Integral Definida: Conceitos e Teoremas

Integral Definida Prof esp Clarina Debus UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE BALSAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA A integral definida está associada ao limite da Definição 671 e do Exemplo 68 Ela nasceu com a formalização matemática dos problemas de áreas e problemas físicos A Figura 65 ilustra esses retângulos nos casos n 4 e n 8 A integral definida de f de a até b denotada por a to b fxdx é dada por a to b fxdx lim máxΔxi0 fciΔxi Se ab fxdx existe dizemos que f é integrável em a b Na notação ab fxdx os números a e b são chamados limites de integração a limite inferior e b limite superior Se f é integrável em a b então ab fxdx ab ftdt ab fsds isto é podemos usar qualquer símbolo para representar a variável independente Quando a função f é contínua e não negativa em a b a definição da integral definida coincide com a definição da área Definição 671 Portanto neste caso a integral definida ab fxdx é a área da região sob o gráfico de f de a até b Sempre que utilizamos um intervalo a b supomos a b Assim em nossa definição não levamos em conta os casos em que o limite inferior é maior que o limite superior 692 Definição a Se a b então ab fxdx ba fxdx se a integral à direita existir b Se a b e fa existe então aa fxdx 0 É muito importante saber quais funções são integráveis Uma ampla classe de funções usadas no Cálculo é a classe das funções contínuas O teorema a seguir cuja demonstração será omitida garante que elas são integráveis 693 Teorema Se f é contínua sobre a b então f é integrável em a b Integral Definida Integral Definida Integral Definida Integral Definida Integral Definida Teorema fundamental do cálculo Teorema fundamental do cálculo Intuitivamente podemos compreender o significado de Gx através de uma análise geométrica Conforme vimos na Seção 69 se ft 0 t a b a integral a b ft dt representa a área abaixo do gráfico de f entre a e b ver Figura 610a Da mesma forma Gx a x ft dt Teorema fundamental do cálculo nos dá a área abaixo do gráfico de f entre a e x ver Figura 610b Podemos observar que Ga 0 e Gb nos dá a área da Figura 610 a Vamos agora determinar a derivada da função Gx Temos a seguinte proposição Figura 610 Teorema fundamental do cálculo 6101 Proposição Seja f uma função contínua num intervalo fechado a b Então a função G a b ℝ definida por Gx a x ft dt tem derivada em todos os pontos x a b que é dada por Gx fx ou seja ddx a x ft dt fx Teorema fundamental do cálculo 6102 Teorema Se f é contínua sobre a b e se F é uma primitiva de f neste intervalo então ₐb ft dt Fb Fa Exemplos 01 6103 Exemplos Calcular as integrais definidas i ₁3 x dx Sabemos que Fx 12 x² é uma primitiva de fx x Portanto ₁3 x dx 12 x² ₁3 12 3² 12 1² 92 12 4 Exemplos 02 ii ₀π2 cos t dt A função Ft sen t é uma primitiva de ft cos t Logo ₀π2 cos t dt sen t ₀π2 senπ2 sen0 1 Exemplo 03 Logo pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos iii 01 x3 4x2 1dx Exercício 01 Resolução Usando as propriedades da integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo temos from 0 to 1x³ 4x² 1dx from 0 to 1x³dx 4from 0 to 1x²dx from 0 to 1dx x44from 0 to 1 4 x33from 0 to 1 xfrom 0 to 1 14 0 43 0 1 0 112 Exercício 02 Exercício 02 Resolução Calculamos primeiro a integral indefinida I xex²1dx Fazendo u x² 1 temos du 2xdx ou xdx du2 Assim I eu du2 12 eudu 12 eu c 12 ex²1 c Logo 1 to 2 xex²1dx 12 ex²1 from 1 to 2 12 e41 12 e11 12 e3 12 Exercício 03 04 05 e 06 a 6x 1dx 1 2 c x 1x 2dx 1 2 b 2xx 1 dx 1 2 d 3x 2²dx 1 2