Integração de Funções Racionais por Frações Parciais

Integral de funções Racionais por frações parciais Prof esp Clarina Debus UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE BALSAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Exemplo 01 i Calcular I x 2 x³ 3x² x 3 dx Solução Temos x 2 x³ 3x² x 3 x 2 x 1x 1x 3 A₁ x 1 A₂ x 1 A₃ x 3 Reduzindo novamente ao mesmo denominador vem x 2 x 1x 1x 3 x 1x 3A₁ x 1x 3A₂ x 1x 1A₃ x 1x 1x 3 obtemos x 2 x 1x 3A₁ x 1x 3A₂ x 1x 1A₃ Podemos agora determinar A₁ A₂ e A₃ tomando valores de x que anulem os diversos fatores como segue x 1 1 2 1 11 3A₁ 1 11 3A₂ 1 11 1A₃ 1 4A₁ A₁ 14 x 1 1 2 1 11 3A₁ 1 11 3A₂ 1 11 1A₃ 3 8A₂ A₂ 38 x 3 3 2 3 13 3A₁ 3 13 3A₂ 3 13 1A₃ 1 8A₃ A₃ 18 A₁ 14 A₂ 38 e A₃ 18 Portanto a decomposição em frações parciais é dada por x 2 x 1x 1x 3 14 x 1 38 x 1 18 x 3 14 1x 1 38 1x 1 18 1x 3 e então I 14 dxx 1 38 dxx 1 18 dxx 3 14 lnx 1 38 lnx 1 18 lnx 3 C Exemplo 02 I1 frac122x2 4x 2 div frac122x3 x2 2x 1 dx x 1 rightarrow 2 frac32 cdot 2 cdot A1 Exemplo 02 Integração de funções racionais por frações parciais Exemplo 03 Exemplo 03 Portanto x³ 3x 1 x⁴ 4x² 13 16 1 x 2 15 16 1 x 2 1 4 1 x² 3 4 1 x e então x³ 3x 1 x⁴ 4x² dx 13 16 dx x 2 15 16 dx x 2 1 4 dx x² 3 4 dx x 13 16 ln x 2 15 16 ln x 2 1 4x 3 4 ln x C