Provas - Álgebra Linear Avançada Imecc- Unicamp

MM719 - Exame de Qualificação – 12/03/2021 Nome: Turma: RA: Atenção: Respostas que não estejam acompanhadas de argumentos que as justifiquem serão des- consideradas! 1) (15 pt.) Dada a seguinte matriz ( 2 0 1 -3 ) A = ( 0 2 0 6 ) ( 0 0 2 0 ) ( 0 0 0 3 ) Encontre a forma de Jordan de A e uma base de Jordan para a mesma. 2) (20 pt.) Seja V um espaço vetorial sobre Q com dim(V) < ∞ e seja T : V → V uma transformação linear tal que T² = -Id. Suponha que V contenha um subespaço T-invariante W que seja próprio e não nulo. (a) Ache o polinômio mínimo de T (b) Demonstre que a menor possível dimensão tal espaço tem ser ser 4. 3) (15 pt.) Seja T : V → V um operador Q-linear injetor, dim(V) < ∞, e β = {v1, ... , vn} ⊆ Base(V) não degenerada tal que Im(T) seja não degenerado. Demonstre que T|Im(T) : V → V é um isomorfismo. 4) (20 pt.) Sejam W1 e W2 Q-subespaços vetoriais de V com bases α = {v1, ... , vk} ⊆ W1 e β = {w1, ... , wk} ⊆ W2. Demonstre que W1 = W2 se somente se existe c ∈ Q não nulo tal que v1 ∧ v2 ∧ ... ∧ vk = c(w1 ∧ w2 ∧ ... ∧ wk). 5) (30 pt.) Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) Se φ, U é um produto tensorial dos espaços vetoriais V1, ..., Vn, então φ é um mapa sobrejetor. (b) Se v1, ..., vk vetores linearmente independentes de V e w1, ..., wk vetores de W são tais que posto(v1 ⊗ w1 + ... + vk ⊗ wk) = 0, então wi = 0 para todo i = 1, ..., k. (c) Se V1, V2, W1, W2 são F-espaços com dimensão finita e Ti ∈ Hom(Vi, Wi), então posto(T1 ⊗ T2) = posto(T1) + posto(T2). Boa Prova! EQM Álgebra Linear 17 de julho de 2019 Nome: R.A: Exercício 1. (4pt) Considerando as afirmações abaixo, responda falso ou ver- dadeiro, dando uma justificativa para cada resposta. 1. Todo espaço vetorial é isomorfo ao seu dual. 2. Um isomorfismo entre um espaço V e seu dual V* é equivalente a um pro- duto interno não degenerado (mas não necessariamente positivo definido); 3. Dado um espaço com produto interno (V, g), todo subespaço L ⊂ V possui complemento ortogonal V(L⊥ tal que V = V(L⊥ ⊕ L; 4. O produto tensorial entre dois espaços, V ⊗ W, pode ser visto como o espaço de funcionais bilineares de V* × W*. Exercício 2. (2pt) Mostre que se dois operadores auto-adjuntos comutam então existe uma base que os diagonaliza simultaneamente. Exercício 3. (2pt) Dada a seguinte matriz ( 5 4 2 1 ) A = ( 0 1 -1 -1 ) ( 0 0 1 0 ) ( 0 0 0 3 ) Encontre a forma de Jordan de A e uma base de Jordan para a mesma. Exercício 4. (2pt) Seja V um espaço vetorial de dimensão n, seja Λ^k V a k-ésima potência exterior de V e seja T : V → V uma transformação linear de V*. Explique como definimos uma transformação linear induzida T* : Λ^k V → Λ^k V*. Utilize esta informação para definir, de modo independente de base, o determinante de uma transformação linear. MM719 - IS 2018 - Exame de Qualificação Nome: RA: Escolher itens cujo total de pontos possíveis não ultrapasse 10,5 (existem 12 pontos disponíveis). Salvo menção em contrário, V denota um espaço vetorial sobre um corpo F. Todas as respostas devem ser devidamente justificadas (contas são justificativas). Bom trabalho! 1. Suponha que T seja um operador linear num espaço vetorial real V de dimensão finita cujos fatores invariantes são: f1(t) = (t^2 + 1)^4(t - π)^3, f2(t) = (t^2 - 1)^2(t - π) e f3(t) = (t - 1)(t - π). (a) (0,5) Encontre os polinômios mínimo e característico de T. (b) (0,8) Encontre uma forma canônica de Jordan para T. 2. Seja T : R^4 → R^4 a transformação linear dada por T(x1, x2, x3, x4) = (3x3 + x4, 2x1 + 2x2 + 4x3 + 2x4, x1 + x4, 3x3 - x5). (a) (1,0) Encontre uma base de Jordan com respeito a T. (b) (0,5) Calcule os fatores invariantes de T. (c) (1,0) Descreva todos os subespaços T-invariantes. 3. Seja V o espaço vetorial P2(R) dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e considere as funções fi : V → R, i = 1, 2, 3, dadas por f1(p) = p(0), f2(p) = p'(1), f3(p) = ∫₀¹ p''(t)dt. (a) (0,8) Verifique que fi ∈ V*, para i = 1, 2, 3 e que β = {f1, f2, f3} é base de V*. (b) (0,5) Encontre uma base de V que seja sua dual base. 4. Responda em uma das alternativas abaixo e justifique sua escolha. (a) (0,5) Se V = V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vn, então V* é isomorfo à V1* ⊕ V2* ⊕ ... ⊕ Vn*. (b) (0,5) Se A ∈ M(n, R), existe P ∈ GLn(R) tal que PAP^-1 = A^t. (c) (0,5) Para todo operador linear T em um espaço vetorial real qualquer se tem {f ∈ R|f(T) = 0} ≠ {0}. (d) (0,5) A imagem de uma função multilinear é um subespaço de seu contradomínio. (e) (0,5) Se W é um subespaço de V, todo elemento de W* é a restrição de W de um elemento de V*. 5. Considere a forma quadrática em R3 dada por q(x, y, z) = 2(yz + zx + xy) - (x2 + y2 + z2) e seja φ a forma bilinear simétrica tal que q(v) = φ(v, v). Considere também o operador linear T em R3 tal que (Tei, ej) = φ(ei, ej) para quaisquer 1 ≤ i, j ≤ 3 sendo {e1, e2, e3} a base canônica e ( , ) o produto interno usual do R3. (a) (1,0) Encontre base β de R3 com respeito a qual as representações matriciais [T]β e [φ]β de φ sejam diagonais. (b) (0,5) Calcule a assinatura de φ. (c) (0,7) Dê exemplo de uma base γ de R3 tal que |φ|γ é diagonal, mas [T]γ não é diagonal. 6. Sejam V e W espaços vetoriais sobre F. (a) (1,0) Mostre que existe única transformação linear Γ : V ⊗ W → Hom(V*, W) satisfazendo Γ(v ⊗ w)(f) = f(v)w para quaisquer v ∈ V, w ∈ W e f ∈ V*. (b) (1,0) Mostre que, se dim(V) < ∞, Γ é um isomorfismo. Exame de Qualificação, Mestrado Álgebra Linear, 28 de julho de 2017 1. Seja V = M_n(F) o espaço vetorial das matrizes n x n sobre os complexos, definimos tr(A) = a_11 + a_22 + ...+a_nn o traço de A e V. a) (0,5 pt) Mostrar que tr: V -> F é um elemento do espaço dual V* de V. Mostrar que ainda tr(AB) = tr(BA) para quaisquer A, B e V. b) (1 pt) Se f ∈ V* satisfaz f(AB) = f(BA) para quaisquer A, B ∈ V, mostrar que f e tr são linearmente dependentes em V*. c) (0,75 pt) Mostrar que g(A, B) = tr(AB) é uma forma bilinear e simétrica em V. Ela é degenerada? 2. Seja T uma transformação linear no espaço vetorial V = C^4, e suponha que na base canônica ela tem matriz ( 4 -2 -2 1 ) ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 1 -1 ) ( 0 0 0 1 ) a) (1 pt) Encontrar a forma canônica de Jordan J da matriz A. b) (1 pt) Encontrar uma base de V onde a matriz de T seja igual a J. 3. Uma transformação linear P: V -> V no espaço vetorial V é projeção se P^2 = P; uma transformação linear S: V -> V é uma involução se S^2 = I, a identidade. a) (0,5 pt) Assumindo o corpo F = C, mostrar que existe um base de V tal que P é projeção e, se somente se S = I - 2P de P. (A dimensão de V não precisa ser finita!) c) (1 pt) Seja dim V = ∞. Para todo número natural k, mostrar que existem P_1, P_2, ..., P_k, projeções em V, tais que P_iP_j - P_jP_i para quaisquer i ≠ j. 4. Seja V um espaço vetorial real com produto interno e sejam a_1, a_2, ..., a_k ∈ V, o determinante de Gram Γ(a_1, a_2, ..., a_k) é o determinante da matriz k x k que tem na entrada (i, j) o produto interno (a_i, a_j). a) (1 pt) Mostrar que Γ(a_1, a_2, ..., a_k) ≥ 0, com igualdade se e somente se os vetores a_1, a_2, ..., a_k são linearmente dependentes. b) (0,5 pt) Mostrar que Γ(a_1, a_2, ..., a_k) ≤ |a_1||a_2|⋯|a_k|^2. Quais são os casos onde tem-se igualdade? 5. (1 pt) Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre R. Mostrar que existe uma única transformação linear f: V* ⊗ V -> End(V) tal que f(g ⊗ v)(x) = g(x)v para quaisquer g ∈ V*, v, x ∈ V. A transformação f é um isomorfismo? (Justificar!) Álgebra Linear Exame de qualificação Nome: _________________ RA: _________________ Exercícios: 1. Seja ( 7 1 -8 -1 ) A = ( 0 3 0 0 ) . ( 4 2 -5 -1 ) ( 0 -4 0 -1 ) Encontre uma matriz invertível P tal que P^{-1}AP = J seja uma matriz de Jordan. 2. Se f e g sao duas formas quadráticas em x_1, ..., x_n sobre os reais, e f e positiva definida, então podemos reduzir simultaneamente as duas em soma de quadrados? 3. Seja A uma matriz com coeficientes reais. Se pensarmos A com coeficientes complexos, seja A = SJS^{-1}, onde S é invertível e J é a forma canônica de Jordan de A. Prove que o número e o tamanho dos blocos de Jordan de todo autovalor λ de A são iguais aos de ̅ λ, o complexo conjugado de λ. 4. Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita. Prove que Hom(V,W) é canonicamente isomorfo a V* ⊗ W. 5. Seja V espaço vetorial tal que dim(V) = 3 e seja B = {e_1, e_2, e_3} uma sua base. Seja A : V -> V uma transformação linear. Escreva a matriz de A^2 : A^2V -> A^2V com respeito à base e_1Λe_2, e_1Λe_3, e_2Λe_3 de Λ^2V dada a matriz de A com respeito a B. Exame Qualificação - Álgebra Linear - 10/07/2014 Nesta prova ℚ, ℝ e ℂ denotarão respectivamente os números racionais, reais e complexos. Também denotaremos por M_n(K) o conjunto das matrizes n x n com entradas no corpo K. Todas as respostas devem ser justificadas. 1. Responda cada uma das questões abaixo justificando suas respostas com detalhes. a) (5pts) Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e v_1, v_2, v_3 ∈ V \ {0}. A afirmação v_1 ⊗ u = v ⊗ v_2, em V ≠ 0 em V é falsa ou verdadeira? b) (5pts) Sejam V um K-espaço vetorial e W ⊆ V um subespaço não nulo. A afirmação V ⊞ W ≠ V é falsa ou verdadeira? c) (7,5pts) Seja V um R- espaço vetorial com produto interno ⟨., .⟩. Mostre que se ⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩ então T é auto-adjunto. c) (10pts) Seja T : R^3 -> R^4 um operador linear. Suponha que T é simétrico, tem polinômio característico f(x) = (x - 1)(x - 2)^2(x - 3) e o vetor (1, 1, 1, 6) é vetor Hermitiano canônico. Dado o operador linear T : V -> V do espaço vetorial V chega a matriz em relação a base α = {(1, i), (1, 2i)} é A = ( 0 2 ) . Pergunta: Se T é operador ( 0 2-β ) d) (5pts) Seja V = C^m com produto Hermitiano canônico ⟨.,.⟩. Mostre que o único operador autoadjunto e idêntico. (Quando T é hermitiano?) 2. Dado s, no R^m, com K-espaço vetorial e T : V -> V em operador linear, usando a segmento 3. a) (7pts) Seja A : V -> V operador linear. Mostre que se ⟨., .⟩ é produto Hermitiano canônico. Dado o operador linear T : V -> V Chega matriz Z em relação a base α = {(1, i), (1, 2i)} e A = ( 0 2 ) . Dê uma matriz ( 0 2-β ) 4. a) (10pts) Sejam K um corpo, V um K-espaço vetorial de dimensão finita n e f, g ∈ V*. Mostre que H : V x V -> K definido por H(u, v) = f(u)g(v) é bilinear. Mais ainda mostre que H é simétrica não nula se e somente se não há nulo e existe a K (0) tal que g = uf (Sugestão: Dada uma base α = {e_1, ..., e_n} trabalha com as igualdades H(e_i, e_j) = H(e_j , e_i) = ̅u_i , ...) b) (10pts) Dada a forma quadrática q(u, v) e seja B o operador linear definido por: q(x,y,z) = ax^2 + by^2 +cz^3. Encontre um matriz ortogonal U de forma que a troca de variáveis ( u ) ( v ) = ( w ) ( x_1 ) ( x_2 ) ( x_3 ) resulte em ax² + bω² + cγ², para convenientes a, b, c ∈ ℝ. Boa Prova Álgebra Linear (MM719)-1S 2010-Exame de Qualificação-Mestrado Nome: RA: 14/12/2009 Escolher questões cujo total de pontos possíveis seja 100. Respostas sem justificativas serão desconsideradas. Bom trabalho! 1. Responda se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. (a) (08pts) A matriz \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \) é diagonalizável quando considerada no espaço \(M_3(\mathbb{C})\). (b) (08pts) Para toda transformação linear \(T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n\) temos que \(\text{Nu} T \oplus \text{Im} T = \mathbb{C}^n\). (c) (08pts) Se \(V = \mathbb{R}^3\) com o produto interno usual, então existe um operador linear auto-adjunto \(T : V \rightarrow V\) satisfazendo \(T(0, 1, 1) = (0, 1, 1) \) e \( T(1, 2, 3) = (2, 3, 5)\). (d) (08pts) Para uma matriz nilpotente \(A \in M_n(\mathbb{R})\) temos que \(\text{tr}(A^t A) = 0\), para todo \(t \geq 1\). (e) (08pts) Se uma transformação linear \(T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n\) só tem autovalores reais, então \(T\) é auto-adjunta. (f) (08pts) Se para uma transformação linear em \(T : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n\) valer \(T o = T^t 0 = 0\), onde \(T^t\) é a adjunta de \(T\), então \(T = 0\). (g) (08pts) Se \(V\) é um \(C\)-espaço vetorial e \(u \in V\) é um vetor não nulo, então a aplicação linear \(T_u : V \rightarrow V\) é definida por \(T_u(v) = u \otimes v\) é injetora. 2. (15pts) Seja \(T : \mathbb{C}^4 \rightarrow \mathbb{C}^4\) uma transformação linear cuja matriz na base canônica é \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \). Encontre uma base de Jordan para \(T\) e a forma canônica de Jordan de \(T\). 3. (15pts) Seja \(f(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\) uma forma quadrática definida sobre \(\mathbb{R}^3\). Encontre uma matriz ortogonal \(U\) de forma que a troca de variáveis \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} = U \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix}\) satisfaça \(f(x_1, x_2, x_3) = ax_1^2 + bx_2^2 + cx_3^2\), para convenientes \(a, b, c \in \mathbb{R}\). 4. (12pts) Seja \(\{T_i : i \in I\}\) um subconjunto de \(\text{End}(V)\) onde \(V\) é um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo algebraicamente fechado \(F\). Suponha que \(T_i T_j = T_j T_i\), para todo \(i, j \in I\). Mostre que existem subespaços \(V_1, \ldots, V_m\) para algum \(m \geq 1\) tais que \(V = \bigoplus_{j=1}^{m} V_j\) e, se \(v \in V_j\) para algum \(j\), então \(v\) é autovetor generalizado de \(T_i\) para todo \(i \in I\). 5. (10pts) Dê um exemplo de espaço vetorial que não é isomorfo ao seu dual. 6. (12pts) Enuncie a propriedade universal do produto tensorial entre dois espaços vetoriais e demonstre a existência e a unicidade de tal produto.