Prova Discursiva Álgebra Linear

Uma combinação linear é expressa a partir de um conjunto de vetores realizando operações como soma e multiplicação, permitindo assim obter novos vetores a por meio de outros vetores. Sejam os vetores u = (2,1,3), v = (1,0,1) e w = (2,1,0) em R3. De acordo com a definição de combinação linear m = au+bv+cw, onde o vetor m = (3,0,9), assinale a alternativa que representa os valores das constantes a, b e c respectivamente. Ocultar opções de resposta A) 2, 5 e 3 B) 3, 6 e 9 C) 2, 3 e -2 Solução: Capítulo 4 – Espaços Vetoriais Euclidianos (página 88 – Combinação Linear) Iniciamos a solução escrevendo os vetores em forma de combinação linear: m = au+bv+cw Substituindo os vetores (3,0,9) = a(2,1,3) + b(1,0,1) + c(2,1,0) Escrevendo em forma de sistema linear {2a+b+2c=3 a + c =0 3a+b =9 Utilizando o método da substituição para a resolução do sistema, isolamos a letra c na segunda linha a + c =0 c = -a Capítulo 4 – Espaços Vetoriais Euclidianos (página 88 – Combinação Linear) Iniciamos a solução escrevendo os vetores em forma de combinação linear: m = au+bv+cw Substituindo os vetores (3,0,9) = a(2,1,3) + b(1,0,1) + c(2,1,0) Escrevendo em forma de sistema linear {2a+b+2c=3 a + c =0 3a+b =9 Utilizando o método da substituição para a resolução do sistema, isolamos a letra c na segunda linha a + c =0 c = -a Determinando os valores de b e c Substituindo em b o valor de a b = 9 - 3a b = 9 - 3(2) b = 9 - 6 b = 3 substituindo em c o valor de a c = -a c = -2 Portanto os valores das constantes a, b e c são: a = 2, b = 3 e c = -2 Determinando os valores de b e c As equações paramétricas da reta são utilizadas para determinar um subespaço gerado, que representa uma reta que passa pela origem. Considerando os vetores v1 = (1,2,0) e v2 = (-2,1,1), assinale a alternativa que representa o valor de m para que o vetor v3 = (1,m,1) pertença ao subespaço gerado. Ocultar opções de resposta A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 10 Comentário GABARITO (Capítulo 4 – Combinação Linear – Página 94) Primeiramente para determinar o valor de m vamos determinar o subespaço gerado entre v1 e v2 (x,y,z) = a(1,2,0) + b(-2,1,1) {x = a - 2b 2a + b = y z = b } Nota-se que b = z Substituindo o valor de b na equação (2) 2a + b = y 2a + z = y 2a = y - z a = (y - z) / 2 Substituindo os valores de a e b na equação (1) a - 2b = x (y - z) / 2 - 2z = x (y - z - 4z) = 2x 2x - y + 5z = 0 Para determinar m basta substituir o vetor no subespaço vetorial gerado 2x - y + 5z = 0 2(1) - m + 5(1) = 0 2 - m + 5 = 0 7 - m = 0 m = 7 Logo o valor de m para que o vetor v3 = (1,m,1) pertença ao subespaço gerado é 7. Seja V um espaço vetorial, ou seja, os oito axiomas foram testados e W é um subconjunto de V. Uma vez que o subconjunto W pertence a V , os axiomas válidos para V também são válidos para W . Sabe-se que um subconjunto W , não vazio, é um subespaço de V quando u + v \in W e com \alpha \in R, u \in W temos \alpha u \in W . Dados os subconjuntos abaixo, assinale a alternativa que representa um subespaço vetorial do R² relativo às operações de adição e multiplicação por escalar usuais. A W = {(x, y) \in R² | y = \sqrt{x}} B W = {(x, y) \in R² | y = 5x} C W = {(x, y) \in R² | y = 2x + 1} D W = {(x, y) \in R² | y = |x|} E W = {(x, y) \in R² | y = x} Comentários GABARITO (Capítulo 4 – Subespaços Vetoriais – Página 83) Considerando os vetores u = (x_1, y_1) e v = (x_2, y_2), analisamos as alternativas, a única que atende as duas condições é o subespaço W = {(x, y) \in R² | y = 5x} , pois: Para o subespaço W = {(x, y) \in R² | y = 5x} , então temos os vetores u = (x_1, 5x_1) e v = (x_2, 5x_2) i. u + v \in W \rightarrow (x_1,5x_1) + (x_2,5x_2) = (x_1 + x_2,5x_1 + 5x_2) = (x_1 + x_2, 5(x_1 + x_2)) ii. \alpha u \in W \alpha u = \alpha(x_1,5x_1) = (\alpha x_1, 5\alpha x_1) Logo é um subespaço vetorial, pois as duas condições foram aceitas As transformações lineares possuem os elementos de domínio, contradomínio e imagem, assim como as funções com números reais. O núcleo de uma transformação linear é todo vetor v do domínio que, quando aplicada a transformação linear, leva a um vetor nulo do contradomínio. Assinale a alternativa que apresenta o núcleo da transformação linear dada por: T : R³ \rightarrow R² , T(x, y, z) = (2x + y, x - z) A ker T = {(x, 2x) \in R² | x \in R } B ker T = {(y, y) \in R² | y \in R } C ker T = {(2z, -z) \in R² | z \in R } D ker T = {(-z, z) \in R² | z \in R } E ker T = {(-x, -x) \in R² | x \in R } Comentários GABARITO (Capítulo 5 – Combinação Linear – Página 144) Para determinar o núcleo da transformação linear, escrevemos: (2x + y , x - z) = (0, 0) {2x + y + z = 0 (1) {y - z = 0 (2) {1) x = -z \quad (2) y = z Portanto ker T = {(-z, z) \in R | z \in R } = {z(-1, 1) | z \in R } Pergunta 5 Para determinar um novo vetor a partir de outros vetores que pertença ao mesmo espaço vetorial V, usamos o conceito de combinação linear. Consideramos os vetores u = (2,3), v = (-2,4) e w = (8,5) pertencente ao espaço vetorial V, sabendo-se que w é uma combinação linear de u e v , assinale a alternativa que determina os escalares dessa combinação linear. A 2 e 1 B 3 e -1 C -2 e 2 D 5 e 2 Comentários GABARITO (Capítulo 4 – Combinação Linear – Página 88) Escrevendo em forma de combinação linear os vetores u , v e w , temos w = a u + b v (8,5) = a( 2,3) + b( -2,4) (8,5) = (2a, 3a) + (-2b, 4b) (8,5) = (2a - 2b, 3a + 4b) Reescrevendo em forma de sistema de equações {2a - 2b = 8 \times (2) {3a + 4b = 5 \rightarrow {4a - 4b = 16 {3a + 4b = 5 7a = 21 \therefore a = 3 3a + 4b = 5 3(3) + 4b = 5 9 + 4b = 5 4b = 5 - 9 4b = -4 b = -1 Logo os escalares são a = 3 e b = -1. Em muitos momentos na matemática é importante que ao determinar uma base de um espaço vetorial V, obtenha-se o menor conjunto de vetores no espaço, representando completamente V. Com base nos conceitos de Base de um espaço vetorial V, avalia as afirmativas: I) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, o conjunto de vetores devem ser LI. II) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, o conjunto de vetores devem ser LD. III) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, o conjunto de vetores devem ser geradores do espaço vetorial IV) Para que seja uma base de um espaço vetorial V, os autovalores devem ser distintos. É correto o que se afirmar apenas em: A) Apenas as afirmativas I e IV são verdadeiras. B) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. C) Apenas as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. D) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. E) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. Comentários Solução: Capítulo 4 – Espaços Vetoriais Euclidianos (página 113 – Base e Dimensão) Para determinação de uma base de um espaço vetorial V é necessário que o conjunto de vetores sejam Lineamente Independentes e que gera o conjunto de vetores. Portanto apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. Pergunta 7 Para que seja possível determinar uma base de um espaço vetorial V, o qual nos proporciona o menor conjunto de vetores, é necessário que esse conjunto seja lineamente independente. Utilizando os conceitos de dependência e independência linear, avalie as afirmativas: I. O conjunto de vetores {[2,1,1], [1,−2,−1]} são lineamente independentes II. O conjunto de vetores {[1,1,0], [−1,0,1], [0,0,0]} são lineamente dependentes III. O conjunto de vetores {[2,1,1], [−1,2,1], [1,−2,−1]} são lineamente dependentes IV. O conjunto de vetores {[2,1,−3], [4,6,−2], [4,2,−6]} são lineamente independentes É correto o que se afirma em: A) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras B) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras C) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras D) Apenas as afirmativas II, III e IV são verdadeiras E) Apenas as afirmativas II e III são verdadeira Comentários GABARITO (Capítulo 4 – Combinação Linear – Página 100) Analisando cada uma das afirmativas, temos: I. O conjunto de vetores {[2,1,1], [1,−2,−1]} são lineamente independentes Falso, pois o número de equações é menor que o número de variáveis. II. O conjunto de vetores {[1,1,0], [−1,0,1], [0,0,0]} são lineamente dependentes Verdadeiro, pois todo conjunto de vetores que possui o vetor nulo é lineamente dependente. III. O conjunto de vetores {[2,1,1], [−1,2,1], [1,−2,−1]} são lineamente dependentes Verdadeiro, pois o segundo vetor é múltiplo escalar do terceiro vetor. IV. O conjunto de vetores {[2,1,−3], [4,6,−2], [4,2,−6]} são lineamente independentes Falso, o conjunto de vetores são lineamente dependentes, pois o primeiro vetor é múltiplo escalar do terceiro vetor. Logos as afirmativas verdadeiras são II e III apenas. Pergunta 8 Um engenheiro mecânico está desenvolvendo um projeto que consiste fazer em um robô faça a revisão de uma máquina de produção de peças, para isso foi necessário desenvolver um software que calcula basicamente todos os ajustes a serem feitos na máquina a partir de uma transformação linear. Toda vez que a soma dos autovalores for zero, o robô indica que a máquina não apresentava defeito e toda vez que a soma dos autovalores for diferente de zero, a máquina precisava de manutenção. Se em um certo dia, os dados inseridos no software foi: 𝑇: ℝ² → ℝ², 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (−𝑥 + 4𝑦, 2𝑥−𝑦) Podemos afirmar que: I. Nada se pode concluir II. A máquina precisa de manutenção III. A máquina não precisa de manutenção IV. Os autovalores são: 𝜆₁ = 2 e 𝜆₂ = 2 V. Os autovalores são: 𝜆₁ = 3 e 𝜆₂ = −5 É correto o que se afirma em: A) Apenas a afirmativa II está correta. B) Apenas a afirmativa I está correta. C) Apenas as afirmativas II e V estão corretas. D) Apenas as afirmativas II e IV estão corretas. E) Apenas a afirmativa III está correta.