Indução Matemática

Problema 7 a Mostre que para todo inteiro n n5 n é divisível por 5 b Mostre que para todo inteiro n n5 5 n3 3 7n 15 é um número inteiro Indução VECE 16022025 5 Mostre que par todo inteiro n non é divinível por 5 Solução Vamos utilizar indução matemática em n par demonstra esta afirmação primeirovammpa que néuma pativooujane Ter de Indução Par todo ne IN Temos n5n SK para algum Ke Escreva um número na fam 5k é o mamo E que dizer que ele é divisível por 5 Bar de Indução Verifica que vale para o caso inicial 1 13 1 1 1 0 30 S Formalmente você só precisa do caro inicial n 1 Ma como você vai apresenta n 2 25 2 32 2 30 5 6 é legal apresenta um pouco mais 3 35 3 243 3 240 5 48 iptue de Induç Existe ne tol que n e nn5K par algum k Vocêmpõe que a afirmação é verdadeira para algum inteiro maior que o caro base e com una hipótese você tenta chegar no cuo seguinte ou veja nots M Note que Aqui estou mando o binômio de Newton x yx par Madre co s n 11 o1 3 n 1 12h 15 3 n n PSD 18 25 Mos n sin 1 n jng 5 2 n5 5 22 5n 1 no a In 5n son son Sno 1 n 1 n 5 nD 5n son3 son Sn11 mando a Ripótes de indução No1 5k 5k 51 son son Sno botando sem evidência na segunda pacela 5k 5 n 24 Ch no 5 em evidência 5 k no 2403 2n8 No Anim Nots5 ros 50k no 240 2n8 Mo como k no 240 2n8 nolEX temos que Nots15 nots é divisível por 5 Portanto por inclusão matemática temos que a resultado é válido para todo new O caso negativo é análogo de fato se n é um inteiro negativo podemos enere n Gsion para algum neIN Além dino 55 n 1 n5 161 n propriedade da potência 15h5 nts potência impar tem ninal 1 n5 n botando 1 em evidência s n5 n moramos que n5n 5k par dgum KER 5k 54 onde F Ke Portanto para todo nex temos que nen é divinível por 5 129 Morte que par todo inteiro n é um inter n para demonstra enta afirmação Sepulizminduntemtica ea pativoajane Le Enduçã Para todo neN tem K par algum Bar de Indução Verifica que vale para o caso inicial n 2 1 Formalmente você só precisa do caro inicial n 1 Ma como você vai apresenta os leg unerente um pocooa Hipe de Indução Suponha que existe Not tal que nosse par algum KEX Vocêrpãe que a afirmação é verdadeira par algum inteiro maior que o co base e com una hipótese você tenta chegar no cuo seguinte ou veja Nota Você una binômio de Newton novamente você já aproveita as contas da questão 5 F Net que S 20 20 S 1 3 1 15I mando a hipótese de indução simplificando os termos somando a fragões k no 25 2102 n no no 3 7 k nj 2403 348 240 1 Então k no 2no 3 24 Uma vez que K 10 28 318 240 1 e e soma de números interros é um inteiro teme que é um inteiro Portanto por inclusão matemática temos que a resultado é válido para todo new O cas negativo é análogo de fato se n é um inteiro negativo podemos essever n Gon par algum NeIN Além dino En popiedade de potênciamas provamos que K par todo nee par algum Ke E onde Portanto par todo nex timos que inteiro