Demonstrando a Lei de Stefan a Partir da Lei de Planck da Radiação

DEMONSTRANDO A LEI DE STEFAN DA LEI DE PLANCK\n\nA lei de Planck define a energia média por oscilador atômico como:\n\n< E > = \\frac{\\hbar \\omega}{exp(\\frac{\\hbar \\omega}{k_T}) - 1} (1)\n\nA densidade de energia U(\\omega, T) é definida na lei da radiação de Planck como:\n\nU(\\omega, T) = \\frac{\\omega^2}{\\pi^2 c^3} < E > d\\omega = \\frac{\\omega^2}{\\pi^2 c^3} \\frac{\\hbar \\omega}{exp(\\frac{\\hbar \\omega}{k_T}) - 1} (2)\n\nA radiança é perfeitamente definida por:\n\nR = \\frac{U(\\omega, T)}{4} (3)\n\nonde c é a velocidade da luz. A radiança é representada como uma integral no intervalo [0,\\infty) e será correspondente à área sob a curva do espectro da radiação de corpo negro. Logo, reescrevemos a eq. (3) como:\n\nR = \\frac{c}{4} \\int_0^{\\infty} U(\\omega, T) d\\omega (4) Substituindo (2) em (4), temos:\n\nR = \\frac{c}{4} \\int_0^{\\infty} \\frac{\\omega^2}{\\pi^2 c^3} \\frac{\\hbar \\omega}{exp(\\frac{\\hbar \\omega}{k_T}) - 1} d\\omega (5)\n\nFazendo xe = \\frac{\\hbar \\omega}{k_T}, temos:\n\n\\frac{dS}{k_T} = \\frac{\\hbar}{k_T} d\\omega \\rightarrow d\\omega = \\frac{k_T}{\\hbar} dS (6)\n\nEntão, reescrevemos a eq. (3):\n\nR = \\frac{1}{\\pi^2 c^3} \\left(\\frac{\\hbar}{k_T}\\right)^{4} \\int_0^{\\infty} S^3 \\frac{1}{exp(S) - 1} dS (7)\n\nResolvendo (1):\n\n\\int_0^{\\infty} S^1 dS = \\pi^4 / 15 (8) (vire Física Quântica, Eisbuch, & Rashick, pg. 47)\n\nSubstituindo (7) em (7), temos:\n\nR = \\frac{\\frac{\\hbar}{4\\pi^3 c}}{15}\\left(\\frac{k_T^4}{T^4}\\right) Felizmente, determinamos o valor da constante de Stefan-Boltzmann \\sigma:\n\n\\sigma = \\frac{k_B^4}{60 \\pi^2 c^2}\n\nk_B = 1,38 \\cdot 10^{-23} J/K\n\n\\hbar = \\frac{h}{2\\pi} = \\frac{6,626 \\cdot 10^{-34} J s}{2 \\pi} = 1,05 \\cdot 10^{-34} s\\cdot J\n\nc = 2,998 \\cdot 10^8 m/s\n\n\\sigma = \\frac{k_B^4 \\cdot 4\\pi^2}{60 \\cdot (1,38\\cdot 10^{-23} J/K)^4}\n\n\\sigma = \\frac{(5,70 \\cdot 10^{-8} W^2)}{m^{-2} K^{4}}\n\n\\sigma = 5,7 \\cdot 10^{-8} W^2m^{-2}K^{-4}\n\nconstante do STEFAN - BOLTZMANN