Resumo Modelo de Bohr

Modelo de Bohr\n\nO modelo de Bohr é um modelo atômico semiclássico que possui semelhança com a condução de alguns dados espectroscópicos, explicando alguns fenômenos até então não explicados pela física clássica como as linhas espectrais atômicas. O modelo de Bohr explica tal fenômeno em especial para o átomo de hidrogênio. Nesse modelo, considera-se que um átomo com\n\nF = força de orbita.\n\nO elétron é atraído pelo núcleo com uma força que no módulo corresponde à força coulombiana. Com isso temos:\n\nF = \\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \\frac{ze^2}{r^2} (1)\n\nEm sua órbita, o elétron também está sujeito a uma força centrípeta cujos módulos são iguais ao módulo da força coulombiana dada pela eq. (1); assim, a eq. (1) se torna:\n\nm \\frac{v^2}{r} = \\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \\frac{ze^2}{r^2} (2)\n\nA eq. (2) é a expressão de estabilidade do elétron na órbita. Logo, da eq. (2) podemos facilmente obter:\n\nmv^2 = \\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \\frac{ze^2}{r} (5)\n\nClassicamente, sabemos que a energia mecânica é E = T + V; logo,\n\nE = \\frac{1}{2} mv^2 + V (4)\n\nAplicando (3) na eq. (4), obtemos o resultado:\n\nE = \\frac{1}{2} \\left( \\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \\frac{ze^2}{r} \\right) + V (5)\n\n19-1 A energia potencial do elétron pode ser obtida pelo seguinte procedimento.\n\nV = -\\int_{\\infty}^{r} \\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0 r^2} dr = -ze^2 \\left( \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\int_{r}^{\\infty} \\frac{1}{r^2} dr \\right) = -\\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0} \\left[ \\frac{1}{r} \\right]_{r}^{\\infty} = -\\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0 r}\n\n= -\\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0} \\left( \\frac{1}{r} \\right) (6)\n\nSubstituindo (6) na eq. (5), temos:\n\nE = \\frac{1}{2} \\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0 r^2} - 1 \\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0 r} - \\frac{ze^2 - 2ze^2}{4\\pi\\epsilon_0 r} = -\\frac{ze^2}{2\\epsilon_0 r}\n\nEnergia do elétron na órbita (2)\n\n* Postulados de Bohr\n\n1. O elétron orbitará circularmente em torno do núcleo atômico, obedecendo as leis da mecânica clássica. A atração núcleo-elétron é de natureza coulombiana.\n2. O elétron ocupa apenas órbitas em que seu momento angular orbital seja múltiplos inteiros de h/2\\pi. Ou seja,\n\nL = n \\frac{h}{2\\pi}, n = 1, 2, 3, ... (c8)\n\n3. O elétron em sua órbita não emite radiação eletromagnética, embora esteja constantemente acelerado.\n4. Temos o óbvio em sua órbita com energia E_i, postulando-se fazendo uma transição para um estado n com energia E_f, sua variação de energia (E_f-E_i) dividida por h é constante de Planck, correspondendo à frequência da radiação emitida:\nv = \\frac{E_f - E_i}{h} (a) * Raio de Bohr\n\nDa eq. (8), temos:\n\nmr^2 \\frac{d\\theta}{dt} = nh\\Rightarrow \\frac{n}{mvr} = \\frac{d\\theta}{dt} (10)\n\nF = \\frac{n h}{mv} (14)\n\nSubstituindo (11) na eq. (9):\n\nm \\frac{n^2 h^2}{4\\pi^2 r^2} = \\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0 r^2} \\Rightarrow r = \\frac{4\\pi\\epsilon_0 n^2 h^2}{ze^2}\n\nF = n^2 r, onde r_0 = \\frac{4\\pi\\epsilon_0 h^2}{mze^2}\n\nF = Raio de Bohr (12)\n\n* Energias Positivas\n\nSubstituindo o resultado (12) na eq. (7), obtemos\n\nE = -\\frac{1}{2} \\left( \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\frac{ze^2}{n^2} \\right) = -\\frac{1}{2} \\frac{ze^2}{4\\pi\\epsilon_0 n^2}\n\nn = 1, 2, 3 (13)\n\n(energia positiva / níveis de energia [ Bohr]) * EMISSÃO\n\nSe consideramos uma transição de um nível de energia E_m para um nível de energia E_n (n->n'), consideramos as energias:\n\nE_m = - \n\n1\n\n4π²h²\n\nm²z²e⁴\n\n2\n\nn²\n\n(14)\n\nE_n = - \n\n1\n\n4π²h²\n\nm²z²e⁴\n\n2\n\nn'²\n\n(15)\n\nDas eqs. (14) e (15) temos:\n\nv = \n\n1\n\nh (E_m - E_n) = h \n\n[E_m - E_n] = 1\n\n{1\n\n4π²h²}\n\nm²z²e⁴\n\n2\n\n(1\n\nn'² - 1\n\nn²)\n\n= 1\n\n4π²h²\n\nm²z²e⁴\n\n2\n\n(1\n\nn'² - 1\n\nn²)\n\n= 1\n\n4π²h²\n\nm²z²e⁴\n\n2\n\n(1\n\nn'² - 1\n\nn²)\n\n= \n\n1\n\n4π²h²\n\nm²z²e⁴\n\n2\n\n(n'²n² - n²)\n\n= (1)\n\n= 1/8\n\n= (1)\n\n/n²\n\n= (1)\n\n1/n'²\n\n- \n\n1/n²\n\n\n= \n\nR_H\n\n= \n\n(1/n'² - 1/n²)\n\n= \n\nR_H = \n\nm²z²e⁴\n\n8π²c³h³\n\nE CONSTANTE DO RYDBERG\n\n