Exercícios Resolvidos de Vigas Isostáticas - Mecânica II

CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 1 1 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Exercícios resolvidos Revisão em 22032011 Exercícios de Vigas Isostáticas 1º Exercício Determinar para a viga biapoiada abaixo as reações de apoio e os diagramas dos esforços solicitantes Usar as equações indefinidas de equilíbrio Dados m l KN m q 8 9 0 1º passo Determinação da função qx Conforme a figura por semelhança de triângulos temse l x q q x l q x q x 0 0 Ou ainda podese partir da equação geral da reta b ax q x com as condições l q a a l q q l l x b b a q x 0 0 0 0 0 0 0 donde l x q q x 0 como antes CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 2 2 2º passo Cálculo das reações de apoio Estas são obtidas através das equações de equilíbrio calculandose antes o total de carga aplicada na viga bem como sua posição na viga l l l q l l l q x l q xdx l q q x dx Q 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 2 esta expressão também é igual à área do carregamento da viga um triângulo de base l e altura 0 q Posição da resultante Q igualamse os momentos estáticos em relação ao ponto A da carga resultante e da carga distribuída ao longo da viga l CG q x dx x x Q 0 ou l CG l x dx q l x q 0 2 0 0 2 Isolando xCG temse l x l l l l l x l x dx l q q l x CG l l CG 3 2 3 2 3 2 0 3 2 3 2 2 2 3 3 3 2 0 0 3 2 2 0 0 posição do centro de gravidade de um triângulo retângulo de base l e altura 0 q Cálculo das reações de apoio CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 3 3 Ma 0 l Q RB l 3 2 2 3 2 3 2 q 0 l Q R B 3 RB q0l 3º passo Determinação da força cortante V x pela equação indefinida de equilíbrio l q x q x dx x dV 0 Integrando de0 a x temse 1 0 C xdx l q V x 1 2 0 2 C x l q V x Cálculo do valor da constante 1 C para x 0 resulta 6 0 q0l R V A 6 0 2 6 0 1 1 0 0 q l C C l q q l 6 2 0 2 0 q l x l q V x 6 2 0 2 2 0 l q l x q l V x 3 1 2 2 0 l x q l V x ou ainda denominando l ξ x a abscissa adimensional obtémse 3 1 2 2 0 ξ ξ q l V Fy 0 Q R R B A 6 3 2 0 0 0 q l q l q l RA 2 B A R R CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 4 4 A força cortante se anula para 3 3 3 1 0 3 1 2 l x ξ ξ Ou l l x 0 577 3 3 um pouco além do meio do vão Conferindo no apoio B l x ou 1 l x ξ RB q l q l q l q l V 3 3 2 2 3 1 3 3 2 3 1 1 2 1 0 0 0 2 0 ξ OK 4º passo Determinação do momento fletor M x pela equação indefinida de equilíbrio 3 1 2 2 2 0 l x q l V x dx dM x Integrando os dois lados temse 2 2 2 0 3 1 2 C dx l x q l M x 2 2 3 0 3 1 3 2 C l x q l M x 2 3 3 0 2 3 C l l x l l x q l M x 2 3 0 2 6 C l x l x q l M x Cálculo da constante 2 C para x 0 temse 0 0 6 0 0 2 2 0 2 C C q l M 3 0 2 6 l x l x q l M x ou 3 0 2 6 ξ ξ ζ q l M parábola cúbica Conferindo para l x 0 M l OK O momento máximo M max ocorre para V 0 Logo 3 3 ξ Substituindo na equação de M ξ obtémse 3 0 2 3 3 3 3 6 max q l M 0 385 6 q0l2 588 15 q0l2 CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 5 5 5º Passo Gráficos com KN m q 0 9 e m l 8 m x l ξ x l l 2 2 0 3 36 1 3 1 2 ξ ξ ξ q l V KN 2 2 0 2 96 1 1 6 ξ ξ ξ ξ ξ q l M KNm 0 0 12 0 1 0125 114375 118125 2 025 975 225 3 0375 69375 309375 4 05 3 36 462 05774 0 M max 369504 5 0 20625 365625 6 075 825 315 7 0875 155625 196875 8 1 24 0 CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 6 6 24 20 16 12 8 4 0 4 8 12 0 2 4 6 8 Abscissa m Viga Isostática Carga Triangular Força Cortante kN Vx 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 Abscissa m Viga Isostática Carga Triangular Momento Fletor kNm Mx CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 7 7 2º Exercício Determinar para a viga biapoiada da figura as reações de apoio e os diagramas dos esforços solicitantes Usar as equações indefinidas de equilíbrio Obs Esta carga é usada em superestruturas de pontes Dados m l KN m q 8 9 0 1º Passo Determinação da função qx Bl A q x sen condições de contorno Bl A q l l x q x sen 0 0 0 0 Como 0 sen 0 Bl A ou l B Bl π π Para 2 x l resulta 2 2 2 0 π π Asen l A sen l q q l E como 0 1 sen 2 A q π Logo l x q sen q x π 0 2º Passo Cálculo das reações de apoio No caso por causa da simetria as reações de apoio são iguais à metade da carga total aplicada Q que vale l l dx l x sen q q x dx Q 0 0 0 π l l l x q l l x d l x sen q l Q 0 0 0 0 cos π π π π π CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 8 8 A variável x está no intervalo l0 Mudando a variável para l x π esta nova variável estará no intervalo π π π 0 0 l l l donde cos 0 cos 0 π π q l Q π π q l q l Q 0 0 2 1 1 q l q l q l Q 0 0 0 0 6366 157 2 π Logo π q l Q R R B A 0 2 3º passo Determinação da força cortante V x pela equação indefinida de equilíbrio l x q q x dx dV x sen 0 π Integrando os dois lados temse 1 0 C dx l x sen q V x π 1 0 C l x d l x sen q l V x π π π 1 0 cos C l x q l V x π π 1 0 cos C l x q l V x π π Cálculo do valor da constante 1 C para x 0 temse π q l R V A 0 0 0 cos 0 0 1 1 1 0 0 C C q l q l V 8 7 6 π π Logo l x q l V x 0 cos π π Conferindo para 0 cos 2 2 cos 2 2 cos 0 0 0 1 0 π π π π π π π q l l l q l V l l x q l q l R V l l x B 8 7 6 4º passo Determinação do momento fletor M x pela equação indefinida de equilíbrio l x q l V x dx dM x π cos π 0 CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 9 9 Integrando os dois lados temse 2 0 cos C dx l x q l M x π π 2 0 cos C l x d l x q l l M x π π π π 2 2 0 2 C l x q l sen M x π π Cálculo do valor da constante 2 C para x 0 temse 0 sen 0 0 0 2 2 0 2 0 2 C C q l M 48 47 6 π l x q l M x sen 2 0 2 π π O máximo momento fletor M max ocorre para V 0 o que se dá na abscissa 2 x l Substituindo na equação de M x vem 2 sen max 2 0 2 l l q l M π π 2 0 2 π q l 87 9 q0l2 5º Passo Gráficos com KN m q 0 9 e m l 8 m x 8 x l x π π rad 72 cos 8 0 cos x l x q l V x π π π π KN 8 58361 2 0 2 x sen l x q l sen M x π π π KNm 0 0 229183 0 05 01963 224779 113857 1 03927 211738 223338 15 05890 190559 324236 2 07854 162057 412675 25 09817 127237 485254 3 11781 87705 539185 35 13744 44711 572396 4 15708 0 M max 58361 5 19635 87705 539185 6 23562 162057 412675 7 27489 211738 223338 8 31416 229183 0 Notar que o ângulo na calculadora deve ser posto em radianos CTU Depto de Estruturas 6TRU014 Mecânica II Prof Roberto Buchaim Rev 22032011 10 10 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 8 Abscissa m Viga Isostática Carga Senoidal Força Cortante kN Vx 60 50 40 30 20 10 0 0 2 4 6 8 Abscissa m Viga Isostática Carga Senoidal Momento Fletor kNm Mx