x 0 x 1x 1x x 1 se x diferente de 0 Distributividade x y z xz yz