Deflexão em Vigas de Eixo Reto

Capıtulo 8 Deflexao em vigas de eixo reto 81 Definicao Linha elastica da flexao e a curva formada pelo eixo de uma viga inicial mente retilıneo devido a aplicacao de momentos de flexao Figura 81 Exemplo de viga em flexao Figura 82 Exemplo de viga em flexao A viga da Figura 81 e um exemplo de viga em flexao Antes da aplicacao das cargas a superfıcie neutra se encontra contida em um plano horizontal 168 Com a aplicacao das cargas a superfıcie neutra se transforma em uma superfıcie curva A curva da superfıcie neutra representa a deformacao de toda a viga Esta curva se denomina curva elastica e por simplicidade e representada pela intersecao do plano de simetria com a superfıcie neutra Desta forma a curva elastica representa os deslocamentos dos centros de gravidade de todas as secoes transversais que formam a viga Mate maticamente a curva elastica ou simplesmente elastica se representa pela equacao no plano de simetria Se representarmos o eixo das deflexoes por v a curva elastica se torna uma funcao vx que dependera tambem das cargas aplicadas e das propriedades mecˆanicas do material que compoe a viga A Figura 83 mostra uma representacao plana da deformada da viga onde x coincide com o eixo da viga e v vx e o deslocamento no caso vertical de cada secao da viga Figura 83 Representacao plana da deformada da viga O objetivo portanto e o de determinar a equacao da linha elastica para diversos tipos de vigas Com esta equacao podese determinar as deflexoes e rotacoes em todos os seus pontos 82 Equacao diferencial da LE Para a determinacao da equacao da LE de vigas sujeitas a flexao considere a barra de eixo originalmente reto que mediante a atuacao de um momento fletor M se torna curvo de acordo com a Figura 84 Nesta Figura temse secoes A e B duas secoes adjacentes da viga Antes da aplicacao do carregamento estas secoes estavam paralelas e distantes entre si dx ds AB o comprimento do trecho do eixo compreendido entre A e B AB um segmento de reta paralelo ao eixo e de comprimento ds ds εx ds1 εx y A distˆancia entre A e A B e B 169 dθ B A A B ρ eixo M M y Figura 84 Trecho de uma barra sujeita a flexao pura ρ o raio de curvatura do trecho AB do eixo da barra apos a atuacao de M dθ o ˆangulo de curvatura do trecho do eixo entre AB que por con sequˆencia tambem e o ˆangulo de curvatura de AB De acordo com o que foi apresentado no Capıtulo 6 de solicitacao por momento fletor as tensoes normais na flexao se relacionam com o momento fletor atuante nela da seguinte forma σx Mz Iz y 81 e a deformacao correspondente e εx σx E Mz EIz y 82 O comprimento de AB apos atuacao do carregamento e ds pode ser relacionado com R e dθ da seguinte forma ds ρ dθ dθ ds 1 ρ 83 Como visto no capıtulo 6 a curvatura κ da barra e expressa como κ 1 ρ dθ ds εx y 84 Para pequenas deformacoes podese fazer a seguinte simplificacao ds dx 85 170 Logo o ˆangulo de curvatura pode ser obtido atraves da seguinte equacao 86 A equacao 86 e aplicavel a barras retas com pequena curvatura dθ ds dθ dx Mz EIz 86 Seja a barra de eixo originalmente reto submetida ao carregamento qx da Figura 85 Nesta Figura temse o eixo na configuracao indeformada representado pela linha cheia a LE representada pela linha tracejada S e T secoes adjacentes originalmente verticais na configuracao indeformada e S e T suas correspondentes na configuracao deformada Figura 85 Viga sujeita a carregamento qx A Figura 86 representa o trecho da barra nas proximidades de S e T com maior nıvel de detalhes Nesta Figura dφ e o incremento de inclinacao correspondente a diferenca entre as tangentes em T e S respectivamente e graficamente verificamos que e equivalente a dθ dφ dθ φ θ 87 dθ dφ S T Ρ S T Figura 86 Detalhe da regiao que contem as secoes S e T Sendo tan φ o coeficiente angular da reta tangente a LE v numa posicao x e considerando a hipotese de pequenos deslocamentos e deformacoes tem se tanφ φx dv dx e dφ dx d2v dx2 88 171 Com isso cosiderando equacoes 86 87 e 88 temse que d2v dx2 Mz EIz 89 A equacao 89 e a equacao diferencial da LE partindose dos momentos fletores que resolvida resultara em uma funcao vx que representara a configuracao deformada do eixo da barra sujeita ao momento Mzx Para adequar a equacao 89 com o referencial de sinais que adota flecha positiva para baixo e rotacoes positivas no sentido horario e considerando a convencao de momento fletor positivo tracionado as fibras situadas abaixo da linha neutra faze necessario a inclusao do sinal negativo na equacao do momento fletor d2v dx2 Mz EIz 810 Derivandose a equacao 810 com relacao a x temse d3v dx3 1 EIz dMz dx Qv EIz 811 que e a equacao diferencial da LE partindose dos esforcos cortantes Qvx Derivandose uma vez a equacao 810 com relacao a x duas vezes temse d4v dx4 1 EIz dQv dx qx EIz 812 que e a equacao diferencial da LE partindose do carregamento qx Para se determinar vx basta resolver uma das equacoes diferenciais 810 811 ou 812 As constantes de integracao sao determinadas a partir da consideracao das condicoes de contorno apoios Essas condicoes re presentam os valores conhecidos das funcoes em determinados pontos da viga e as mais usadas estao resumidas na Tabela 2 Se uma unica coordenada x nao puder ser usada para expressar a equacao da inclinacao ou da linha elastica entao devem ser usadas condicoes de continuidade para calcular algumas das constantes de integracao Na Tabela 1 temse as respostas para alguns casos classicos e na sequˆencia mostramse a solucao dos casos 7 e 5 respectivamente Exemplo 1 Viga simplesmente apoiada com carga distribuıda caso 7 A equacao diferencial da linha elastica sera usada agora na obtencao das deflexoes de uma viga simplesmente apoiada Se a viga suporta 172 q EEEEEALLEEEEEETLLLL PELE LIU b o pe Figura 87 Viga simplesmente apoiada com carga distribuida uma carga uniformemente distribuida g conforme a Figura 87 o momento fletor a distancia x do apoio da esquerda sera wa qa 2 2 Da equacao 810 temse dvu qLaz qx EI 813 dx 2 2 813 Sabese que pet py 814 dx dx dv E10 EI 815 7 815 Substituindo 814 na expressao 813 e integrandose ambos os mem bros temse gLx qu Resolvendo a expressao temse L 2 3 EIg 4 40 816 4 6 Substituindo 815 na expressao 816 e integrandose ambos os mem bros temse ghz qx 173 Resolvendo a expressao temse EIv qLx3 12 qx4 24 C1x C2 817 Onde C1 e C2 sao constantes de integracao Condicoes de contorno Para a determinacao de C1 observase que pela simetria a inclinacao da curva elastica no meio do vao e zero Entao temse a condicao Para x l2 θa θb 0 Entrando na expressao 816 temse C1 ql3 24 818 Assim a expressao 816 tornase EIθ qLx2 4 qx3 6 ql3 24 819 A constante de integracao C2 e obtida pela condicao Quando v 0 x 0 Com esta condicao verificase pela expressao 817 que C2 0 A equacao 817 transformase em EIv qLx3 12 qx4 24 qxl3 24 820 A equacao 820 permite obter a deflexao em qualquer ponto ao longo da viga O valor maximo de v ocorre no meio do vao e e calculado fazendose x L2 vmax 5qL4 384EI A inclinacao maxima ocorre nas extremidades da viga Na extremidade esquerdaa e θa qL3 24EI Na extremidade direitab e θb qL3 24EI 174 Figura 88 Viga simplesmente apoiada com carga concentrada Exemplo 2 Viga simplesmente apoiada com carga concen tradacaso 5 Considerese agora uma viga simplesmente apoiada com carga con centrada P como mostra a Figura 88 cuja posicao e definida pelas distancias a e b das extremidades Neste caso existem duas expressoes para o momento fletoruma para a parte a esquerda da carga e outra para a direita Assim devese escrever a expressao 810 separadamente para cada parte da viga EI d2v dx2 Pbx L 821 Para 0 x a EI d2v dx2 Pbx L Px a 822 Para a x L Sabese que EI d2v dx2 EI dθ dx 823 EIθ EI dv dx 824 Substituindo a expressao 823 nas expressoes 821 e 822 e integrando se ambos os membros temse EIθ Pbx2 2L C1 825 Para 0 x a 175 EIθ Pbx2 2L Px a2 2 C2 826 Para a x L Substituindo a expressao 824 nas expressoes 825 e 826 e integrando se novamente ambos os membros temse EIv Pbx3 6L C1x C3 827 Para 0 x a EIv Pbx3 6L Px a3 6 C2x C4 828 Para a x L Onde C1 C2C3 e C4 sao constantes de integracao Condicoes de contorno As quatro constantes de integracao que aparecam nas expressoes an teriores podem ser calculadas pelas seguintes condicoes 1 Em x a as rotacoes das duas partes da viga sao iguais 2 Em x a as deflexoes das duas partes da viga sao iguais 3 Em x 0 a deflexao e nula 4 Em x L a deflexao e nula Pela condicao 1 as expressoes 825 e 826 para as inclinacoes devem ser iguais quando x a Temse Pba2 2L C1 Pba2 2L C2 Portanto C1 C2 A condicao 2 iguala as expressoes 827 e 828 quando x a Pba3 6L C1a C3 Pba3 6L C2a C4 O que torna C3 C4 Finalmente considerando as condicoes 3 e 4 e as expressoes 827 e 828 temse C3 0 176 PbL2 6 Pb3 6 C2L 0 De todos esses resultados temse C1 C2 PbL2 b2 6L C3 C4 0 Com esses valores estabelicdos as expressoes 827 e 828 dao para a linha elastica ELv Pbx 6L L2 b2 x2 829 Para 0 x a ELv Pbx 6L L2 b2 x2 Px a3 6 830 Para a x L A equacao 829 fornece a linha elastica para a parte da viga a esquerda da carga P e a equacao 830 fornece a deflexao da parte a direita As equacoes 825 e 826 fornecem as rotacoes das duas partes da viga apos substituicao dos valores de C1 e C2 EIθ Pb 6LL2 b2 3x2 831 Para 0 x a EIθ Pb 6LL2 b2 3x2 Px a2 2 832 Para a x L Com estas equacoes a inclinacao em qualquer ponto da linha elastica pode ser calculada Para o calculo do ˆangulo de rotacao nas extremi dades da viga basta fazer x 0 na equacao 831 e x L na equacao 832 Assim temse θa PbL2 b2 6LEI PabL b 6LEI 833 177 PabLa g Pte ta 834 6LEI A deflexao maxima da viga ocorre no ponto da linha eldstica em que a tangente é horizontal Se a b tal ponto estara na parte esquerda entre x 0 e a e podera ser encontrado igualandose a in clinagao 6 da equagao 831 a zero Chamando de 2 a distancia da extremidade esquerda ao ponto de deflexao maxima temse pela equacao 831 L2 b2 X 835 3 a b Verificase por esta equacao que quando a carga P movese do meio do vao b L2 para a direitab aproximase de zero a distancia v varia de L2 a LV3 0577L 0 que mostra que a deflexao maxima sempre ocorre nas proximidades do centro Encontrase o valor da deflexao maxima entrando com o valo de x da equacao 835 na equagao 829 PbL 4b3 Vimax POULT ab 836 93LEI a b Obtemse a deflexao no meio do vao fazendose 7 L2 na equacao 829 Pb3L 4b Vi 837 22 48 EI 837 a b Como a deflexao maxima sempre ocorre proximo do centro a equacao 837 da uma boa aproximacao para seu valor No caso mais desfa voravelquando 6 se aproxima de zero a diferenga entre a deflexao maxima e a do meio do vao é menor do que 3 da flexa maxima 178 Com a carga P no meio do vao caso 6 Tabela 82 a b L2 os resultados precedentes tomam formas mais simples θa θb PL2 16EI Vmax VL2 PL3 48EI 83 Exercıcios 1 Demonstrar as propriedades das tabelas 82 8384 85 e 86 apre sentadas no final deste capıtulo atraves do metodo da integracao di reta 2 Calcular o ˆangulo de rotacao e a flecha na extremidade livre da viga do exercıcio 3357a adotado o perfil de aco S130 15 e na viga do exercıcio 3357d adotado o perfil de aco W460 52 Dado E 210 GPa Resposta a 0003571 rad e 1905 mm d 0002527 rad e 5686 mm 3 A viga da Figura 89 esta submetida a forca P concentrada na sua extremidade Determinar o deslocamento em c Considerar EI cons tante Resposta V c Pa3 EI Figura 89 Figura do exercıcio 3 4 Pedese um esboco da LE da viga da Figura 810 EI constante e calcular as rotacoes e as flechas em B C e D Resolver pelo metodo da integracao Resposta φB 2Moa EI φC φD 3Moa EI yB Moa2 EI yC 7Moa2 2EI yD 13Moa2 2EI 5 Para a Figura 811 fazer o mesmo que o pedido no exercıcio anterior Resolver tambem usando a Tabela de flechas Resposta φB φC Pa2 2EI yB Pa3 3EI yC Pa2 2EIL a 3 179 Mo Mo a a a A B C D Figura 810 Figura do exercıcio 4 L A a a P B C Figura 811 Figura do exercıcio 5 6 Calcular a flecha maxima no meio do vao e os ˆangulos de rotacao nos apoios da viga do exercıcio 3357b adotado o perfil de aco S31047 3 Resolva pelo metodo da integracao direta ou pela Tabela fazendose a superposicao de efeitos Dado E 210 GPa Resposta 0002975 rad e 385 mm 7 Dados I 20106 mm4 e E 210 GPa calcular a flecha em B na viga da Figura 812 por integracao ou pela Tabela Resposta 762 mm 4 m 5 kNm 6 kN Figura 812 Figura do exercıcio 7 8 Determinar a deflexao maxima na viga da Figura 813 Considerar EI constanteRespostaδ L4W0 120EI Figura 813 Figura do exercıcio 8 180 9 Determinar a deflexao maxima da viga e a inclinacao em A da Figura 814 Considerar EI constante Resposta θA M0a 2EI δ 5M0a2 8EI Figura 814 Figura do exercıcio 9 10 Determine as inclinacoes em A e B da viga da Figura 815 Considerar EI constante Resposta θA 378kNm2EIθB 359kNm2EI Figura 815 Figura do exercıcio 10 11 Demonstrar que a flecha no meio do vao da viga da Figura 816 e 5MoL2 16EI Calcule tambem as rotacoes nos apoios Resolva por integracao direta e tambem utilizando a Tabela atraves de superposicao de efeitos 2Mo 3Mo L Figura 816 Figura do exercıcio 11 12 Calcular a flechas em C e D e as rotacoes em A B e E na viga da Figura 817 EI constante Resposta yC yD Pa3 6EI e φA φB φE Pa2 4EI 13 Calcular a flecha maxima no meio do vao e os ˆangulos de rotacao nos apoios da viga da Figura 818 EI constante Resposta ymax 11Pa3 6EI φA φB 3Pa2 2EI 181 a a a a P P A B D E C Figura 817 Figura do exercıcio 12 P P a a A B 2a Figura 818 Figura do exercıcio 13 14 Calcular φA φB yE e yC na viga da Figura 819 dados P 25 kN e EI 11200 kNm2 constante Resposta φA 0 0015625 rad φB 0 003125 rad yE 1 758 mm e yC 6 417 m 14m 15m 15m P A C B E Figura 819 Figura do exercıcios 14 15 Calcular φA φB yC e yD para a viga da Figura 820 dado EI 105 kNm2 constante Resposta yC 3 73 mm e yD 1 6 mm 40m 40m 20m 20kN 10kNm A B D C Figura 820 Figura do exercıcios 15 16 Desenhar a linha elastica da viga da Figura 821 indicando os valores principais dado EI 105 kNm2 Resposta φA φB 0 0012 rad yE 3 2 mm yC yD 3 6 mm 182 30kN 40m 30m 40m 30m A C E B D Figura 821 Figura do exercıcios 16 17 Calcular a flecha no meio do vao da viga da Figura 822 Resposta y qa2b2 16EI a q q a b Figura 822 Figura do exercıcios 17 18 Dado EI 7200 kNm2 constante calcule φA φB yD e yE na viga da Figura 823 Resposta φA φB 0 003407 radyC yD 3 37 mm yE 5 26 mm C A B D 20kN 12m 20m 20m 12m E Figura 823 Figura do exercıcios 18 19 Dimensionar uma viga em balanco com uma carga uniformemente distribuıda de 10 kNm ao longo de seu comprimento de 4 m A viga tem secao retangular A 2A Calcular A em numero inteiro de centımetros Dados E 2105MPa σ 120 MPa e y 12cm Resposta A 10 cm σmax 120 MPa e ymax 11574 mm 20 Dimensionar a viga do exercıcio anterior para A 2m P 30 kN E 110GPa σ 80 MPa e y 10mm Adotar uma secao I de espessura t constante altura total 8t e largura de abas 5t Resposta t 23mm 183 21 Escolher o perfil de aco de abas largas tipo W mais econˆomico para a viga da Figura 824 Representar os diagramas de tensoes das secoes das secoes A e C e calcular yc Dados M 25kNm P 82 kN σ140 MPa e y 5 mm E 210 GPa Resposta W310x32 7 σA max 60 24MPa σC max 137 35MPa e yC 4 35mm 2m 2m P M M A B C Figura 824 Figura do exercıcio 21 22 Para uma viga em balanco de comprimento 2 5m e carga unifor memente distribuıda q em todo o comprimento dados E210GPa σ 140MPa e y 8mm Calcular qadm se a viga e um perfil W200x52 Escolher o perfil W mais econˆomico se q 28kNm Resposta q 18 2kNm e W410x38 8 23 A viga da Figura 825 e constituıda por um perfil W310 38 7 de aco E 210 GPa Dados L 3 2 m Mo 28 kNm σ 160 MPa e y 4 6 mm calcular o valor maximo admissıvel da taxa de carga q e os valores correspondentes da tensao maxima e da flecha maxima Resposta q 33 8 kNm σ 130 MPa y 4 6 mm Mo Mo L q Figura 825 Figura do exercıcio 23 24 Calcular σmax e as flechas no meio do vao e nas extremidades dos balancos da viga da Figura 826 de aco E 210 GPa com secao circular de diˆametro 100 mm Resposta σ 101 83 MPa ymeio 7 58 mm e ybalanco 15 36 mm 184 10kN 10kN 25m 10m 10m Figura 826 Figura do exercıcio 24 84 Tabelas A tabela 81 mostra alguns esquemas de apoios e articulacoes adotados para indicar as restricoes de deslocamentos impostas as vigas As tabelas 82 8384 85 e 86 mostram as respostas de deflexoes e rotacoes para vigas engastadaslivre e biapoiadas Tabela 81 Apoios e articulacoes 185 Tabela 82 Deflexoes e rotacoes em vigas engastadaslivres extraıda do livro Mecˆanica dos Solidos Timoshenko e Gere 186 Tabela 83 Deflexoes e rotacoes em vigas engastadaslivres extraıda do livro Mecˆanica dos Solidos Timoshenko e Gere Tabela 84 Deflexoes e rotacoes em vigas biapoiadas extraıda do livro Mecˆanica dos Solidos Timoshenko e Gere 187 Tabela 85 Deflexoes e rotacoes em vigas biapoiadas extraıda do livro Mecˆanica dos Solidos Timoshenko e Gere 188 Tabela 86 Deflexoes e rotacoes em vigas biapoiadas extraıda do livro Mecˆanica dos Solidos Timoshenko e Gere 189