Integral de Funções Racionais por Frações Parciais

Integral de funções Racionais por frações parciais Prof esp Clarina Debus UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO CENTRO DE ESTUDOS SUPERIORES DE BALSAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Integração de funções racionais por frações parciais Exemplos 04 Portanto 2x² 5x 4 x³ x² x 3 116 1 x 1 16 x 9 x² 2x 3 e dessa forma I 116 dx x 1 16 x 9 x² 2x 3 dx 116 lnx 1 16 I₁ C onde I₁ x 9 x² 2x 3 dx O integrando de I₁ é uma função racional cujo denominador é um polinômio quadrático irreduzível Integrais dessa forma aparecem frequentemente na integração das funções racionais e podem ser resolvidas completando o quadrado do denominador e fazendo substituições convenientes Temos x² 2x 3 x² 2x 1 1 3 x 1² 2 e portanto I₁ x 9 x 1² 2 dx Fazendo a substituição u x 1 temos x u 1 e dx du Então I₁ u 1 9 u² 2 du u 8 u² 2 du u du u² 2 8 du u² 2 I frac116 ln x 1 frac16 left frac12 ln x2 2x 3 frac8sqrt2 arctg fracx 1sqrt2 right C Integração de funções racionais por frações parciais O integrando pode ser escrito na forma e então Portanto I frac19 left fracdxx frac13 int fracx 1x2 2x 32dx frac19 int fracx 2x2 2x 3dx right frac19 ln x frac13 I1 frac19 I2 onde I1 int fracx 1x2 2x 32dx e I2 int fracx 2x2 2x 3dx A integral I2 é análoga às que foram resolvidas no decorrer dos exemplos do Caso 3 Como aqueles exemplos para resolvêla completamos o quadrado do denominador e fazemos uma substituição conveniente Temos I2 int fracx 2x2 2x 3dx int fracx 2x 12 2dx Fazendo a substituição u x 1 x u 1 e dx du vem I2 int fracu 1u2 2du int fracuu2 2du int fracduu2 2 frac12 ln u2 2 frac1sqrt2 extarc tg fracusqrt2 C frac12 ln x2 2x 3 frac1sqrt2 extarc tg fracx 1sqrt2 C Uma integral como I1 não foi vista anteriormente Para calculála inicialmente completamos o quadrado do denominador e fazemos a mesma substituição que fizemos para calcular I2 Temos I1 int fracx 1x2 2x 32dx int fracx 1x 12 22dx int fracu 2u2 22du onde u x 1 int fracuu2 22du 2 int fracduu2 22 frac12u2 2 2 int fracduu2 22 Para resolver a integral auu2 22 podemos recorrer a uma substituição trigonométrica como foi visto em 73 Fazemos u 2 tg θ Então du 2 sec2 θ dθ Assim duu2 22 2 sec2 θ dθ2 tg2 θ 22 24 dθsec2 θ 24 cos2 θ dθ 24 12 cos θ sen θ 12 θ 28 cos θ sen θ θ Para retornar à variável anterior u observamos a Figura 72 Temos cos θ 22 u2 sen θ u2 u2 θ arc tg u2 Portanto duu2 22 28 22u2 u2 arc tg u2 C e então I₁ 12u2 2 2282u2 u2 arc tg u2 C Retornando à variável original x vem I₁ 12x2 2x 3 242x 1 arc tg x 12 C I 19 ln x 13 12x2 2x 3 12 x 1x2 2x 3 24 arc tg x 12 19 12 ln x2 2x 3 12 arc tg x 12 C 19 ln x x 26x2 2x 3 236 arc tg x 12 118 ln x2 2x 3 C Na resolução das integrais de funções racionais que se enquadram no Caso 4 normalmente aparecem integrais da forma duu2 a2n n 1 Se n 1 esta integral nos dá arco tangente No exemplo a seguir encontramos uma fórmula de recorrência para esta integral para n 1