Álgebra Linear e Aplicações - Capítulo 1: Sistemas Lineares e Matrizes

ÍNDICE 1ª PARTE ÁLGEBRA LINEAR CARLOS A CALLIOLI Prof Titular Faculdade de Engenharia Industrial São Paulo HYGINO H DOMINGUES Prof Adjunto Instituto de Biociências Letras e Ciências Exatas UNESP Rio Preto ROBERTO C F COSTA Prof LivreDocente Instituto de Matemática e Estatística USP ÁLGEBRA LINEAR E APLICAÇÕES 6ª edição reformulada 12ª reimpressão CAPÍTULO 1 Sistemas Lineares Matrizes 1 SISTEMAS LINEARES Neste capítulo procederemos inicialmente a um estudo dos sistemas lineares sobre R Não nos moverei aqui nenhuma preocupação de formalismo ou rigor excessivos Além disso limitaremosnos a ver sobre o assunto apenas o que é necessário para desenvolver os capítulos posteriores De uma maneira geral este capítulo 1 constitui apenas um prérequisito para o restante deste livro 3 O sistema Para estudar este sistema devese aplicar a ele uma série de operações elementares visando fazer com que o número de coeficientes iniciais nulos seja maior em cada equação a partir da segunda do que na precedente Vejamos como se pode fazer isso z 2x y t 4 x 2y z 1 5x y t 5 4x 2y 2t 4 5x 2t 1 z 2x y t 4 IGUALDADE DE MATRIZES Consideremos duas matrizes reais m X n A aij e B bij Dizemos que A B se e somente se aij bij i 1 2 m j 1 2 n Exemplos 1 x 1 y 1 t 0 z 1 2 3 6 OPERAÇÕES COM MATRIZES a ADIÇÃO A operação que transforma cada par A B de matrizes do mesmo tipo na matriz A B chamase adição de matrizes É uma operação no conjunto MnxR IR x y z 1 Resolver o sistema x y z 1 3x y 3z 1 x y z 1 6y 2z 0 2y 3z 0 3y 4z 0 2x y 2z 0 2x y 2z 0 Para essa operação que transforma cada par A B de ℝ ℝ na matriz real A Mₘₓₙℝ valem as seguintes propriedades I αBA αBA II A BA A B III αA B αA αB IV 1A A qualquer que sejam as matrizes A e B e qualquer que sejam os números reais α e β Provemos II Suponhamos A aᵢⱼ Então αA βBA αaᵢⱼ βbᵢⱼA αaᵢⱼA βbᵢⱼA αA βBA Exemplo Seja A 2 1 0 0 1 2 B 2 4 1 0 2 0 Então AB 23 10 00 24 10 00 03 10 00 6 8 10 2 0 2 0 2 Proposição 2 Sejam A aᵢⱼ B bᵢⱼ e C cᵢⱼ matrizes reais m n n p e p q respectivamente Então ABC ABC 2x 2y 2 x y z 1 3x y 3z 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Seja A 2 1 0 1 2 1 B 0 0 2 6 4 2 C 3 2 0 1 0 1 matrizes de M₃₃ℝ Calcular 3A 12B C 6 3 0 0 0 3 3 2 0 9 5 3 2 Determinar a matriz X M₃₃ℝ tal que 12X A 3X A C sendo A B e C as matrizes do exercício 1 3 Dadas as matrizes reais 1 3 A 1 0 0 B 0 1 0 e C 0 0 1 determinar as matrizes X Y e Z de M₃₃ℝ tais que S 2X Y Z B S X Y Z A 3X Y Z C x y z 1 6 Para cada número real x consideremos a matriz Tₓ cos x sin x sin x cos x a Mostrar que TₓTᵀₓ Tₓ b Calcular Tₓ Solução TₓTᵀₓ cos x sin x cos x sin x sin x cos x cos²x sin²x Tₓ a Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A Aᵀ e antisimétrica se A A a Mostrar que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica Mostre que o mesmo vale para matrizes antisimétricas b O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é uma matriz simétrica Por exemplo 1 2 0 0 2 0 3 1 6 0 0 5 6 0 0 0 0 5y z 2 Se A B M2R e AB BA prove que a A B² A² 2AB B² b A BA B A² B² c AA B² AB B² A² B³ 3 Sendo A e B as matrizes do exercício proposto 1 determine matrizes X Y e M2R de maneira que 2X Y A B X Y A B 4 O produto de duas matrizes antisimétricas de mesma ordem é uma matriz antisimétrica Justifique sua resposta 5 Determine uma matriz A M2R tal que A 0 e A² A 0 matriz nula 6 Efeito dos produtos AB BA onde A 1 1 B 1 2 7 Mostrar que A 2 3 4 5 8 Mostrar que as matrizes 1 1 0 0 onde é um número real não nulo verificam a equação X² 2X 9 Determinar todas as matrizes quadradas de ordem 3 que comutam com a matriz 0 1 1 0 0 1 0 0 0 onde é um número real 2y 3z 0 Exemplos 1 A matriz A 2 0 0 1 é inversível uma vez que tomando B 1 0 0 2 então AB BA 1 0 I2 Logo adiante ensinaremos um algoritmo processo para determinar a inversa de uma matriz caso esta inversa exista 2 Se uma linha ou coluna de uma matriz A é nula então A não é inversível Suponhamos a linha iésima de A nula isto é Ai 0 0 0 Dada então uma matriz X qualquer de ordem n como AXᵀ AXᵀ 0 0 ver definição de produto então AX 0 0 0 In para toda matriz X 3 Se A e B são matrizes de ordem n ambas inversíveis então AB também é inversível e AB¹ B¹A¹ De fato AB¹ B¹¹A¹¹ A₀A ¹ In e analogamente B¹A¹AB Iₙ 4 Se A é inversível então A¹ também o é e vale a seguinte igualdade A¹¹ A Como a matriz A é equivalente à matriz 1 2 6 0 1 0 0 0 0 que não é inversível tem uma linha nula então A também não é inversível 8 SISTEMAS DE CRAMER Seja a₁₁x₁ aₙₖxₖ bₖ S a₁₁x₁ aₙₖxₖ bₖ formamos as matrizes A a₁₁ a₁₂ a₁ₖ b₁ a₂₁ a₂₂ a₂ₖ b₂ aₙ₁ aₙ₂ aₙₖ bₙ então recebemos a forma matricial AX B onde A recebe o nome de matriz dos coeficientes de S Um sistema de Cramer é um sistema linear em n equações com n incógnitas cuja matriz dos coeficientes é inversível Se AX B é um sistema de Cramer como AX B A¹AX A¹B X B A¹B então esse sistema é compatível determinado e sua única solução é dada por A¹B Em particular um sistema quadrado homogêneo cuja matriz dos coeficientes é inversível só admite a solução trivial Exemplo A matriz dos coeficientes do sistema a Determinar as possíveis x e y em R² a fim de que a matriz 1 0 1 1 0 0 0 1 0 se A 1 e 0 Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas A 1 2 B 1 1 0 C 0 1 1 2 2 0 2 1 1 1 2 0 3 Proposição 5 Toda matriz elementar E é inversível Demostração Por hipótese obtemos E de In por meio de uma certa operação elementar Consideremos a operação elementar inversa que transforma E em In Ao explicarmos esta última em In obtemos uma matriz elementar E1 Devido a proposição anterior teremos E1 E In o que é suficiente para concluir que E é inversível e E1 é sua inversa por quê CAPÍTULO 2 Espaços Vetoriais 1 INTRODUÇÃO Examinemos certos aspectos relacionados com dois conjuntos certamente já conhecidos do leitor O primeiro é o conjunto V dos vetores da geometria definidos através de segmentos orientados e o outro é o conjunto Max n R das matrizes reais m por n onde m e n são números naturais dados ambos maiores que zero A primeira vista pode parecer que tais conjuntos nada têm em comum Mas não é bem assim conforme mostraremos a seguir Logo os conjuntos V e Mm imes n mathbbR apresentam uma coincidência estrutural no que se refere a um par importante de operações definidas sobre eles Nada então mais lógico do que estudar simultaneamente V e Mm imes n mathbbR e todos os conjuntos que apresentam essa mesma estrutura anteriormente apontada E isso o que começaremos a fazer no parágrafo seguinte II Está definida uma multiplicação de K imes V em V o que significa que a cada par u v de K imes V está associado um único elemento de V que se indica por u cdot v para essa multiplicação temse o seguinte a alphau alpha u b u v au βu c u v αu αv d 1 u u Nota Na teoria dos espaços vetoriais é comum aproveitarse a terminologia do exemplo 3 acima Assim é que os elementos de um espaço vetorial qualquer são chamados de vetores o elemento neutro da adição de vetor nulo deste espaço e os elementos de R ou C de escalares 5 Seja V como no exercício anterior Definamos x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 αx y αx αy Com essas operações definidas sobre V perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre R 6 Seja V x y x y R Mostrar que V é um espaço vetorial sobre R com a adição e multiplicação pelos escalares definidos assim I x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 II Vα x y αx αy V e III x y V αx y V 7 Seja Rn x1 x2 xi R Considerando sobre Rn as operações dadas por x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 y2 mostrar que Rn é um espaço vetorial sobre R 8 Mostrar que todo espaço vetorial sobre R também é espaço vetorial sobre R 3 PRIMEIRAS PROPRIEDADES DE UM ESPAÇO VETORIAL Seja V um espaço vetorial sobre R Provaremos aqui algumas propriedades que são consequências intrinsécas da definição de espaço vetorial P1 Para todo α R e todo u V αu 0 u 0 Prova Devido aos axiomas ILe e Ic da definição do espaço vetorial temos αu α0 v α0 αu somando a ambos os membros o vetor α0 temos 0 α0 αu α α αu αu P2 Para todo u V 0u 0 Prova Do mesmo tipo da anterior Fica como exercício P3 Uma igualdade additiva u 0 com α R e u V só possvel se α 0 ou u 0 Prova Suponhamos α 0 Dado este o número real α1 multiplicando então u 0 por α1 temos α1αu α1 0 Levando em conta o axioma IIa e a propriedade P1 α1u 0 4 SUBESPAÇOS VETORIAIS Definição 2 Seja V um espaço vetorial sobre R Um subespaço vetorial de V é um subconjunto W V tal que a 0 W b u v W u v W e c α R e u W αu W Notemos que b significa que a adição de V restringida a W tem adição em W O significado de c é que está definida uma multiplicação de R W em W Mas serão nesses condições um espaço vetorial sobre R Proposição 1 Se W é um subespaço vetorial de V então V também é um espaço vetorial sobre R Demonstração A rigor temos oito itens a provar ver definição de espaço vetorial Contudo mostraremos apenas que u W u W 5 SOMAS DE SUBESPAÇOS Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço vetorial W Definindo 3 Indicaremos por U V e chamaremos de soma de U com V o seguinte subconjunto de W U V u v u U e v V Nota E claro que U V 0 que 0 U para todos os subespaços U V de W Também é verdade que U V V U V Proposição 2 Se U e V são subespaços vetoriais de W então U V também é um subespaço vetorial de W Demonstração Como o 0 0 0 o U e V então o U V a Sejam u1 u1 v1 w1 u2 v2 elementos de U V onde estamos supondo b1 b2 U V e V V Então Como u1 v1 v2 U V e respectivamente então w1 v2 U V Exercício Definição 4 Sejam U e V subespaços vetoriais de W tais que U V 0 Neste caso dizse que U V é soma direta dos subespaços U e V Notação U V se U e V são subespaços de W tais que U V dizemos que U e V são suplementares ou que U é suplementar de U Proposição 3 Sejam U e subespaços vetoriais de um espaço vetorial W Então W U V e somente se cada vetor w W admite uma única decomposição w u v com u U e v V Demonstração Para hipótese a decomposição existe suponhamos w u v u1 v1 u2 v2 da1 v v1 v2 Como v1 V e v V então u1 u2 0 logo u1 u levando em conta isto concluise que v 0 e portanto que v 0 u v u u v 6 COMBINAÇÕES LINEARES Seja V um espaço vetorial sobre R Temos um subconjunto S u1 un de V Indicamos por S o espaço subjunto de V construído a partir de S S α1u1 αnun αi R É fiel ver que S é um subespaço vetorial de V De fato a Como o 0 u0 u1 V então os αi αj b Se α α1u1 αnun S então α u v V e então α W c Sejam u1 un em M2 em K 0 0 0 onde α W Outra maneira de resolver observar que W é gerado por 1 0 Exercícios PROPOSTOS 1 Quais dos seguintes conjuntos que abaixo são subespaços do R² 13 Mostrar que se U V e W são subespaços vetoriais do mesmo espaço mostrar que U V U W U V W Descubra um exemplo para o qual o primeiro membro da relação é diferente do segundo em exemplo contém igualdade CAPÍTULO 3 Base e Dimensão Definição 2 Dizemos que L u₁ uₙ V é linearmente dependente LD se e somente se l₁ não é LL ou seja é possível uma igualdade do tipo a₁u₁ aₙuₙ 0 sem que os escalares ajam todos iguais ao número zero b x₁2 3 y1 4 z1 8 27 0 0 0 Solução Para que o conjunto seja LI é necessário e suficiente que x₁0 0 y1 1 0 z1 2 3 0 0 0 só se verifica para x y z 0 11 Suponha que u1 up v1 vq é um subconjunto LI de um espaço V Mostrar que u1 up v1 vq 0 12 Se u1 un é LI mostrar que u1 un u αv up também é LI para todo escalar α 13 Sejam a1 an números reais distintos de 2 a 2 Provar que o conjunto de funções fx1 fxn é LI 14 Provar que o conjunto de funções fx1 fxn onde a e b são números reais e b 0 é LI P1 Se S u1 up V e S contém o vetor nulo então S é LI Prova Seja S u1 up V e u1 up LD então o vetor é combinação linear de outros vetores de S então S é LD Prova Por hipóteses temse uma igualdade α1 u1 αp up 0 1 onde todos os escalares que nela figuram são nulos Afirmamos que um dos escalares não é igual a 0 De fato seja αα 0 então P2 Se S u1 up C V e LD então u1 é combinação linear de mais vetores de S então S é LD P3 S u1 up C V e LD então um dos estes vetores é combinação linear dos demais vetores de S Veja exercício proposto no 6 1 4 DIMENSÃO Iremos enunciar logo a seguir um resultado bastante importante que diz respeito ao mesmo que o crescimento das bases de um espaço vetorial finitamente gerado Sua demonstração contudo somente será feita no apêndice ao fim deste capítulo pelo fato de ser um tanto longo trabalho Esse apêndice é especialmente recomendado aos alunos dos Cursos de Matemática Definição da invariância Seja V um espaço vetorial finitamente gerado Todas as bases bases de subespaço de V têm o mesmo número de vetores 5 PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAR UMA BASE DE UM SUBESPAÇO DE R ou C Um subespaço de Rn em geral ou de dado pelos seus geradores ou é possível achar seus geradores Daremos a seguir um dispositivo prático para achar uma base desses subespaços a partir dos seus geradores Esse processo se baseia em três observações apenas Seja V u1 um um subespaço do Rn I No segundo membro da igualdade aqui permutamos dois dos vetores que lá figuram evidentemente não alteramos o subespaço gerado isto é V u1 um upi1 upim II Para todo número real c temos a seguinte igualdade uj a1u1 aj1uj1 ajuj aj1uj1 am um onde uj é um elemento de V Esse elemento também pode ser escrito da seguinte maneira V b1 u1 bm um Logo V u1 um com subespaço gerado por u1 um ci uj um III Se ui uk se apresentam na forma escalonada ou seja o número de zeros iniciais de ui é maior que o de uj então os vetores u1 uk formam um conjunto LI Exemplo Seja V 2 1 1 0 1 0 1 2 0 1 1 4 R4 Na prática formamos com esses vetores a linha de uma matriz simbólica da seguinte maneira 2 1 1 0 1 0 1 2 0 1 1 4 A seguir aplicamos convenientemente as operações I e II acima até obtermos a situação da hipótese de III Vejamos como 2 1 1 0 1 0 1 2 0 1 1 4 No que fizemos aqui a seta indica apenas a passagem de uma etapa para outra do processo Na primeira passamos apenas a primeira e a segunda linha Na segunda passagem multiplicamos por 2 a primeira linha e resultado somamos com a segunda linha Na última passagem somamos a segunda linha com a terceira linha Levando em conta I temos 0 1 2 0 0 1 0 0 1 4 Logo o vetor nulo pode ser retirado do segundo membro deste conjunto LI EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Mostrar que o subconjunto 1 1 é uma base de C sobre R Solução Os vetores e1 e2 constituem um sistema de geradores de C e sobretudo elemento de C é da forma a1 e1 b1 e2 em R Assim temos e1 e1 0 0 0 com x y R então x y 0 2 Mostrar que o subconjunto de vetores 0 2 2 0 4 1 é uma base do seguinte subespaço vetorial de R2 U x y R2 x y 0 Solução Como x y U e somente x 0 e 0 0 e y 0 1 0 0 0 1 então 0 1 0 0 1 é uma base de U Logo 0 2 e 0 4 1 são independentes pelos processos primitivos 6 Determinar uma base e a dimensão do espaço solução do seguinte sistema EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8 MUDANÇA DE BASE x1 1 y1 0 x2 1 e y2 1 Logo P 0 1 1 é a matriz pedida 2 Se B C obviamente a matriz de mudança de C para B ou viceversa é a matriz idêntica Três problemas importantes se apresentam no que se refere a mudanças de base Problema 1 Se a matriz de mudança da base B para a base C P ωij e a matriz de mudança da base C para uma outra base D do mesmo espaço é Q φij qual a matriz de mudança de B para D Supomos B u1 un C v1 vm e D w1 wp A definição da matriz de mudança nos garante então que wj Σ i1 até n βkj Σ j1 até m αij uik 1 n Então o termo geral da matriz de mudança da base B para a base D é dado por Σ j1 até m φkj Σ i1 até n αij ui Σ i1 até n Σ j1 até m φkjαij ui Nota Uma consequência do que acabamos de ver é que uma matriz de mudança de bases é sempre inversível Sem mais vejamos Seja P a matriz de mudança de B para C e Q a matriz de mudança de C para B 92 Devido à unicidade das coordenadas segue que xj Σ i1 até n αij yj i 1 2 n ou x1 α11y1 α12y2 α1ny n Usando a notação matricial obtemos a relação desejada X PY Problema 3 Se u1 un é uma base de V e P αij é uma matriz inversível então os vetores yj Σ i1 até n αij ui j 1 n também formam uma base de V Supomos Σ j1 até n xj yj 0 Então Σ j1 até nΣ i1 até n αij ui Σ i1 até n Σ j1 até n αijxj ui 0 Daí Σ i1 até n αijxj 0 i 1 2 n Como este sistema é homogêneo e a matriz dos seus coeficientes P inversível então x0 xn 0 Logo v1 vn é LI e portanto também é base de V EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 Determinar as coordenadas do vetor u 2 1 4 do R3 em relação às bases a Canônica b 1 1 1 0 0 1 1 1 1 94 Solução a As coordenadas neste caso são obviamente 1 2 e 0 b 1 2t t² a1 b10 c11 t² d1 t² b c d 1 b 2 c 2 d 1 Logo as coordenadas são 2 2 e 1 4 Achar a matriz de mudança da base β 1 1 0 0 1 0 0 0 3 para a base canônica do R³ Solução 1 0 0 α11u1 α12u2 α13u3 0 1 0 α21u1 α22u2 α23u3 0 0 1 α31u1 α32u2 α33u3 Então 0 1 0 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 3 1 0 1 0 Logo 1 0 0 é a matriz pedida 5 No espaço R³ consideramos as bases B e1 e2 e3 e C e3 e2 e1 relacionadas da seguinte maneira e1 e1 e3 e2 2e1 e2 e3 e3 e1 2e2 e3 Determinar a matriz de mudança de B para C e de C para B 96 EXERCÍCIOS PROPOSTOS a Determinar as coordenadas do vetor u 4 5 3 R³ em relação às seguintes bases a canônica b 1 1 0 0 0 1 1 0 0 c 1 2 1 0 2 0 2 0 1 2 Determinar as coordenadas de 1 2I C em relação à seguinte base de C sobre R 1 1 i 3 Determinar as coordenadas do vetor 1 1 C² em relação à base 1 0 0 i 1 1 i 4 Determinar as coordenadas do polinômio P em relação à seguinte base de P₃R 1 2t t² t t³ 5 A matriz de mudança de uma base B do R² para a base 1 1 0 2 desse mesmo espaço é a Determinar a base B 6 A matriz de mudança da base 1 t 1 t para uma base C ambas do mesmo subespaço de P₃R é 7 Considerar as bases B e₁ e₂ e₃ e C f₁ f₂ f₃ de R³ assim relacionadas b₁ e₁ e₂ e₃ b₂ 2e₂ e₃ b₃ e₁ e₃ a Determinar as matrizes de mudança de B para C e de C para B b Se um vetor u de R² apresenta coordenadas 1 2 3 em relação à B quais as coordenadas de u relativamente a C a Mostrar que os seguintes subconjuntos de M₃R são bases de U B 1 0 1 0 1 0 0 0 1 e C 1 0 0 0 1 0 0 0 1 b Achar a matriz de mudança de B para C e de C para B c Achar uma base D de U de tal maneira que a matriz de mudança de D para B seja 1 0 0 0 0 2 0 0 2 Sejá B u₁ u₂ uₖ uma base do espaço vetorial V e C v₁ vₖ onde vₖ vₖ vₖ são tais que Provar que C é uma base de V e calcular a matriz de mudança de B para C CAPÍTULO 4 Transformações Lineares 1 NOÇÕES SOBRE APLICAÇÕES Nos capítulos precedentes nos dedicamos estudando alguns aspectos intrínsecos dos espaços vetoriais finitamente gerados base e dimensão principalmente Neste capítulo nos enfoque será outro trataremos de examinar correspondências entre espaços vetoriais As transformações lineares que definiremos no parágrafo dois constituem o ponto mais importante desse estudo Mas antes fazemos algumas considerações preliminares Definição 1 Dados dois conjuntos U e V ambos não vazios uma aplicação de U em V é uma lei que permite a cada elemento de U estar associado um único elemento de V É desta forma que se lê u pertence ao conjunto U então o elemento associado a u representamos por Fu e se diz imagem de u por F O conjunto U e o domínio e o conjunto V e o contradomínio da aplicação F Para indicar que F é uma aplicação de U em V costumase escrever F U V ou ainda indicando por u um elemento genérico de U u Fu porque por exemplo 1 0 0 ℝ² e não é imagem por F de nenhum elemento u ℝ² o primeiro termo da cada imagem é zero O fato de F ser linear e o fato de o ser o vetor nulo de U dãi F0 F0 0 F0 F0 Comparando os resultados obtidos tiramos F0 0 F0 F0 Somando F0 a ambos os membros desta última igualdade chegaremos a que 0 F0 Sejam U e V espaços vetoriais sobre R e consideremos uma transformação linear F U V Valem as seguintes propriedades para F P₁ Fαu αFu α R u U EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Quais das seguintes aplicações de ℝ² em ℝ³ são operadores lineares a Fx y x y x y 0 b Fx y 2x y x 0 0 c Fx y x y x d Fx y x² 3xy 0 2 Seja F ℝ³ ℝ² que é um operador linear assim definido na base canônica P1 0 0 2 P0 1 5 7 P0 0 2 0 Determinar Fx y Fx y e um vetor referido ao 3 Consideremos o espaço vetorial B sobre ℝ e seja F C C tal que F0 1 x C Mostre que F é um operador linear Se invertesmo considerando o espaço vetorial C sobre C esta ainda sim um operador linear 4 Verifique se os operadores lineares no espaço PR são P Fℝ ℝ que F0 0 e Fx Fxx 5 Existe um operador linear F ℝ² ℝ³ dado por P1 1 2 1 1 2 e P0 0 0 0 5 6 Quais das aplicações definidas abaixo são a F0 u 0 0 1 0 b Fx 1 0 1 1 c F0 0 1 1 d F0 x 0 0 0 7 Sejam U e V subespaços de um espaço W tais que W U V Sejam P F a aplicação de W em U 8 Prove que F é sobrejetora é injetora bijetora 9 Seja A uma matriz fixa de MR Mostrar que F MR dada por FX XA AX com A R e B que é F 10 Seja F U V uma transformação linear com a seguinte propriedades de u₁ uₑ uma base de U então Fu₁ Fuₑ é linearmente independente em V Provar que F é injetora 3 NÚCLEO E IMAGEM Definição 6 Sejam U e V espaços vetoriais sobre ℝ e F U V uma transformação linear Indicase por KerF e denominase núcleo de F o seguinte subconjunto de U KerF u U Fu 0 Exemplo Seja F ℝ² ℝ³ a transformação linear dada por Fx y 0 x y 0 Achamos o núcleo de F Temos x y KerF 0 x y x y 0 Logo KerF x x x ℝ Proposição 1 Seja F U V uma transformação linear Então a KerF é um subespaço vetorial de U b A transformação linear F é injetora se e somente se KerF 0 É possível estabelecer uma caracterização para os isomorfismos entre espaços vetoriais de dimensão finita em termos de dimensão O lema a seguir nos levará a isso EXERCÍCIOS RESOLVIDOS A aplicação linear F ℝ² ℝ² dada por Fx y 1 0 F0 1 0 0 F0 0 1 1 é um automorfismo 12 Consideremos um espaço vetorial Rn a1 a2 an ai R a Mostrar que a transformação linear T Rn Rn dada por Ta1 a2 0 a2 é injetora mas não sobrejetora b Mostrar que a transformação linear F Rn Rn definida por Fa1 a2 a1 a2 é sobrejetora mas não injetora c Encontrar uma aplicação linear injetora de Rn em Rn CAPÍTULO 5 Matriz de uma Transformação Linear 1 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES Sejam U e V espaços vetoriais sobre R Indicaremos por LU V daqui para frente o conjunto das transformações lineares de U em V Se U e V o conjunto dos operadores lineares de U será denotado por LU V Vamos a seguir introduzir a operação de adição em LU V Definição 3 Sejam U V e W espaços vetoriais sobre R Se F U V e G V W são transformações lineares definese a aplicação composta de F e G notação G o F da seguinte maneira G o F U W e G o Fu GFu u U 3 Consideremos F G e LR2 definidos por Fx y x y x e Gx y x 0 Determinar a F G b FOG c G F d F2 e G2 Solução a H F Gx y H0 Gx y H0 x HGx y b H Fx y HFx y Hx y x x y x 5 Sejam F G e LR2 definidos por Fx y x y e Gx y x y x e Hx y 0 0 determinar a F G b G F c F G2 Definição 4 A matriz m x n sobre R