Integração por Substituição Trigonométrica

Integral por substituição trigonométrica Prof esp Clarina Debus UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE BALSAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Integração por substituição trigonométrica Integração por substituição trigonométrica Integração por substituição trigonométrica Integração por substituição trigonométrica 9 x² 2x² dx Devemos agora escrever este resultado em termos da variável original x Sabemos que se x 3 sen θ π2 θ π2 então θ arc sen x 3 x² 3x² 4 dx Exemplo 02 Usando a fórmula de recorrência 7211 9 vem x² 3x² 4 dx 43 12 sec θ tg θ 12 sec θ dθ sec θ dθ 23 sec θ tg θ 23 ln sec θ tg θ C Vamos agora escrever este resultado em termos da variável original x Observando a Figura 71 b escrevemos sec θ x² 42 e tg θ x2 Exemplo 02 Portanto x² 3x² 4 dx 23 x² 42 x2 23 ln x² 42 C 16 x x² 4 23 ln x² 4 x2 C Exemplo 03 x 1x² 1 dx Fazendo x² 1 tg θ x sec θ dx sec θ tg θ dθ Temos I sec θ 1tg θ sec θ tg θ dθ sec² θ sec θ dθ tg θ ln sec θ tg θ c x² 1 ln x x² 1 C Exercício 01 Exercício 01 Resolução Exercício 02 Exercício 02 Resolução Fazendo u² e²x u ex du e²x dx Temos I du4u² Considerando 4u² 2 cosθ u 2 senθ du 2 cosθ dθ Obtemos I 2 cosθ dθ2 cosθ θ C arc sen u2 C arc senex2 C Exercício 03 Exercício 03 Resolução Fazendo x²1 tgθ x secθ dx secθ tgθ dθ Temos I tgθ sec²θ secθ tgθ dθ tg²θ 1 secθ dθ sec²θ 1 secθ dθ secθdθ cosθ dθ lnsecθ tgθ senθ C lnx x²1 x²1x C Exercício 04 Exercício 04 Resolução Fazendo x²1 sec θ x tg θ dx sec² θ dθ I sec³ θ tg³ θ dθ 1 cos³ θ cos³ θ sen³ θ dθ cosec³ θ dθ 12 cosec θ cot g θ 12 lncosec θ cot g θ C 12 1x² x 1x 12 ln1x² 1x C