Avaliação Final de Geometria Analítica Vetorial - Exercícios Resolvidos

UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA VETORIAL PROFESSOR LEANDRO SILVA BITTENCOURT ALUNOA AVALIAÇÃO FINAL 1 Seja ABC um triângulo qualquer Prove que se X é um ponto pertencente ao lado AB então CX 1 CA CB onde é um escalar tal que 0 1 α α α α DICA Se X pertence a AB então AX é múltiplo de AB Use também que CA AB CB 2 Seja ABCD um tetraedro regular Sejam M e N os pontos médios de AB e CD respectivamente Prove que MN é perpendicular a AB e CD DICA Primeiramente obtenha o vetor MN em função de AB AC e AD depois verifique que MN AB 0 e MN CD 0 3 Sejam v1 1 2 2 v2 1 0 1 v3 1 1 1 vetores de uma base Obtenha uma nova base a partir de v1 v2 v3 formada pelos seguintes vetores u1 versor de v1 u2 versor da diferença v2 proju1 v2 u3 versor da diferença v3 proju1 v3 proju2 v3 e verifique que a base u1 u2 u3 assim obtida é ortonormal DICA Basta aplicar as fórmulas de versor e de considerando os dados e 𝑣 𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑢𝑣 𝑣𝑢 𝑢² 𝑢 as relações que definem u1 u2 u3 4 Seja i j k uma base ortonormal e v um vetor qualquer Prove que vi² vj² vk² 2v² DICA Considere v ai bj ck onde a b c são as coordenadas de v e utilize as relações de produto vetorial envolvendo i j k Lembrese também de que para qualquer vetor u temse u² u u Escreva então as normas como produto escalar e desenvolva o primeiro membro da igualdade 5 Sejam u v w vetores quaisquer Prove que u u u v u w u v w² v u v v v w w u w v w w e aplique essa igualdade para obter o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u v w no caso em que u 2 v 3 w 4 anguv 30 angvw 45 anguw 60 DICA Considere u a b c v d e f w m n p em uma base ortonormal Nesse caso o produto misto u v w é o determinante da matriz cujas linhas são as coordenadas de u v w que também é o determinante da matriz transposta cujas colunas são as coordenadas de u v w A igualdade do enunciado segue diretamente da propriedade que diz que o produto dos determinantes de duas matrizes é igual ao determinante do produto das duas matrizes Lembrese de como era feita a operação de produto de matrizes em Álgebra Matricial Se X pertence a AB então AX é múltiplo de AB ou seja AX α AB para algum α R com 0 α 1 Além disso como CA AB CB AB CB CA Ainda veja que CA AX CX como AX α AB CA α AB CX e como AB CB CA temos que CA α AB CA α CB CA CA α CB α CA 1 α CA α CB Portanto CX 1 α CA α CB para algum α R com 0 α 1 Seja ABCD um tetraedro regular ou seja AB AC AD CD BC BD l Além disso com N ponto médio de CD e M ponto médio de AB temos CN 12 CD e AM 12 AB Ainda veja que AC CN AN e que AM MN AN Daí AC CN AM MN MN AC CN AM AC 12 CD 12 AB ou seja MN AC CD2 AB2 Dados v1 e v2 vetores temos que v1 v2 v1 v2 cos θ onde θ é o ângulo formado por v1 e v2 Como cada face do tetraedro é regular temos que θ π3 é o ângulo entre Ainda AC CD AD CD AD AC Logo MN AC AD2 AC2 AB2 MN AC2 AD2 AB2 Logo MN AB 12 AC AB AD AB AB AB 12 l l 12 l l 12 l² 12 l²2 l²2 l² 0 Logo MN é perpendicular a AB Como AB BC AC AB AC BC Logo MN AC CD2 AC2 BC2 MN 12 AC CD BC MN 12 CA CD CB Daí MN CD 12 CA CD CD CD CB CD 12 l l 12 l² l l 12 12 l22 l2 l22 0 logo MN e perpendicular a CD 3 V₁ 1 2 2 Va 1 0 1 V₃ 1 1 1 Como projᵤ v vu uu u Então U₁ 1144 1 2 2 13 1 2 2 13 23 23 ou seja U₁ 13 23 23 v₂ projᵤ₁ v₂ v₂ u₁ v₂ u₁ 2 u₁ 1 0 1 13 23 19 49 49 13 23 23 1 0 1 13 23 23 23 23 13 Como v₂ projᵤ₁ v₂ 49 49 1912 1 Digitalizado com CamScanner Logo U₂ 23 23 13 v₃ projᵤ₁ v₃ projᵤ₂ v₃ v₃ v₃ u₁ u₁ u₁ v₃ u₂ u₂ u₂ 1 1 1 13 23 23 1 13 23 23 23 23 13 1 23 23 13 1 1 1 53 13 23 23 13 23 23 13 1 1 1 59 109 109 29 29 19 29 19 29 Veja que 29 19 29 481 181 48112 98112 39 13 logo U₃ 3 29 19 29 U₃ 23 13 23 Digitalizado com CamScanner Veja que U₁ U₂ 13 23 23 23 23 13 29 49 29 0 U₁ U₃ 13 23 23 23 13 23 29 29 49 0 U₂ U₃ 23 23 13 23 13 23 49 29 29 0 logo U₁ U₂ U₃ e uma base ortonormal Digitalizado com CamScanner Seja i j k uma base ortonormal e V a i b j c k um vetor qualquer Daí V i a i b j c k i a i i b j i c k i a 0 b k c j c j b k Daí V i 2 c j b k c j b k c2 b2 V j a i b j c k j a i j b j j c k j a k b 0 c i c i a k Daí V j 2 c i a k c i a k c2 a2 V k a i b j c k k a i k b j k c k k a j b i c 0 b i a j Daí V k 2 b i a j b i a j b2 a2 Ainda como V 2 V V a2 b2 c2 Temos que V i 2 V j 2 V k 2 c2 b2 c2 a2 b2 a2 2 a2 b2 c2 2 V 2 Logo V i V j V k 2 V 2 5 Sejam u a b c v d e f e w m n p em uma base ortonormal i j k como u v w deta b c d e f m n p e u v w deta d m b e n c f p Logo u v w2 deta b c d e f m n p deta d m b e n c f p deta b c d e f m n p a d m b e n c f p a2 b2 c2 ad be cf am bn cp ad be cf d2 e2 f2 dm en fp am bn cp dm en fp m2 n2 p2 Daí veja que uu a² b² c² vv d² e² p² ww m² n² p² vw wv dm en fp uv vu ad be cf uw wu am bn cp Logo u v w² uu uv u w vu vv v w wu wv ww Se u 2 v 3 w 4 angu v 30 angv w 45 angu w 60 então uu u² 4 vv v² 9 ww w² 16 vw wv wvcos45 3422 62 uv vu vucos30 2332 33 uw wu uwcos60 2412 4 Logo u v w² 4 33 4 33 9 62 4 62 16 576 726 726 144 288 432 576 1446 864 1446 288 1446 2 Logo u v w 1446 2 126 2 e é o volume do paralelepipedo