Geometria Analítica: Nota à 2ª Edição

Geometria Analítica NOTA À 2A EDIÇÃO Nesta edição mantivemos o propósito que norteou a la edição tanto no sentido de que o texto seja adequado a estudantes de 1 ano dos cursos da área de Ciências Exa tas como no sentido de nos restringir apenas às idéias fundamentais de Geometria Analítica sem a preocupação de esgotar o assunto Desta forma como na 1 a edição a leitura dos quatro capítulos iniciais requer apenas conhecimentos básicos de Álge bra eGeometria Elementar em nível de 2 grau Somente no Capítulo 5 onde se explorou o conceito de tangência para curvas e superfícies no espaço são necessários alguns conhecimentos de Cálculo Diferencial Novas questões na forma de exercícios propostos foram introduzidas nos Capítu los 3 e 5 O objetivo destas questões é oferecer ao estudante um material que se devi damente trabalhado proporcione uma melhor compreensão dos conceitos apresenta dos no texto e em alguns casos explorar fatos que não foram explicitados Agradecemos a todos os colegas e estudantes que desde o aparecimento da 1 a edição têm nos passado suas críticas e impressões sobre o livro contribuindo assim para que ele se aproxime da experiência de todos que o utilizamos Goiânia agosto de 1995 Os autores PREFÁCIO A idéia de se escrever este livro ocorreu por volta de 1972 A proposta era a de obter um texto de Geometria Analítica adequado aos estudantes dos cursos de Matemática Física e Engenharia recémingressados na Universidade isto é cuja leitura pressupusesse apenas conhecimentos básicos de Álgebra e Geometria Elemen tar em nível colegial De maneira intuitiva e geométrica introduzimos a reta real no Capítulo 1 Em lin guagem vetorial apresentamos a Geometria Analítica no plano nos Capítulos 2 e 3 e no espaço nos Capítulos 4 e 5 No plano iniciamos com sistemas de coordenadas e concluímos com cónicas Além das aplicações geométricas apresentamos várias apli cações à Física especialmente as relacionadas com movimento de partícula e resul tante de forças Para o estudante que esteja cursando Cálculo Diferencial indicamos também as soluções com o emprego de derivadas para o cálculo de velocidade e de tangentes Na obtenção das formas canónicas utilizamos rotação e translação de ei xos No espaço tridimensional Capítulos 4 e 5 estudamos a reta o plano e as super fícies quádricas na forma canónica No Capítulo 6 introduzimos a Geometria Analí tica no plano complexo As várias formas de equações de curvas cartesianas paramétricas complexas e polares são aqui reunidas para destacar as vantagens de umas ou de outras conforme a curva que se esteja estudando No Capítulo 7 apre sentamos o espaço de dimensão quatro Este capítulo faz sentir a necessidade de uma teoria mais sólida para o estudo de espaços de dimensões superiores e serve como uma transição natural para um curso de Álgebra Linear Aliás frisamos que ao introduzir o Cálculo Vetorial neste livro o fizemos com o propósito de enriquecer as técnicas usadas em Geometria Analítica sem preocupações diretas com a Álgebra Linear Finalmente o Capítulo 8 além de sugestões e respostas contém comentários das questões propostas Em nenhum momento tivemos a pretensão de esgotar o assunto Pelo contrário propositadamente procuramos nos restringir às idéias fundamentais e evitar excessos de nomenclatura que poderiam desviar a atenção dos alunos Acreditamos assim que todo o conteúdo do livro pode ser abordado num curso semestral de quatro aulas se manais Por fim não poderíamos deixar de agradecer a todos os colegas e estudantes que direta ou indiretamente contribuíram para a elaboração deste livro Antecipadamente agradecemos também àqueles que nos enviarem críticas construtivas Goiânia novembro de 1993 Os autores SUMÁRIO 1 A RETA 1 11 Números Inteiros 1 12 Números Racionais 1 13 Números Irracionais 3 14 Números Reais 4 15 Valor Absoluto 6 2 O PLANO 15 21 Sistema de Coordenadas 15 22 Distância entre Dois Pontos 16 23 Vetores no Plano 17 24 Operações com Vetores 20 25 Aplicações 22 251 Vetor Deslocamento 22 252 Resultante 24 253 Ponto Médio 26 254 Vetor Unitário 27 26 Produto Escalar e Ângulo entre Vetores 30 27 Projeção de Vetores 34 28 Equações Paramétricas da Reta 40 29 Equação Cartesiana da Reta 42 210 Ângulos entre Retas 46 211 Distância de um Ponto a uma Reta 47 212 Equações da Circunferência 48 3 CÓNICAS 56 31 Elipse 56 32 Hipérbole 63 33 Parábola 69 34 Rotação e Translação de Eixos 72 35 Equação Geral do Segundo Grau 81 36 Definição Unificada das Cónicas 87 4 O ESPAÇO 90 41 Sistema de Coordenadas 90 42 Distância entre Dois Pontos 94 43 Esfera 95 X Sumário 44 Vetores no Espaço 96 45 Produto Vetorial 99 46 Produto Misto 104 47 Equação do Plano 107 48 Equações Paramétricas do Plano 112 49 Equações Paramétricas da Reta 113 410 Interseção de Planos 117 411 Interseção de Retas e Planos 118 412 Interseção de Retas 118 413 Distância de um Ponto a um Plano 119 414 Distância de um Ponto a uma Reta 121 415 Distância entre Retas Reservas 122 5 QUÁDRICAS 127 51 Superfícies de Revolução 127 52 Formas Canónicas 135 53 Curvas no Espaço 153 6 NÚMEROS COMPLEXOS E COORDENADAS POLARES 172 61 Números Complexos 172 62 Geometria Analítica no Plano Complexo 175 63 Coordenadas Polares 180 64 Curvas em Coordenadas Polares 185 7 O ESPAÇO DE QUATRO DIMENSÕES 193 71 O Espaço R4 193 72 A Reta em R 195 73 O Plano em R4 197 74 O Híperplano em R3 198 75 Interseções de Variedades Lineares 199 76 Como Retirar um Ponto de uma Caixa Tridimensional Fechada 199 77 Por Que o Esquema da Seção Anterior Funciona 201 78 A Respeito do Produto Vetorial 201 8 SUGESTÕES E RESPOSTAS 205 BIBLIOGRAFIA 239 ÍNDICE ALFABÉTICO 241 Geometria Analítica CAPÍTULO a RETA 11 NÚMEROS INTEIROS Os números 0 1 2 3 são chamados números naturais O símbolo N será usado para denotar o conjunto dos números naturais Com o símbolo Z indicaremos o conjunto dos números inteiros que são 3 21 0 12 3 Os números inteiros podem ser convenientemente representados por pontos de uma reta como mostra a Figura 11 0 A 3 2 1 0 1 2 3 Fig 11 Nesta figura o ponto O chamado origem foi escolhido arbitrariamente O segmento OA de comprimento arbitrário foi tomado como unidade de comprimento e convencionamos representar os números positivos por pontos à direita de O e os números negativos por pontos à esquerda de O Sempre que usarmos a reta com estas características isto é com uma origem uma unidade de comprimento e um sentido todos arbitrários a indicaremos por R 12 NÚMEROS RACIONAIS Os números que podem ser escritos na forma q 2 Geometria Analítica onde p e q são inteiros eql 0 são chamados números racionais Como 4 3141 1 4 3141 033 1 1000 3 concluímos que 43141033 são todos números racionais Em particular os números intei ros são números racionais Usando o símbolo Q para indicar o conjunto dos números racionais podemos escrever QxxpqeZeqo Os números racionais também podem ser representados por pontos de uma reta A seguir representaremos na reta R da Figura 12 o número racional pq 0 plq A Fig 12 O processo consiste em traçar uma semireta qualquer com origem em O formando com O A um ângulo agudo e nela marcarp e q utilizandose uma unidade de comprimento qualquer Tra çando pelo ponto correspondente a p uma reta paralela à reta determinada pelo ponto A e o ponto correspondente a q onde esta reta intercepta a reta R temos o ponto correspondente ao número plq Se o número pq for negativo pq será positivo e usando o processo anterior podemos marcar sobre a reta R o número pq tomando seu simétrico em relação à origem O temos o ponto sobre R correspondente a pq A Figura 13 mostra os números 3 9 3 5 7 5 representados por pontos na reta 35 A 35 97 V W 1 2 3 R Fig 216 A Reta 3 13 NÚMEROS IRRACIONAIS O comprimento da diagonal de um quadrado cujo lado mede uma unidade é um número que pode ser marcado na reta R como mostra a Figura 14 Pelo teorema de Pitágoras este número é A2 A seguir vamos mostrar que V 2 não é um número racional A prova consiste em supor que A2 seja racional e a partir daí obter uma contradição R 1 0 1 Jl 2 Fig 14 Se v 2 c racional então existe uma fração pq com pq inteiros tal que V2 sendo p e q primos entre si Temos então 2 ou 2 q 2 p 2 q2 Logo p2 é par e portanto p também é par veja o Exercício 13 Conseqüentemente pode mos escrever p 2k sendo k inteiro Temos então 2k2 2q2 ou q2 2k2 Assim vemos que q2 também é par e por conseguinte q é par Resulta que p e q são ambos pares o que contradiz a hipótese de que p e são primos entre si Esta contradição surgiu por se supor V2 racional Logo A2 não é racional Números como A2 nãoracionais são chamados irracionais A partir do número irracional A2 podemos construir uma infinidade de números irracionais Com efeito qualquer que seja o número inteiro n nãonulo n A2 e A 2 In são números irracio nais como facilmente podemos mostrar Realmente se para algum n n A2 ou In fosse raci onal deveríamos ter T P I2 p A 2 O U q n q sendo peq inteiros Se a primeira igualdade acima for verdadeira também o é V 2 A nq 4 Geometria Analítica mas esta igualdade diz que V2 é um número racional o que é falso Igualmente V2 n q também não pode ser pois teríamos 42 q Assim já dispomos de seqüências infinitas de números irracionais a saber 3 A2 2 V2 V 2 2 V23A2 V 2 V 2 A 2 A 2 Na primeira seqüência figuram números irracionais arbitrariamente grandes enquanto que na segunda temos números irracionais arbitrariamente pequenos Outros exemplos clássicos de números irracionais são o tr da Geometria Elementar o número e base dos logaritmos neperianos A3 A6 A2 etc Em geral se um número natural não é um quadrado perfeito suas raízes qua dradas são números irracionais O mesmo argumento usado para mostrar que n A2 é irracional prova a seguinte afirmação O produto de um número racional nãonulo por um irracional é um número irracional veja o Exercício 14 14 NÚMEROS REAIS O conjunto de todos os números racionais e irracionais é chamado conjunto dos números reais e indicado por R Vimos que a cada número racional podemos fazer corresponder um ponto sobre a reta Esta correspondência pode ser feita usandose apenas a régua e o compasso pelo processo descrito anteriormente na Figura 12 Vimos também como marcar um ponto na reta correspondente ao número irracional A2 A Figura 15 mostra como marcar na reta R o ponto corresponden te ao número irracional A3 Fig 216 A Reta 5 Pontos sobre a reta R correspondentes aos números da seqüência 2A23A24A2 ou da seqüência J2 2 A2 3 A2 4 podem facilmente ser marcados a partir do ponto correspon dente a Todavia não dispomos de uma construção geométrica que nos permita marcar so bre R pontos correspondentes aos números irracionais e n e outros e nem de argumentos que nos possibilitem provar que tais pontos existem Isto se dá porque a rigor não definimos núme ro irracional A definição de número irracional bem como sua construção em geral é apresen tada nos livros de Análise Matemática Para os propósitos da Geometria Analítica é suficiente o seguinte resultado que admitiremos como postulado A cada ponto da reta R corresponde um único número racional ou irracional Os números cuja existência é garantida por este postulado são chamados números reais Dizemos que a é um número menor que b se na reta R a estiver à esquerda de b Indicamos isto assim ab R 0 1 a b Fig 16 A notação a b significa que a é um número que está à esquerda de b ou é o próprio b Uti lizase também a notação b a significando o mesmo que a b Com respeito à relação dois fatos merecem ser destacados O primeiro é a compatibilidade dessa relação com a operação de adição a qual pode ser dita assim se a b então a x b x Vx e R Em particular para x b obtemos abé equivalente a b 0 O segundo fato diz que em relação à operação de multiplicação não se comporta tão bem como em relação à adição De fato se ab temos axbx se x 0 e axbx se x 0 Exercícios 11 Justifique a construção feita na Figura lZ 12 Represente na reta R os números V Í A6 3A2 06 e 4A 3 7 13 Demonstre que sep é um número inteiro então ptp1 são ambos pares ou ambos ímpares 14 Se ae b são números racionais e J irracional prove que a a b e ab são racionais b a s e as são irracionais se a 0 15 Dê exemplos de números irracionais j s 2 s 3 j 4 tais que a s s2 seja racional b í 3 j4 seja irracional 6 Geometria Analítica 16 Considere a figura abaixo M M M R Fig 17 a Demonstre que sc M é o ponto médio de AR então m é a média aritmética de a e b b Seja m2 o ponto médio de MtB m3 o ponto médio de M2 B e assim por diante Calcule a soma m a m2 m m3 m2 17 Construa uma seqüência de números irracionais x x2 xl0 satisfazendo 2 JC x10 3 18 Se a e b são números reais positivos mostre que ab 4ab 19 Usando o Exercício 18 mostre que a altura de um triângulo retângulo relativamente à hipotenusa é menor ou igual à metade da hipotenusa 110 A Figura 18 mostra como estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos X do segmento AB e os pontos Y do segmento A B Expresse o comprimento de OK em termos de OX ABeAB 15 VALOR ABSOLUTO Se x é um número real o módulo de x ou valor absoluto de x é o número I x definido por I x I x se x 0 I JC I x sex0 A Reta 7 Exemplo 151 5 e 5 5 5 Geometricamente x pode ser interpretado como sendo a distância do ponto P correspon dente a x à origem O isto é o comprimento do segmento OP Decorrem imediatamente da definição de valor absoluto as seguintes propriedades x 0 x j0jc0 H M Na proposição seguinte estão reunidas outras propriedades importantes do valor absoluto de um número real Proposição 11 Quaisquer que sejam os números reais a bex temse Yab ab 2a b ab 3 SeaÇxciaxa 4 x Vx2 Prova Inicialmente vamos mostrar que x 2x 2 x 2VxeR Sendo x2 0 Vx e R temos que M x 2 pela definição de valor absoluto Resta mostrar que x 2x 2 Se x 0 temos 8 Geometria Analítica e portanto I I2 2 x x se x 0 I X X e portanto I I2 2 x X XL Usando estas propriedades podemos provar a parte 1 da proposição assim ab2 abf a2b2a2b2 ab b Parte 2 a ba b é chamada desigualdade triangular Na sua prova dada a seguir faremos uso do fato x x Vx e R Temos ab2 ab2 a2b22aba2 b22aba b2 Ou seja a b2 ab donde obtemos a bab Parte 3 Suponhamos que x a Se x 0 temos xx a Sendox 0 é claro quex a de modo que neste caso axa Se x 0 então x a e x x I a A Reta 9 Mas x a é equivalente a x a de modo que ax a Portanto provamos que xaaxa Para provarmos a recíproca também distinguiremos os casos x 0 e x 0 Suponhamos que a x a Esta dupla desigualdade pode ser desdobrada em x a e x a Se x 0 j x j x ea primeira desigualdade nos dá x a Se x 0 x x e da segunda desigualdade temos x a Logo axaxa O segmento destacado na Figura 19 representa o intervalo de variação de x a 0 Fig 19 Parte 4 Antes de provarmos esta parte faremos uma observação sobre o símbolo Vx sen do x um número positivo É comum usar Vx para indicar uma das raízes de x sem especificar qual delas ou seja colocar Vx r x Tal notação pode conduzir a uma contradição senão vejamos usando a fórmula v V x temos J y 3 e 32 3 10 Geometria Analítica Naprimeira temosx3ena segundax 3 Mas Logo 3 3 contradição Para evitar este fato usaremos sistematicamente o símbolo Vx para indicar a raiz quadrada positiva de x A raiz quadrada negativa de x será indicada por Jx Isto posto vamos à prova de 4 íx2 é a raiz quadrada positiva de x2 isto é é o número positivo cujo quadrado é x2 O núme ro j x satisfaz tais condições ou seja x0 e x 2 x 2 Logo Na parte 2 da Proposição 11 ocorre a igualdade se e somente se a e è forem ambos 0 ou ambos 0 veja o Exercício 111 Na parte 3 podemos evidentemente usar no lugar de e então obtemos x a ax a Dado um número positivo a qualquer que seja o número real x vale somente uma das duas alternativas x a ouxa Como a primeira é equivalente a a x a segue que todo número real x que não satisfaz a condição axa é tal que xa Mas x não satisfaz a condição a xa A Reta 11 se e somente se x a ou x a Desta forma demonstramos o seguinte resultado Proposição 12 Se a ex são números reais e a 0 então xaxa ou xa Na Figura 110 o número x pode ser qualquer um dos pontos das semiretas destacadas a 0 a Fig 110 Exemplo Encontre os valores de x para os quais se tem 13x 418 Solução Fazendose 3x 4 t a desigualdade acima se transforma em 118 que pela parte 3 da proposição 11 é equivalente a 8 í 8 que em termos de x é 8 3x 4 8 Somando 4 a cada membro desta desigualdade temos 1 2 3x 4 Multiplicando cada membro desta desigualdade por 13 obtemos 4 4x 3 que é a resposta Exemplo Encontre todos os valores de x que satisfaçam a desigualdade x2 412 Solução A desigualdade é equivalente a 2 x2 4 2 ou 2 x2 6 12 Geometria Analítica Como x2 x2 a última desigualdade pode ser escrita assim 2xf 6 de onde temos a 2 X A 6 A primeira parte desta dupla desigualdade é equivalente a xV2 ou xJl Figura 111a e a segunda a Sx S Figura 111b Na Figura 111c está indicado o conjunto solução de x2 4 2 que é a interseção do conjunto solução de x com o conjunto solução de x 6 T o a valores de x tais que x sf 2 yZ 0 J6 b valores de x tais que nA6 N 2 0 N2 N6 c valores de x tais que x2 41 2 Fig 111 Usando a notação a b para indicar o intervalo xe R a x b podemos escrever o conjunto solução de x2 412 assim V6n2uV2V6 A Reta 13 Exercícios 111 Mostre que z 6a se e somente se a e b forem ambos 0 ou ambos 0 112 Encontre os valores de x que satisfaçam a cada uma das desigualdades a x21 b X21 c X21 d x1 42 e 32x29 f xlx2 113 Determine b para que se tenha a 2xbQx b 5xb2lxH5 c jfcl34 114 Justifique ou dê contraexemplo para as implicações seguintes a aba2b2 b aba2 b2 c bi d e abab 115 Demonstre que para qualquer número real x se tem a x b jtxjr 116 Demonstre que a a16 b flfc quaisquer que sejam os números a e b 117 Sejam aeb números reais positivos Mostre que a bxaç2x b aa b b 2bx ab2adxa b 118 Encontre os valores de x que satisfaçam as seguintes desigualdades a 3x523 b x l x 3 0 c x2 5x6 d x3 x2 0 14 Geometria Analítica 119 Prove que as raízes quadradas n e n de um número real positivo satisfazem a I r i H k b r1 r2 0 120 Que condições devem satisfazer a e b para que se tenha a bb ai 121 Resolva as seguintes equações a x 2 5 x 6 0 b x2 4x210 c x 1 4JC3 0 d x2 3x2 e x5 l 8 x 3 l x 2 l 0 CAPÍTULO O PLANO 21 SISTEMA DE COORDENADAS Consideremos o plano definido pelo par de retas perpendiculares x e y tal como mostra a Figura 21 Tomemos a unidade O A igual à OA e seja P um ponto qualquer do plano Por P podemos traçar uma única paralela x à reta x e uma única paralela v à reta y Como se vê estas paralelas interceptam as retas x e y respectivamente nos pontos Px e P Seja x o número correspondente ao ponto Px e y o número correspondente a Py Estes dois números xey deter minam o ponto P no seguinte sentido conhecendo xey podemos determinar os pontos Px e P e traçar as paralelas x e y A interseção destas paralelas é o ponto P Os números xey são chamados respectivamente abscissa e ordenada do ponto P eles constituem as coordenadas de P Para indicar que o ponto P tem abscissa x e ordenada y usamos a notação Px y y y py i i 1 x A 1 1 i i i i i i i i 0 A px Fig 21 A construção que acabamos de fazer nos permite estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e o conjunto de pares ordenados de números reais x y 16 Geometria Analítica Na prática é comum omitiremse vários elementos que aparecem na Figura 21 deixandoos apenas subentendidos para se obter uma figura mais simples como a 22 Pxy Fig 22 22 DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam Pxt v e Qx2 y2 dois pontos do plano Como mostra a Figura 23 a partir de P e Q podemos construir o triângulo retângulo PSQ Em termos das coordenadas dc P e Q as medidas dos catetos deste triângulo são r x21 e v v Logo a medida de sua hipotenusa é 2 2 2 Este número é chamado distância d e P a g e indicado por dPQ isto é por definição dPQ x2 f y2 f Fig 216 O Plano 17 Exercícios 21 a Construa um sistema de coordenadas de modo que na Figura 24 se tenha P5 2 e 24 1 b Determine dP Q c dP 2 depende do sistema de coordenadas Observação Tome a unidade sobre os eixos igual a distância comum entre as paralelas da figura Fig 24 22 Um campo de futebol tem 60 m de comprimento por 40 m de largura Construa um sistema de coordenadas e dê as coordenadas dos seguintes pontos a dos quatro cantos do campo b do centro do campo 23 VETORES NO PLANO Vimos na seção anterior que a cada par ordenado x y corresponde um ponto no plano Se x y 0 0 além do ponto podemos também fazer corresponder ao par x v uma seta como mostra a Figura 25 Assim um par ordenado x y 0 0 pode ser representado graficamente por um ponto ou por uma seta Quando utilizamos seta para representar x y podemos asso ciar a este par ordenado direção sentido e módulo A direção e o sentido do par x y são res pectivamente a direção e o sentido da seta que o representa O módulo do par x y é o núme ro 1 X2 y2 que é o comprimento da seta 18 Geometria Analítica Fig25 Em geral um objeto ao qual se pode associar os conceitos de direção sentido e módulo é chamado um vetor Assim um par ordenado é um vetor Por exemplo v 3 4 é um vetor A direção deste vetor é a direção da seta da Figura 26a ou seja é a direção da reta definida pelos pontos 000 e P34 O sentido de v é o de O para P e o módulo de v é o com primento da seta OP ou seja é V32 42 5 Inversamente uma seta no plano como a da Figura 26b que pode ser imaginada como uma força de intensidade igual a 4 unidades aplicada ao ponto O pode ser perfeitamente carac terizada por um par ordenado No caso da seta F da Figura 26b o par ordenado é 4 cos 304 sen 30 232 Portanto dar este par ordenado equivale a dar a direção o sentido e o módulo de F como se faz em Física Ao par ordenado 0 0 não se podem associar os conceitos de direção e sentido como no exemplo anterior Contudo O 0 0 é chamado vetor nulo O Plano 19 U y p F O x O x a Fig 26 b Há casos em que representamos graficamente umvetor por uma seta que não parte necessa riamente da origem Por exemplo os pontos Axly e Bx2y2 determinam o vetor Como mostra a Figura 27 a seta que representa o vetor AB partindo da origem e a seta com origem em A e extremidade em B têm o mesmo módulo direção e sentido Conforme a con veniência utilizamos uma ou outra para representar o vetor AB O movimento de uma partícula no plano é outra situação que ilustra a representação gráfica de um vetor por uma seta que não parte da origem Neste caso representamos o vetor posição P da partícula num determinado instante por uma seta que parte da origem e o vetor velocidade v por uma seta tangente à trajetória da partícula e com ponto inicial no lugar onde ela se encon tra naquele instante Veja a Figura 28 ABx2y2xlyl x2 xvy2 y j y B y2 y X Fig 27 20 Geometria Analítica Do que foi dito concluise que para representar graficamente um vetor usase uma seta O lugar onde esta seta é colocada depende do problema que está sendo considerado 24 OPERAÇÕES COM VETORES Sejam u xx v x2 y2 e k R Definimos a u v x x2 y y2 b ku kxu ky A operação que a cada par de vetores u e v faz corresponder o vetor u v definido acima chamase adição de vetores A lei de composição que ao par keu onde k é um número e u um vetor faz corresponder o vetor ku definido acima é chamada multiplicação de um vetor por um número A adição de vetores satisfaz as seguintes propriedades u v e w são vetores quaisquer A u v v u At U V H U V W A u O u onde O 00 é o vetor nulo Se ki e k2 são números reais quaisquer verificamse para multiplicação de um vetor por um número as propriedades Mx ku v klu v M2 kj k2u k ú k2 u M3 k k2 u k k2 u M4 lu ue0u 0 O Plano 21 Na propriedade M4 o primeiro zero da igualdade é o número zero e o segundo é o vetor nulo 00 As propriedades A A2 A3 M M2 M3 eM4 são conseqüências imediatas das definições dadas Sugerimos ao leitor demonstrálas O vetor IM é indicado por u e chamado o oposto de u Também indicamos v u por v u Na Figura 29 está representado um vetor u e seu oposto u Fig 29 O vetor ku tem a mesma direção de u isto éueku são representados por setas paralelas Se k 0 os sentidos de u e ku coincidem Se k 0 o sentido âzkuéo oposto de u Além disso os módulos dtueku estão relacionados por INI 11114 onde a barra dupla indica módulo de vetor e a simples módulo de números reais De fato se u x y então ku kx ky e jfcM 4kx2 ky2 4k2x2 y2 JFjx2y2 M Para representar graficamente o vetor u v fazemos a construção indicada na Figura 210 A seta que representa u v é uma das diagonais do paralelogramo cujos lados são as setas Fig 224 22 Geometria Analítica que representam uev Veja no Exercício 23 uma indicação de como justificar esta representa ção Proposição 21 Sejam uev vetores e k um número real Então a ku 0 k 0 ou u 0 b m 0 e 0 o u 0 c M v M M Prova S eu x y então ku 06 o mesmo que fcc ky 0 0 Mas isto significa que kx 0 e ky 0 Se k 0 dividindo ambos os membros das igualdades acima por k obtemos x 0 e y 0 e portanto u 0 Se u 0 então x 0 ou v í 0 c das igualdades acima obtemos k 0 Parte b Ml yjx y2 0 M 0 sjx2 y2 0 x 0w 0 A parte c desta proposição é chamada desigualdade triangular Ela expressa o conhecido fato da Geometria Elementar de que em um triângulo a soma dos comprimentos de dois lados excede ao comprimento do terceiro lado Sua prova será dada depois que introduzirmos o con ceito de produto escalar na Seção 26 25 APLICAÇÕES 251 Vetor Deslocamento Se uma partícula movese de um ponto Ax y para um ponto Bx y2 o vetor AB x2 xiy2 é chamado vetor deslocamento da partícula A curva da Figura 211a indica a trajetória de uma partícula do ponto A ao ponto B O vetor deslocamento da partícula está indicado pela seta de A a B O Plano 23 a b Fig 211 Suponhamos que uma partícula movase do ponto Ax y para o ponto Bx2 y2 e depois para Cx3 y3 Veja a Figura 21 lb Então o vetor deslocamento total da partícula é AC x3 xy3 y Por outro lado somandose os vetores deslocamento parciais ÃB x2 y e BC x3 x2v3 obtemos ABBC x2 xy2 y x3 x2y3 y2 AC isto é o deslocamento total é a soma dos deslocamentos parciais Em geral se A B e C são três pontos quaisquer do plano veja a Figura 212 então AC AB BC Fig 2 2 4 24 Geometria Analítica Exemplo Um carro movese em linha reta 5 km na direção norte e em seguida também em linha reta 5 km na direção leste Qual foi o deslocamento do carro Solução Consideramos na Figura 213 um sistema de coordenadas com origem no ponto de partida do carro e os eixos y e x respectivamente nas direções norte e leste Em relação ao sistema acima as coordenadas dos pontos O A e B são 00 0A0 5 555 Fig 213 Logo o deslocamento do carro é ÔB 5 0 5 0 5 5 ou seja 52km aproximadamente 707 km na direção nordeste pois ojj 5JI e OB faz com a direção leste um ângulo de 45 252 Resultante Na Figura 214a estão representadas duas forças F e F2 respectivamente de 5 kgfe 3 kgf atuando em um ponto de uma barra A resultante de F e F2 é a força F F F2 Para calcular F escolhemos um sistema de coordenadas e decompomos F e F2 como mostra a Figura 214b As componentes de F são V3 x 5 cos 30 5 1 i5 sen 30 5 O Plano 25 Fig 214 e as de F são x2 3 cos 45 3 V2 J2 y 3 sen 45 3 2 Portanto Logo a resultante é F FlF2 F 5J3 5 2 e F2 3 J l 3sf 2 2 2 2 2 2 2 Calculando o módulo de F encontramos F 1 1 3 6 3 0 2 que é aproximadamente igual a 512 A tangente do ângulo que F faz com a barra o eixo x é dada por 53V2 5 7 3 3 2 26 Geometria Analítica que corresponde a um ângulo de aproximadamente 6427 Portanto como está indicado na Fi gura 214c F é uma força de aproximadamente 512 kgfe sua linha de ação faz com a barra um ângulo próximo de 6427 Observe que no problema anterior não se conheciam as componentes dos vetores F e F 2 Estas componentes foram calculadas usandose as relações x 11 vil cos 6 y v sen 9 onde v x y e 0é o ângulo entre v e o eixo x como mostra a Figura 215 Fig 215 253 Ponto Médio Cálculo das coordenadas do ponto médio M do segmento AB em função das coordenadas de AQB Sejam Axj BX2 e Mx y Queremos calcular xey em função de x ylx2sy2 Veja a Figura 216 Sendo M o ponto médio de AB temos 2ÃM ÃB Fig 216 O Plano 27 Mas AM xxlyyl e ABx2 xy2 y Logo 2x xy y x2 xt y2 y ou 2x 2x 2y 2y x2 x y2 y donde temos 2x 2xx x2 x e 2y 2y y2 y Explicitando x e y encontramos Portanto M xí x2 y y2 2 2 de modo que as coordenadas do ponto méçlio deAB são as médias aritméticas dascoordenadas de Ae B 254 Vetor Unitário Um vetor de módulo 1 é chamado vetor unitário Por exemplo 2 2 é unitário pois RV í W h V2 v 2 V2 v 2 y 1 Outros exemplos de vetores unitários são 10 v 0 1 v 0 1 W Í 7 2 7 2 i e t c 28 Geometria Analítica No caso geral qualquer que seja o vetor nãonulo v é unitário pois M i Assim para se obter um vetor unitário é suficiente tomar um vetor nãonulo e multiplicálo pelo inverso de seu módulo Exercícios 23 Para justificar a construção feita na Figura 210 mostre que OABCé um paralelogramo ou seja que ÃB ÔC e OA CB 24 Determine x para que se tenha AB CD sendo Ax 1 B4 x 3 Cx x 2 c D2x x 6 25 Determine a extremidade da seta que representa o vetor v 3 7 sabendo que sua origem é o ponto A2 1 26 Dados A2 y e B3 3 determine y para que o módulo do vetor AB seja J5 27 Dado B3 4 e sendo As2 qual é o valor máximo que a primeira coordenada de A pode assu mir E o mínimo 28 Sejam Ax y e Bx2 y2 pontos do plano Demonstre que dA SÃfi 29 Determine vetores u e v tais que Ml2 IMI2 II Hl2 210 Represente graficamente os vetores a u 2v b u c u v d 3u 2v w e u v 2w sendo u 2 3 v 1 4 e w 2 1 211 Dados os vetores u 21 e v 1 3 determine um vetor w tal que a 3u w 2v w 0 1 b 3M w 4v w 5 u 3w 43v 2w 212 Dados os vetores u e v determine os vetores z e w tais que 2u z 3v w u 5u z 2v w v O Plano 29 213 Mostre que se os vetores u e v têm a mesma direção então existe um número k tal que v ku 214 Encontre um vetor a com mesma direção e sentido do vetor 3 4 e módulo igual a 6 b com mesma direção e sentido contrário ao do vetor 1 2 e módulo igual a 5 215 Encontre números k e k2 tais que v kU k2w sendo v 2 3 u 1 2 e w 1 2 216 Dados os pontos A2 3 e B5 4 determine um ponto C tal que AC seja paralelo ao vetor u 2 1 e ÃCÃB 217 Dados Al 1 e B3 5 determine C tal que a ÃC ÃB 2 bÃC ÃB 4 c ÃC ÁB 3 d à C B A 218 Dados os pontos A B e C exprima o vetor CM em função dos vetores CA e CB sendo M a o ponto médio de AB b um ponto de AB tal que 3 AM AB 219 Dados B0 4 e C8 2 determine o vértice A do triângulo ABC sabendo que o ponto médio de AB é Aí3 2 220 Escreva o vetor 7 1 como soma de dois vetores um paralelo ao vetor 1 1 e o outro paralelo ao vetor 11 221 Represente graficamente os vetores da forma 2 4 í3 1 onde t é um número real 222 Dados Al 3 eB2 2 determine z para que a reta definida pelo ponto médio deAB e o ponto Xx 0 seja paralela ao vetor v 1 2 223 Demonstre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade 224 Se ABCD é um quadrilátero eP Q ReS são os pontos médios dos lados AB BC CD e DA respec tivamente prove que PQRS é um paralelogramo 225 Os pontos Al 5 B5 2 e C3 9 são três vértices de um paralelogramo Ache três pontos cada um dos quais podendo ser o seu quarto vértice 226 Calcule a resultante das forças aplicadas ao ponto O da Figura 217a sabendo que HF 3 227 Determine como deve variar o módulo e o sentido de F e F2 isto é por quais constantes se deve mul tiplicar F e F2 para que a resultante destas forças seja F sendo F V3 2 e F2 1 Veja a Figura 217b 228 Num ponto atuam três forças F 3 4 F2 1 2 e F 2 1 a Elas estão em equilíbrio b Mantendo a direção e o sentido de F2 e F3 como podemos modificálas de modo que o sistema fique em equilíbrio 30 Geometria Analítica Fig 217 c E possível colocar o sistema em equilíbrio mantendose F e F3 fixas e variando ape nas o módulo e o sentido de F2 229 Calcule a resultante das forças F F e F3 sabendo que i F 1 e F é horizontal ii F2 F K onde wj 1 e w é perpendicular a F iii F3 F2 m2 onde j2j 1 e u2 é perpendicular a F2 230 Sejam x v e v x2 y2 Demonstre que IMP IMP II v2 2u v onde u v indica o número xx2 vy2 26 PRODUTO ESCALAR E ÂNGULO ENTRE VETORES Definimos o produto escalar dos vetores u x v e v x2 y2 como sendo o número u v xx2 y j Exemplo Se u 2 1 e v 3 5 então uv 2 3 1 5 O símbolo u v deve ser lido assim w escalar v Decorrem imediatamente da definição as seguintes propriedades do produto escalar 1 u u m2 2 u v v u 3 u v w u v u w 4 ku v u kv ku v Nessas propriedades os vetores uvew são quaisquer e k é um número real A demonstração da propriedade 4 pode ser feita como segue Tomamos u x1 ylev x2 y2 Então de acordo com a definição de produto escalar temos ku v fcxx kyly2 u kv xfcc2 yiky2 ku v fexx2 yiy2 O Plano 31 Como kx x2 kyy2 xx2 yxky2 fcxx2 yj segue que ku v m kv ku v A desigualdade que aparece na proposição seguinte é chamada desigualdade de Cauchy Schwarz Proposição 22 Sejam u e v vetores arbitrários Então u v IHi v Prova Inicialmente vamos provar que se w e são vetores unitários então lk z Usando este resultado faremos a prova da desigualdade de CauchySchwarz no caso geral Para provarmos o caso particular n ci 1 observemos que jw z2 w z Z WWWZZW Z Z Ikll2 2w z z2 e que k z2o Logo w2 2w z z2 s 0 ou 2w z h2 z2 Como w2 z2 1 temos 2 w z 2 OU W Z 1 1 Analogamente partindo de k z2 kl 2 2w z z2 s 0 obtemos 1 w z 2 De 1 e 2 temos w z 1 32 Geometria Analítica U v Sejam agora uev vetores arbitrários Se u 0 e v 0 y e O são unitários e portanto valem u v MÍÍW o u 1 R M 1 donde U V s U V Como a desigualdade de CauchySchwarz é verdadeira também para u 0 ou v 0 a prova da proposição está completa A seguir usando a desigualdade de CauchySchwarz vamos definir o ângulo entre dois ve tores Se u e v são vetores nãonulos então e como segue que M v o uv s u v U V que é equivalente a 1 u v 1 M V Estando o número K V entre 1 e 1 existe um único ângulo 6 medido em radianos entre 0 e TT tal que u v cos tf M l IMI Este ângulo por definição é o ângulo entre os vetores u t v F O Plano 33 Exemplo Se u 0 2 e v 3 3 o ângulo 8 entre estes vetores é cos d r q radianos Veia a Figura 218a 2 4 Observe também que a partir da fórmula F podemos escrever u v IH cos0 Em algumas aplicações é mais conveniente calcular o produto escalar utilizando esta fórmula tf Fig 218 Usando a lei dos cosenos podemos mostrar que o ângulo 0 entre os vetores u e v dado pela fórmula cosi u V u V é exatamente o menor ângulo formado pelas setas que representam u e v Figura 218b De fato a lei dos cosenos aplicada ao triângulo cujos lados são as setas que representam u v e u v nos dá v2 utf v2 2u IMI cos d de onde temos cos 6 U F V 2 H V 2INI IMI Mas conforme o Exercício 230 temos IMI2 IMP u vll2 2m v 34 Geometria Analítica de modo que u v cos 8 Como no caso de retas se o ângulo 6 entre dois vetores é TT2 radianos eles são ditos perpen diculares Observe que se u e v são perpendiculares então u v 7 COS 772 0 Mas u VH V 0 implica que u v 0 Logo se u e v são perpendiculares então u v 0 Por outro lado se w0 é v0 são tais que u v 0 então cos 0 0 e portanto u é perpendicular a v Assim para vetores nãonulos temos u é perpendicular a v w v 0 Ainda usando a desigualdade de CauchySchwarz vamos demonstrar a parte c da Proposi ção 21 que é a desigualdade triangular M v v Prova Usando as propriedades do produto escalar temos IIu v2 u v u v uu uv vu vv itp 2u v v2 Mas pela desigualdade de CauchySchwarz uvH iMI de modo que IIU v2 W2 2M V v2 ou M v2M H2 e finalmente u v u v 27 PROJEÇÃO DE VETORES Sejam u j e v x2 y2 vetores não nulos e P a projeção ortogonal do ponto x y sobre a reta definida por 0 0 e x2 y2 Veja a Figura 219 O Plano 35 Se o ângulo 0 entre os vetores u e v for menor que 90 como é o caso da Figura 219 então HNIp e como temos ou ÕP IMI cos6 OP u cose OP u UV V W V V U V V V No caso de o ângulo d entre os vetores u e v ser maior que 90 conforme mostra a Figura 220 com um procedimento análogo ao anterior podemos mostrar que também se tem uv OP v V V Observe também que se 6 90 então OP 0 mas mesmo assim a fórmula wv OP v V V continua válida 36 Geometria Analítica Fig 220 Portanto independentemente do ângulo entre os vetores u e v o vetor OP é dado por uv r vv J Este vetor é chamado projeção de u sobre v e será indicado por P Por exemplo a projeção do vetor u 2 1 sobre v 4 1 é 4 1 141 v 41 41 17 Exemplo a Verifique que o triângulo cujos vértices são A3 3 60 1 e C 1 6 é retângulo em A b Calcule a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC c Determine o pé da altura do triângulo relativo ao vértice A Solução a É suficiente verificar que ÃBÃC 0 Como ÃB32 e ÃC23 temos AB AC 32 23 0 b A projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é o módulo do vetor p i BC O Plano 37 Sendo BA32 e BC 1 5 temos p i S M B C 15 115 5C5C 26 Logo a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC é H 1 1 1 6 II BHI 2 c Seja Px y o pé da altura relativa ao vértice A Então BP PI ou Logo Donde x 0 y 1 11 5 1 1 5 x e v 1 2 2 ÍH Exemplo Calcule o ângulo entre u v e u v sabendo que v 1 e que o ângulo entre u e v é 30 Solução Seja 6 o ângulo entre u v e u v Então u vu v uu vv COS D U vj II v u v u v Mas u u w2 J32 3 V v v2 12 1 Logo 9 cos d iu V u V 38 Geometria Analítica Para calcular jw v e u v procedemos assim u v2 u v u v u u 2u v v v w2 v2 2u v 4 2u v Mas J3 3 Logo u v u jv cos 30 M V2 4 2 7 Portanto u v v7 Procedendo da mesma forma encontramos u v 1 Portanto 2 27 COS0 I V7J 7 A d arccos 2V7 7 Observe que u v e u v são as diagonais do paralelogramo definido pelos vetores u e v Exercícios 231 Sejam u 2 4 e v 3 5 Determine a o produto escalar de u por v b o ângulo entre u e v c Pu v 232 a Dado ô vetor u x y mostre que os vetores v y x e w y x são perpendicu lares a e que u JV H b Faça numa figura a representação dos vetores u v e w 233 a Encontre um vetor de módulo 5 perpendicular ao vetor 21 b Determine o valor de x para que o vetor 2 x2 1 seja perpendicular ao vetor 6 4 234 Dado o triângulo cujos vértices são Al 1 B4 0 e C3 4 determine a os ângulos A B e C b as projeções dos lados AC e BC sobre o lado AB c o pé da altura relativa ao vértice C O Plano 39 d a área do triângulo ABC e a interseção da bissetriz do ângulo B com o lado AC 235 Determine a altura relativa ao lado AD do paralelogramo cujos vértices são A 10 B22 C53 e D4 1 236 Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD sendo A0 1 B4 1 C5 3 e D7 0 237 Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u 2 3 e v 5 1 238 Verifique que os pontos A2 7 B2 6 e C5 6 são os vértices de um triângulo retângu lo 239 Seja u 3 1 Determine as coordenadas de um vetor v de módulo 2 e que faz com u um ângulo 240 Escreva o vetor 7 1 como soma de dois vetores um dos quais é paralelo e o outro é perpendicular ao vetor 1 1 241 Sejam u e v vetores unitários e perpendiculares w au Zv e z au b2v Calcule a Mez b w z c o ângulo entre w e z 242 Sejam u ev vetores distintos Mostre que se u v é perpendicular a u v então u v A que teorema sobre quadriláteros corresponde este resultado 243 Sejam e 1 0 e2 0 1 e w x y Mostre que a w xex ye2 b w w e w e2 244 Calcule o ângulo entre os vetores veie sabendo que e que o ângulo entre u e v é TT8 245 Se u v w 0 j 5 v 6 e jw 7 calcule a u v b u w c v w 246 Se PV U 21 u 4 2 e v 6 determine v 247 Demonstre que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto Sugestão Demonstre que os vetores PA e PB da Figura 221 são perpendiculares 248 Sejam u e v vetores nãonulos Demonstre que u é perpendicular a v P de 30 MIM 5 MI 1 l k v w w v vv u A B Fig 224 40 Geometria Analítica 28 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Seja v a b um vetor nãonulo e Ax0 y0 um ponto do plano Da Geometria Elementar sabemos que existe uma única reta r com a direção de v e que contém A Dizer que r tem a mes ma direção de v significa que dois pontos quaisquer de r determinam um vetor com a mesma direção de v Assim um ponto Px y pertence à reta r se e somente se para algum número real t Ou em termos de coordenadas x x0y y0 ta b Esta equação é equivalente ao sistema de equações X Q d t y yü bt chamadas equações paramétricas de r Exemplo Fig 222 AP tv x2t y 231 O Plano 41 são equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto 1 2 e tem a direção do vetor 2 3 Isto significa que para cada valor do parâmetro t o ponto 1 2t 2 3í pertence à reta r e também que todo ponto de r é da forma 1 2t 2 31 para algum valor de t Exemplo Uma partícula está animada de um movimento tal que no instante t ela se encon tra no ponto x y 2 3t 1 At a Determine sua posição nos instantes r 0 í 1 e t 2 b Determine o instante no qual a partícula atinge o ponto 11 13 c A partícula passa pelo ponto 5 6 d Descreva sua trajetória e Determine sua velocidade no instante t Solução a Como a posição da partícula é dada em função do tempo pov x y 2 31 1 At suas posições nos instantes t0 t e t 2 são respectivamente x v 2 30 1 40 2 1 x 0 2 31 1 41 5 5 x y 2 32 1 42 8 9 b Basta determinar t de modo que 2 3r 1 4í ll 13 ou 2 3í 11 1 4t 13 Logo t 3 pois ambas as equações acima admitem esta solução c Para que a partícula passe pelo ponto 5 6 é necessário que para algum valor de t se tenha 2 3z 1 4í 5 6 o que não ocorre pois as equações 2 3í 5 1 At 6 são incompatíveis isto é não admitem solução comum 42 Geometria Analítica d A equação x y 2 3t 1 4f é equivalente a x 2 3t yA t que são equações paramétricas da reta paralela ao vetor 34 e que contém o ponto 2 1 Logo esta reta é a trajetória da partícula e Vamos determinar a velocidade v da partícula no instante t0 Se no instante t0 a partícula se encontra em P02 310 1 4í0 e no instante t se encontra em P2 3í 1 At o vetor deslocamento no intervalo de tempo At t t0é PQP 2 3t 1 At 2 310 1 At0 t 103 4 A 3 4 Logo pela definição de velocidade temos PoP v lim hm Af34 34 io Ar At Como a velocidade no instante t0 independe de t0 concluímos que a partícula tem velocidade constante Observe que o número v A 32 4 2 5 expressa a velocidade escalar da partícula 29 EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA Vimos na Seção 28 que as equações paramétricas de uma reta r paralela ao vetor nãonulo v a b e que contêm o ponto x0 y0 são dadas por x x0 at y y0 bt Podemos eliminar o parâmetro t destas equações efetuando as seguintes operações multiplican do a primeira equação por b t a segunda por a encontramos bx bx0 bat 1 ay ay0 abt 2 subtraindo 1 de 2 temos ay bx ay bx0 O Plano 43 Observemos que o segundo membro desta equação é constante Chamando esta constante de c obtemos a equação ay bx c que é chamada equação cartesiana da reta r Se a primeira coordenada do vetor v a b é zero isto é a 0 r é paralela ao eixo y como mostra a Figura 223a e sua equação cartesiana reduzse a x x0 Fig 223 Se a 0 podemos dividir a equação cartesiana de r por a e obtermos t c y i a a Fazendo nesta equação ba me ca k temos y mx k Como se vê na Figura 223b b m tgO a 44 Geometria Analítica onde d é o ângulo que r faz com o eixo x O número m é chamado declividade de r A constante k é a ordenada do ponto de interseção de r com o eixo y pois 0 k satisfaz a equação y mx k Resumindo demonstramos o seguinte Se r é uma reta paralela ao eixo y sua equação cartesiana é da forma X e se r não é paralela ao eixo y sua equação é da forma y mx k onde mé a tangente do ângulo que r faz com o eixo x Observe que o vetor 1 m é paralelo à reta r de equação y mx k De fato como lffz f l b V a a 1 m é múltiplo de a b e conseqüentemente tem também a direção de r Exemplo Determine as equações paramétricas e cartesiana da reta r definida pelos pontos 1 5 e 2 7 Solução Como as abscissas dos dois pontos dados são diferentes a reta por eles definida não é paralela ao eixo y Logo sua equação cartesiana é da forma y mx k 1 Para determinar me k substituímos os pontos 1 5 e 2 7 em 1 e obtemos 5 m k 7 2 m k Resolvendo este sistema encontramos m 2 e k 3 Logo a equação procurada é y 2x 3 Para escrever as equações paramétricas de r tomamos o ponto x0 y0 como sendo 1 5 e v 2 7 1 5 1 2 e obtemos xl t y 5 21 I O Plano 45 Uma mesma reta pode ser representada por pares de equações paramétricas diferentes De fato depende da escolha do ponto x0 0 e do vetor v a b Por exemplo a reta do exemplo anterior pode ser representada também pelas equações x 2 2í y l At II Embora o sistema I seja diferente do sistema II eles são equivalentes Isto significa que quando t varia sobre o conjunto dos números reais o conjunto de pontos dados por I é exatamente o conjunto de pontos dados por II Demonstramos anteriormente que toda reta r tem uma equação da forma bx ay c onde a b é um vetor paralelo a r Fazendo A b B a e C c podemos escrever a equação de r assim Ax By C 0 III Observe que o vetor A B é perpendicular à reta r pois A B a b b a a b abab 0 Logo A B é perpendicular a a b e a b é paralelo a r A recíproca também é verdadeira isto é toda equação da forma Ax By C 0 1 tem como gráfico uma reta Realmente se xtl v0 é um ponto tal que Ax0 By0C 0 2 Fig 224 4 6 Geometria Analítica subtraindo 2 de 1 encontramos Ax x0 By 0 0 Interpretando este resultado como o produto escalar dos vetores A B e JC x0 y y0 vemos que o conjunto solução de III é constituído de todos os pontos x y tais que os vetores x xn y y0 e A B são perpendiculares Isto significa que o gráfico de III é a reta que contém xíp y0 e tem a direção do vetor B A 10 ÂNGULOS ENTRE RETAS Exemplo Determine o menor dos ângulos entre as retas res cujas equações são respectiva mente y 2x 2 e yx 4 Solução O vetor 12 tem a direção de r assim como o vetor 11 tem a direção de s Veja a Figura 225 Fig 225 O ângulo a entre os vetores 1 2 e 1 1 é um dos ângulos entre as retas re s Efetuando as contas encontramos cosa JÍÕ u T Logo 77T a arccos Viõ v 1 0 0 a TT O Plano 47 Como cos a 0 encontramos o ângulo maior entre as duas retas O ângulo menor entre resé evidentemente TT a cujo coseno é yiõ 10 pois costr a cos a W l DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA A distância do ponto Px0 y0 à reta r de equação y mx ké definida como sendo a distân cia de P a A onde Ax é o pé da perpendicular baixada de P a r Veja a Figura 226a Indicando por dP r a distância de P a r temos Como o vetor 1 m tem a direção da reta r os vetores PA x x0 y y0 e m 1 têm a mesma direção Logo existe um número real t tal que PA tm 1 e portanto dP r ItPAll Km 1 Jm2 Desta forma dP r estará determinada quando conhecermos t A seguir faremos o cálculo de t De PA x x0 y0 tm 1 obtemos xlx0 tm yy o t Como X vi pertence à reta r deve valer y0 t mx0 tm k donde t y 0 mx0 k l m2 48 Geometria Analítica Sendo dP r Jlm2 temos finalmente dPr y0mx0 k 1 m2 VT m ou dP r y0mx0 k Tm T Esta fórmula também pode ser obtida da Figura 226 b usandose a semelhança dos triângu los hachurados Fig 226 d mx0 k y01 1 Se a equação de r é da forma x c a fórmula deduzida acima não se aplica Neste caso a distância de Px yn a r é dada por dP r c x0 A fórmula enunciada no Exercício 258 aplicase a todos os casos 212 EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA Na Figura 227 representamos uma circunferência de centro Cx0 y0 e raio r O Plano 49 Fig 227 Seja Px y um ponto qualquer desta circunferência e t o ângulo formado pelos vetores CP e CA onde Ax0 r v0 Então CP CA cos t INI Ih Como CP x x0 y y0 CA r 0 e CP C41 r temos X X cos t ou x x0 r cos f Procedendo de maneira análoga com os vetores CP e CB onde B é o ponto x0 0 r e levando em conta que o coseno do ângulo d formado por estes vetores é igual ao seno do ângulo t obtemos y 0 r sen t Reciprocamente se um ponto Px y satisfaz as equações x x0 r cos t e yy0 r sen í então Px y pertence à circunferência pois dPC jxx02 yy02 Jr2 cos21 r2 sen2í r 50 Geometria Analítica As equações x xfí r cos t y y0 r sen t são chamadas equações paramétricas da circunferência de centro Cx0 y e raio r Como no caso da reta eliminando t nas equações paramétricas obtemos a equação cartesiana da circunferência Aqui procedemos assim das equações paramétricas ob temos x x02 r cos21 y o2 r2 sen21 e daí x x02 y y02 r que é a equação cartesiana da circunferência de centro x0 y0 e raio r Exemplo Escreva uma equação cartesiana da circunferência definida pelos pontos Al 1 512 e C2 3 Solução A equação procurada é da forma x x02 y y02 r2 que também pode ser escrita assim x2 y2 2x0x 2y0 r2 0 Fazendo 2x0 a 2y0 b e r2 c obtemos x2 y2 ax by c 0 que é outra forma de se escrever a equação cartesiana da circunferência O Plano 51 Esta última equação deve ser verificada pelas coordenadas de cada um dos pontos A B e C Substituindo pois as coordenadas destes pontos nesta equação obtemos o siste ma a b c 2 a 2b c 5 2a 3b c 13 a 13 b 1 e c10 x2 13x v 10 0 cuja solução é Logo é a equação procurada Por outro lado sendo a 2x0 b 2y0 e cr y r seguese que 13 1 6 5 y y o e r T Logo a equação da circunferência pode também ser escrita na forma 13 V f O 2 65 T i T Observe que as equações paramétricas desta circunferência são 65 cos t 1 V65 p sen t 2 V2 52 Geometria Analítica Exemplo Descreva a trajetória de uma partícula animada de um movimento tal que no ins tante t ela se encontra no ponto y 2 cos 31 2 sen 31 Solução A igualdade dada pode ser desdobrada em x 2 cos 31 ou y 2 sen 31 onde s 3f Comparando x 2 cos s y 2 sen Í com as equações paramétricas da circunferência de centro x0 vj e raio r concluímos que a tra jetória da partícula é a circunferência de centro na origem e raio 2 Observe que s 3téo ângulo descrito pela partícula no tempo t O número 3 é a velocidade angular da partícula Observe ainda que o vetor vt 6 sen 31 6 cos 3f é perpendicular ao vetor OP 2 cos 3í 2 sen 31 pois vf OP 0 Usando a definição de velocidade e o conceito de derivada podemos mostrar que vt é exatamente a velocidade da partícula no instante t x2 cos s 2 sen s O Plano 53 Exercícios 249 Escreva as equações da reta que a contém o ponto 1 1 e tem a direção do vetor 2 3 b contém os pontos A3 2 e S3 1 250 Dados os vetores u 1 5 e v 41 escreva as equações paramétricas e cartesianas das retas que contêm as diagonais do paralelogramo definido por u e v 251 a Mostre que x 3 21 y 7 5t são equações paramétricas da reta definida pelos pontos A3 7 e B5 2 b Que valores devem ser atribuídos a t para se obter os pontos A e BI c Que valores de t dão os pontos entre As BI d Localize na reta os pontos para os quais t 1 e t 0 252 Escreva as equações paramétricas da reta que contém o ponto 1 2 e faz com a retay 2x 4 um ângulo de 60 253 Determine a projeção ortogonal do ponto P2 4 sobre a reta xl 2t y 1 31 254 Dado o ponto A2 3 ache o vetor AP onde P é o pé da perpendicular baixada de A à reta y 5x 3 255 Determine a interseção da reta y 2x 1 com a reta definida pelos pontos 2 1 e 0 0 256 Dados o ponto P2 1 e a reta r de equação y 3x 5 escreva uma equação da reta que contém o ponto P e a seja paralela à reta r b seja perpendicular à reta r 257 Determine o ângulo menor entre as retas a 2x 3y 1 e y 5x 8 b x y 1 0 e x 1 2t y 2 5t 258 Mostre que a distância do ponto PxB y0 à reta Ax By C 0 é dada por Ax0 By0 C A2 B2 259 Mostre que se a distância entre Pa be a origem é c então a reta definida por P e Ac 0 é perpen dicular à reta definida por P e Bc 0 260 Determine o comprimento do segmento OP da Figura 229 sabendo que OADB é um retângulo 261 Determine a distância entre as retas 2x y 6 e 2x l 54 Geometria Analítica B D 1 C 4 O A Fig 229 262 Escreva uma equação da circunferência que contém os pontos de interseção das retas y x 1 y 2x 2 e y 2x 3 263 Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências a x2 y2 11 0 b x2 y2x 3y 2 0 c x2 y2 6y 0 d x2 y2 2x 2y 1 0 264 Deduza uma equação da circunferência de centro na origem e tangente à reta 3x 4y 20 0 265 Determine uma equação da circunferência tangente às retas y x e y x nos pontos 3 3 e 3 3 266 Sejam C a circunferência de centro 1 2 e raio 3 e r a reta definida pelos pontos A6 6 eB2 10 Determine a em C um ponto eqiiidistante de A e B b em r o ponto mais próximo de C 267 a Determine a interseção das circunferências b Escreva uma equação cartesiana da reta que contém a corda comum às circunferências do item a 268 a Uma partícula percorre a reta definida pelos pontos Al 2 e B3 1 com velocidade constante Sabendo que no instante t 0 a partícula se encontra em A e que em t 2 se encontra em B determine sua posição no instante t b Em que instante a partícula se encontra mais próxima do ponto C4 2 269 Num determinado instante t as posições de duas partículas P e Q são dadas respectivamente Elas se chocam 270 Um móvel M parte do ponto A04 com velocidade v 1 1 no mesmo instante em que um móvel M2 parte de 00 0 também com velocidade constante Qual deve ser a velocidade de M2 para que M e M2 se choquem uma unidade de tempo depois x2 y2 8x 2y 7 0 x2 y2 6x 4y 9 0 por 1 2t 1 0 e 4 í3 6 O Plano 55 271 Uma partícula está animada de um movimento tal que no instante f ela se encontra no ponto x y 1 2 cos t 2 2 sen t a Descreva sua trajetória b Verifique que sua velocidade no instante t é v 2 sen t 2 cos t 272 Escreva as equações paramétricas da tangente à circunferência x x0 r cos t y yg r sen t no ponto x 273 A trajetória de uma partícula é dada por v 2 2 cos t tr v l 2 sen í S 2tt 8 Determine o menor valor de t para o qual a partícula se encontra a igual distância dos pontos A04 e Bl 5 274 Sejam res duas retas cujas equações são Ax By C 0 e Atx Bly 4 C 0 a Mostre que qualquer que seja X Ax By C B j C 0 I é a equação de uma reta que contém a interseção de r e Í b Se A2 B2 Al B mostre que para X l as retas dadas por I são as bissetrizes dos ângulos entre r e s CAPÍTULO CÓNICAS 31 ELIPSE Dados dois pontos F e F e um número r dFl F o conjunto dos pontos P do plano tais que dPF dP F r é chamado elipse de focos F e F e eixo maior r Graficamente podemos obter um ponto da elipse fazendo a seguinte construção centramos o compasso em um dos focos e com abertura igual a j j r traçamos um arco C Depois centra mos no outro foco e com abertura igual ar s traçamos o arco CL A interseção de C c C é um ponto da elipse Veja a Figura 31 C P a F ib Fig 31 Utilizando esta construção podemos obter tantos pontos da elipse quantos desejarmos Li gando estes pontos obtemos a representação gráfica da elipse Figura 32 B A Pi 0 F J A Fig 32 Cónicas 57 Os pontos A e A foram obtidos tomandose s r dF Ft 2 e os pontos B e B tomando se v r2 Estes pontos são chamados vértices da elipse Observe que a distância entre Ax e A é igual ao eixo maior r da elipse e que o segmento BB é perpendicular a AA O ponto O inter seção de AA e BBU é o centro da elipse Na prática podemos traçar uma elipse usando um laço completo de barbante e dois pregos Fixamos os pregos em dois pontos focos e fazemos um lápis deslizar sobre o papel de modo que apoiado nos pregos e na ponta do lápis o laço de barbante se mantenha esticado A seguir vamos deduzir uma equação da elipse na situação particular em que seu centro co incide com a origem do sistema e os focos estão sobre os eixos coordenados Temos dois casos conforme ilustra a Figura 34 Fig 33 y B 0 b y B0 b x B 0 b Fig 34 Quando os focos estão sobre o eixo x temos dP F dP F onde Px y é um ponto qualquer da elipse dAx A 58 Geometria Analítica Para maior simplicidade nas contas vamos indicar o eixo maior por 2a e a distância focal dFl F por 2c Com esta notação em termos das coordenadas de Fu F e P temos Jix cf y2 TX C2 y2 2a ou Jx c2 y2 2a ylxc2 y2 Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado e simplificando o resultado obtemos xca2 ayjxc2 y2 Novamente elevando esta equação ao quadrado e simplificando o resultado obtemos a2 c2x2 a2y2 aa2 c2 1 Na Figura 34a por definição do ponto B temos dB F a e d0 F c Logo do triângulo OBF deduzimos que a2 c2 b2 Fig 35 Introduzindo este valor em 1 obtemos b2x2 a2y2 a2b2 ou 2 2 2L i que é a equação da elipse Observação Na verdade demonstramos apenas que um ponto Px y que satisfaz a equação x c2 y2 xc2 y2 2 a 1 Cónicas 59 também satisfaz a equação Seguindo os passos da demonstração apresentada no sentido inverso podemos mostrar que todo ponto Px y que satisfaz 2 também satisfaz 1 Assim as equações 1 e 2 são equivalentes e 2 é de fato uma equação da elipse Quando os focos da elipse estão sobre o eixo y como na Figura 34b sua equação é também sendo agora 2b o seu eixo maior Neste caso o vértice A é tal que dF A b e portanto vale b2 c2 a2 Figura 36 Fig 36 Resumindo temos em ambos os casos a equação da elipse é 9 t 1 a2 b2 Se a b os focos da elipse estão no eixo x e são c 0 e Fc 0 onde V a 2 b2 S eab os focos da elipse estão no eixo v e são F0 ce F 0 c onde c yb2 a2 Exemplo 9r 4y2 36 que também pode ser escrita assim 2 7 4 9 é uma equação da elipse de vértices A2 0 A2 0 B 0 3 50 3 e focos F0y5 e FOfi Veja a Figura 37a 60 Geometria Analítica Em geral a equação de uma elipse é do segundo grau Quando os vértices da elipse não estão sobre os eixos do sistema de coordenadas além dos termos em x2 e y2 a equação apresenta tam bém termos em xy x e v Exemplo Equação da elipse cujos focos são F3 0 e F 4 e o eixo maior é 7 Figura 37 b Fig 37 Solução Seja Px y um ponto da elipse Então por definição dP F dP F 7 ou Jx 32 y2 x 2y4 2 7 Na verdade já obtivemos uma equação da elipse Contudo vamos transformar a equação acima a fim de eliminar os radicais que nela figuram Transpondo o termo Vx 2y4 2 para o segundo membro e elevando a equação resultante ao quadrado obtemos x 32 y2 49 x2 y 42 1 4 x 2 y 4 f que pode ser simplificada e escrita assim 3x 4y 28 7r 2 y 4 2 Cónicas 61 Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado e simplificando o resultado obtemos finalmente 40x2 33y2 24xy 168x 168j 200 0 que não contém radicais e é do segundo grau Exercícios 31 Determine os focos os vértices e esboce as elipses cujas equações são 2 y2 x2 y2 a 1 b 1 2 5 9 9 25 c Ax2 9y2 36 d x222 1 32 Deduza uma equação da elipse a de focos F0 1 e F0 1 e eixo maior 4 b de focos Fl 1 e F11 e eixo maior 4 33 Escreva a equação da elipse que contém o ponto yj e cujos focos são FJVO e FJzo 34 Escreva a equação da elipse de focos F0 a e F0 b sabendo que um de seus vértices é a origem e que b a 0 35 a Mostre que se Fx0 yü satisfaz a equação a b2 então os pontos P2x0 y0 F3x0 y0 e P4xQ y0 também satisfazem b Conclua a partir do item a que a elipse é simétrica em relação a cada um de seus eixos e em relação à origem 36 Utilizando régua e compasso construa uma elipse conhecendo a seus focos e o eixo maior b seus focos e o eixo menor c seus quatro vértices 37 Mostre que a os gráficos das funções definidas por fx bjl e fx bjl a s s a são semielipses b se a x0 a e y0 f x0 a equação da reta que contém x0 y0 e cuja declividade é fxn é dada por o yy0 a2 b2 Esta reta é chamada tangente à elipse a2 b2 no ponto x y0 62 Geometria Analítica 38 Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à elipse 2 2 x y a2 b2 no ponto x0 Esta reta é chamada normal à elipse em x y j 39 Determine o valor de k para que a reta 2x ky 9 T seja tangente à elipse 310 Determine o ponto da elipse 18 8 mais próximo da reta 2x 3y 25 0 311 Considere uma semielipse e uma semireta como mostra a Figura 38 Se girarmos a semireta no sentido horário em torno de P em qual ponto da elipse ela tocará Pr 2 Fig 38 312 Mostre que qualquer que seja o valor de t o ponto a cost b sení pertence à elipse a2 b2 Observação Quando t varia de 0 a 2TT O ponto a cos b sen percorre a elipse a partir do vértice Aa 0 uma vez x a cos t y b sen t são equações paramétricas da elipse Cónicas 63 32 HIPERBOLE Dados dois pontos F e F e um número r dF F o conjunto dos pontos P do plano tais que dF P dF P r é chamado hipérbole de focos F e F e eixo r Fig 39 Graficamente para se obter um ponto da hipérbole é suficiente centrar o compasso em um dos focos e com abertura s traçar um arco C Depois centrar no outro foco e com abertura s r traçar o arco C A interseção de C e Cx é um ponto da hipérbole Unindo os pontos assim obti dos temos o traçado da hipérbole Os pontos Al e A chamados vértices da hipérbole foram obtidos tomandose s dFv F r2 Observe que dAt A r e que se r fF F r2 os arcos C e C não se intercep tam Da construção é fácil ver que a hipérbole é composta de dois ramos e simétrica em relação à reta que contém os focos e em relação à mediatriz do segmento FF Com o objetivo de obter uma equação mais simples para a hipérbole vamos eleger um siste ma de coordenadas onde um dos eixos contém os focos e a origem seja o ponto médio do seg mento FF Como para a elipse temos também dois casos 64 Geometria Analítica a F0 A 0 b A 06 F 0c b Fig 311 Quando os focos estão sobre o eixo x temos dPF1dPFdAAl onde Px y é um ponto qualquer da hipérbole Como mostra a Figura 310a estamos chamando a distância focal dFu F de 2c e a distância entre os vértices de 2a Logo xcf y1 4xO2 y 2 a ou Jix cf y2 Jxc2 y2 2a Depois de eliminarmos os radicais de 1 podemos escrevêla assim c2 a2x2 a2y2 ac2 a2 Fazendo obtemos c2 a2 b2 b2x2 a2y2 a2b2 1 ou Cónicas 65 que é equivalente a 1 e portanto é uma equação da hipérbole Quando os focos da hipérbole estão sobre o eixo y como na Figura 31 lb sua equação é Ír7Tl onde 2b é a distância entre os vértices e a é tal que c2 b2 a2 Mesmo quando os focos da hipérbole não estão sobre os eixos ou não são simétricos em relação à origem sua equação é também do segundo grau Por exemplo uma equação da hipérbole de focos F2 1 e Fl 3 e eixo 2 é 20x2 48xy 76x 24 79 0 como o leitor pode verificar Exemplo Determine condições sobre a bem para que a reta y mx intercepte a hipérbole 2 2 í 2 L i a2 b2 Solução Suponhamos que JC0 0 seja um ponto da interseção da reta com a hipérbole Veja a Figura 312a Então devemos ter a2 b2 y0mx0 Destas duas equações obtemos que resolvida em x0 nos dá 2 2 2 x 0 m x 0 a2 b2 ab vb2a2m2 b2 Para que x0 tenha valor real isto é para que a reta intercepte a hipérbole é necessário e suficien te que b n b m U ou m a a 66 Geometria Analítica Sendo ae b números positivos seguese que b b a m a Assim a reta y mx intercepta a hipérbole se e somente se sua declividade estiver compreendida entre ba e ba A parte b da Figura 312 mostra a hipérbole e as retas de declividade ba e ba que contém a origem Cb Fig 312 Cada uma das retas b y x a b y x a é chamada assíntota da hipérbole Portanto as assíntotas são posições extremas das secantes à hipérbole que contém a origem Ainda mais da expressão l a 2 Cónicas 67 vemos que quando a declividade da secante tende para ba a abscissa x0 do ponto de interseção tende para mais ou menos infinito Isto significa que a hipérbole ambos os ramos tende para as assíntotas à medida que se afasta da origem Esta interpretação geométrica sugere um procedi mento cômodo para se esboçar uma hipérbole a saber primeiro traçamos as assíntotas e de pois os ramos da hipérbole tendendo às assíntotas como mostra a Figura 312b Procedendo de forma análoga em relação à reta y mx e à hipérbole Z í L i b2 a2 podemos deduzir que a reta intercepta a hipérbole se e somente se mba ou m ba Por tanto as retas y x a b y x a também ocupam as posições extremas das secantes à hipérbole que contém a origem isto é a hipérbole 2 2 2 b a tende ao par de retas y bxa e y bxa que são as assíntotas Exemplo As assíntotas da hipérbole são Figura 313a e as da hipérbole y x e y x 3 3 16 4 são Figura 313b y 2x e 2x 68 Geometria Analítica a b Fig 313 Exercícios 313 Determine os focos os vértices e esboce as hipérboles cujas equações são 2 2 1 1 25 9 c 4x2 9y2 36 0 y x b 1 9 25 d x 2 y 2 1 314 Deduza uma equação da hipérbole a de focos F3 0 e F 3 0 e vértices A2 0 e A2 0 b de focos F2 2 e F 2 2 e vértices Al l e A l 1 315 Seja P o pé da perpendicular baixada do foco F da hipérbole 2 2 O2 b2 a uma das assíntotas Demonstre que F F b e POa onde O é a origem do sistema de coordenadas 316 Mostre que a os gráficos das funções definidas por fxb efxb x e R V a2 v a1 são ramos de hipérbole b se y0 fix0 a equação da reta que contém jt0 y0 e cuja declividade éfx0 é dada por yoyxoxl Esta reta é chamada tangente à hipérbole Cónicas 69 no ponto x0 y0 317 Mostre que nenhuma tangente à hipérbole passa pela origem 318 Deduza a equação da reta perpendicular à tangente à hipérbole no ponto x0 Esta reta é chamada normal à hipérbole no ponto x0 0 319 Deduza as equações da tangente e da normal à hipérbole Dados um ponto F e uma reta r chamase parábola de foco F e diretriz r ao conjunto de pontos P do plano tais que Construção Pelo foco F traçamos a perpendicular à diretriz r e tomamos sobre esta perpen dicular chamada eixo da parábola um ponto C Por C traçamos uma paralela a r e com abertura igual a dC r e centro em F determinamos nesta paralela os pontos P e P da parábola Unindo os pontos assim construídos obtemos a parábola Figura 314 Observe que se escolhermos o ponto C sobre o eixo de modo que d C r dC F o arco traçado com centro em F e raio dC F não intercepta a paralela à diretriz traçada por C O ponto da parábola mais próximo de r c o ponto O veja a Figura 314b tal que d0 r d0 F Este ponto é chamado vértice da parábola 33 PARABOLA dP F dP r í f r r F IC o b Fig 314 70 Geometria Analítica Em geral a equação de uma parábola é do segundo grau isto é contém termos em x2 y2 xy xey Porém quando o sistema de eixos é escolhido de modo que a origem coincide com o vér tice e um dos eixos do sistema coincide com o eixo da parábola como veremos sua equação é muito simples Existem quatro casos d Fig 315 Na Figura 315a o foco está sobre o eixo j e a diretriz é paralela ao eixo x Se dF r 2a então o foco é F0 a e a equação da diretriz é y a Um ponto Px y pertence à parábola se e somente se dP F dP r ou ijx2 yaf y a Eliminando o radical desta equação e simplificando o resultado obtemos a sua equivalente 4ay x2 ou y x2 4a Côncas 71 que é a equação da parábola Nos demais casos efetuando contas semelhantes obtemos 1 y x 4 a r 4a 1 2 X V 4 a que são respectivamente as equações das parábolas das Figuras 315b c e d Em todos os casos a LdFr Exemplo O gráfico da equação x y2 é a parábola de foco F14 0 e diretriz x 14 pois neste caso 14a 1 donde a 14 Veja a Figura 316 y i x 4 i J X F 0 4 j y Fig 316 Exercícios 321 Determine o foco o vértice a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equações são a y x2 b x y2 4 4 c y x2 d x 22 322 Deduza uma equação da parábola a de foco F 0 1 e diretriz y 1 b de foco F 1 0 e vértice 0 0 c de foco F 1 1 e vértice 0 0 323 Deduza uma equação da parábola com vértice em V6 3 e cuja diretriz é a reta 3x 5y 1 0 324 Prove que toda parábola cujo eixo é paralelo ao eixo y tem uma equação da forma y ax2 bx c 72 Geometria Analítica Qual é a forma geral das equações cujo eixo é paralelo ao eixo x 325 Deduza uma equação da parábola que contém o ponto 14 sabendo que seu eixo é paralelo ao eixo y e que seu vértice é o ponto 2 3 326 Deduza uma equação da parábola que contém os pontos 1 12 1 2 e 2 0 e tem eixo paralelo ao eixo y 327 Prove que numa parábola o comprimento da corda que contém o foco e é perpendicular ao eixo é duas vezes a distância do foco à diretriz 328 a Prove que a reta x 2a ay x0 0 é tangente à parábola x ay2 no ponto Px0 y0 b Mostre que a perpendicular à tangente em Px0 y0 é bissetriz do ângulo formado por PF onde F é o foco da parábola e a paralela ao eixo da parábola que contém Px0 yQ 329 Uma partícula se move de modo que no instante í seu vetor posição é ÔPt r At t2 Determine a uma equação cartesiana da trajetória da partícula b o instante em que a partícula se encontra mais próxima da reta y 5 330 Sejam a e b números reais tais que b a 0 e considere os pontos B0 0 B0 a b F0 a e 0 b a Mostre que as equações da elipse de vértice B e Bj e focos F e F e da parábola de vértice B e foco F podem ser escritas respectivamente nas formas 1 1 ab y y x2 ab 4a b 1 2 y x2 4 a b Se os pontos x ye e x y pertencem respectivamente à elipse e à parábola do item a mostre que imyy c A partir dos itens a e b conclua que a parábola de vértice B e foco F pode ser imaginada como a posição limite da elipse de vértices B e B e focos F e F quando o foco Fl tende para o infinito Observação Veja na Seção 35 como a elipse pode ser obtida interceptandose um cone com o plano A posição limite descrita no item c corresponde ao caso em que o plano é paralelo à geratriz do cone 34 ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO DE EIXOS Nos parágrafos anteriores vimos que a equação de uma cónica elipse hipérbole ou parábola é sempre do segundo grau isto é é da forma ax2 by2 cxy dx ey 0 Vimos ainda que quando o sistema de coordenadas é convenientemente escolhido a equação da cónica reduzse a uma das formas a b 2 2 2 2 x y 1 y x 1 rm T T 1 OU 12 2 1 H a b b a x2 yx2xy2 ou x y2 P 4 a 4 a 4 a Aa Cónicas 73 Dizemos que estas equações estão na forma reduzida ou canónica Na Seção 35 provaremos que exceto em certos casos particulares o gráfico de uma equação do segundo grau em duas variáveis é uma cónica Em geral a técnica utilizada para identificar e esboçar esta cónica consiste em simplificar sua equação efetuandose mudanças no sistema de coordenadas Estas mudanças são translação e rotação de eixos e serão introduzidas a seguir Translação de Eixos Na Figura 317a estão representados dois sistemas de coordenadas o sistema xOy como de cos tume e o sistema x que pode ser imaginado como uma translação de xOy em que a origem 0 coincide com o ponto 0 Se Pé um ponto do plano podemos tomar suas coordenadas em relação a cada um dos dois sistemas Como mostra a Figura 317b se x y são as coordenadas de P em relação ao sistema xv e x v são as coordenadas de P em relação ao sistema x0y temos x x a s y y b onde a e b são as coordenadas de 0 em relação ao sistema xOy Explicitando x ey em s obtemos x x a yyb Estas equações permitem passar das coordenadas de um ponto P dadas no sistema xOy para as coordenadas de P com relação ao sistema xfllyl a P A i y w Fig 317 Exemplo Seja o ponto P 4 1 Efetuandose uma translação em que a nova origem é02 3 em relação ao novo sistema as coordenadas de P passam a ser x 4 2 6 l 3 4 7 4 Geometria Analítica ou seja P6 4 Veja a Figura 318 y i y i i i i i i 0 i íp Neste caso as equações de mudanças de coordenadas são x1 x 2 x x 2 ou yy 3 y 3 Se relativamente ao sistema xOy a equação de uma reta é y mx b no sistema x sua equação é Ji 3 mx 2 b ou y mxl b 2m 3 Observe que a declividade da reta não se alterou Exemplo Usando uma translação conveniente elimine os termos do primeiro grau da equação 4x2 8 x 9y2 36y 4 0 Solução Completando os quadrados em x e y na equação dada obtemos 4x2 2x 1 9y2 4y 4 4 4 1 9 4 ou 4x l2 9 y 2f 36 Observe que para obtermos um quadrado perfeito no interior dos parênteses somamos 1 no primeiro e 4 no segundo Para mantermos a igualdade estas mesmas parcelas multiplicadas pelo coeficiente do parêntese foram somadas no segundo membro Depois disto efetuamos a translação de eixos definida pelas equações Cónicas 75 e escrevemos a equaçao assim 4x l2 90 22 36 4xf 9f 36 que é a solução do problema Escrevendo essa última equação na forma 9 4 vemos que seu gráfico é uma elipse cujos vértices no sistema XjO onde 01 2 são A3 0 A3 0 50 2 e B02 Esta elipse está mostrada na Figura 319 Fig 319 Observe que a elipse acima é também o gráfico da equação 4X2 9y2 36y 4 0 em relação ao sistema xOy pois quando se efetua uma translação a curva não se altera apenas a equação muda Rotação de Eixos Consideremos o sistema de coordenadas xOy e sejaX0j o sistema de coordenadas obtido de xOv por uma rotação de um ângulo 8 no sentido antihorário como mostra a Figura 320 Sejam 7 6 Geometria Analítica x y e x V as coordenadas de um ponto P do plano em relação aos sistemas xOy e xQyu respectivamente Nosso objetivo é escrever xl e j em função de x v e do ângulo 8 Uma rotação de um ângulo 8 transforma os vetores ex 10 e e2 0 1 nos vetores e u2 onde M cos 6 sen 9 cos 9 el sen 8 e2 u2 sen 6 cos 9 sen 9e cos 9e2 Para o vetor OP temos ÕP x xel ye2 onde x e y são as coordenadas de P em relação ao sistema xOy Por outro lado como ut e u2 são unitários e perpendiculares temos também ÕP xh xj yu2 sendo x e v as coordenadas de P em relação ao sistema XjOv Temos então a igualdade xex ye2 XM yxu2 ou xex ye2 xcos 8 ex sen 8 e2 ysen 8ex cos 8 e2 Cónicas 77 de onde obtemos x x cos 8 y sen 0 x x cos 0 y sen 0 ou y X sen 0 yl cos 0 x sen 8 y cos 0 Exemplo Seja o ponto P64 Efetuando se uma rotação de um ângulo de TT3 radianos nos eixos em relação ao novo sistema suas coordenadas passam a ser 1 õ x 6 4 3 2 V 3 2 2 R i y 6 4 3 V 3 2 1 2 2 ou seja 3 2 A33V32 Exemplo Usando uma rotação de eixos convenientes transforme a equação 4x2 y2 4xy x 2y 0 em uma que não contenha o termo em xy Solução Substituindo x e y na equação dada por x x cos d Yi sen 0 y x sen 8 yl cos 8 obtemos 4x cos 0 sen 02 x sen 0 y cos 02 4X cos 0 y sen 0xj sen 0 y cos 0 x cos 0 yl sen 0 2x sen 0 y cos 0 0 que é a equivalente da equação inicial em relação ao sistema x0yi obtido do sistema xOy por uma rotação de um ângulo 0 Desenvolvendoa obtemos 4 cos2 8 sen2 8 4 cos 0 sen 0 x2 4 sen2 0 cos2 0 4 sen 0 cos 0 y 6 cos 0 sen 04 cos2 0 4 sen20xy cos 0 2 sen 0x sen 0 2 cos 8yí 0 1 Como nosso objetivo é obter uma equação que não contenha o produto das variáveis igualamos o coeficiente de xy a zero ou seja impomos para 0 a condição 6 cos 8 sen 8 4 cos2 0 4 sen2 0 0 Lembrando que cos 0 sen 0 12 sen 2 0 e que cos2 0 sen2 0 cos 28 obtemos 3 sen 20 4 cos 20 0 78 Geometria Analítica e portanto A partir desta igualdade deduzimos que sen0 V5 0 é aproximadamente 2633 Substituindo os valores de sen 8 e cos 0 na equação 1 e efetu ando as contas obtemos yiSxf O gráfico desta equação como já vimos é uma parábola Ela está representada juntamente com os dois sistemas de coordenadas na Figura 321 em relação ao sistema xy Como vimos no exemplo anterior dada uma equação do segundo grau rias variáveis x e y usando uma rotação de eixos podemos eliminar o termo em xy O ângulo desta rotação é y Fig 321 Observe que esta parábola é também o gráfico da equação 4x2 y2 4xy x 2y 0 Cónicas 79 onde c é o coeficiente de xy a o coeficiente de x2 e b o coeficiente de y2 desde que a b Se a b d é 45 veja Exercício 340 Após eliminarmos o termo em xy completamos os quadra dos na equação resultante para determinarmos a translação que elimina os termos do primeiro grau Vejamos mais um exemplo Considere a equação 3x2 2y2 10x 122 x 42 y 32 0 Como o coeficiente de x2 é igual ao de y2 a rotação é de 45 e as equações de mudança de siste ma são 2 X 2 yi 72 V2 y xi 3V 7 2 1 2 Substituindo estes valores na equação dada e simplificando a equação resultante obtemos x24y2 4x 8y 1 6 0 Depois de completarmos os quadrados em x1 e vh podemos escrever esta última equação assim x2 2 yLZf1 16 4 que se transforma em r2 2 16 4 após efetuarmos a translação de eixos definida por X2 2 y2 yi O gráfico desta equação é uma hipérbole Ela está Apresentada na Figura 322 juntamente com os três sistemas de coordenadas A construção da Figura 322 obedeceu à seguinte ordem pri meiro desenhamos o sistema de coordenadas xy girando tal sistema de 45 obtivemos o sistema xy o sistema xy2 foi obtido conforme a translação definida pelas equações X2 2 yi y i isto é é uma translação de xy onde o ponto 2 1 relativamente ao sistema xtyh é a nova ori gem O esboço da hipérbole foi feito no sistema x7y1 Observe que com a rotação o eixo x ficou paralelo ao eixo da hipérbole e com a translação a origem do novo sistema x2 coincidiu com o centro da hipérbole 80 Geometria Analítica y Exercícios 331 Efetuase uma translação de eixos de modo que a nova origem seja o ponto 2 3 a Determine as coordenadas dos pontos 3 2 e 5 7 com respeito ao novo sistema b Escreva uma equação da reta y 2x 7 com respeito ao novo sistema 332 Efetue uma translação de eixos tal que em relação ao novo sistema as equações das retas y 2x 1 e x 3y 11 não contenham o termo constante Escreva as equações destas retas em relação ao novo sistema 333 Seja O j um sistema obtido de xOy por uma translação Determine a nova origem 0t sabendo que um determinado ponto tem coordenadas 3 4 no sistema xOy e 2 3 no sistema Jt0 1 334 Seja O uma translação de xüy cuja nova origem é 04 1 e x202y2 uma translação de xl0yl cuja nova origem no sistema JOJ é 02 1 2 a Determine as coordenadas de 00 002 e 002 em relação a cada um dos três sistemas b Verifique que 002 00 002 em qualquer um dos três sistemas 335 Mostre que quando se efetua uma translação de eixos as coordenadas de um vetor AB sendo A e B dois pontos quaisquer não se alteram 336 Efetuase uma rotação de eixos de um ângulo 9 no sistema x0y Sabendo que em relação ao sistema xOy o ponto P é dado por 5 J3 e que em relação ao novo sistema é dado por 4 2j3 determi ne o ângulo 6 K337J Determine as coordenadas do ponto P2 5 em relação ao sistema obtido do sistema xOy por uma rotação de um ângulo d tal que tg 0 13 338 Seja XjOv o sistema obtido de xQy por uma rotação de 30 no sentido antihorário e x20y2 o sistema obtido de por uma translação em que a nova origem no sistema xfiy é o ponto 023 2 a Determine as coordenadas do ponto P nos sistemas xQy e x20y2 sabendo que no sistema ele é dado por 2 1 b Determine as coordenadas do ponto Q no sistema xOy sabendo que no sistema x201y2 ele é dado por 12 339 Se xOy e xfi1y1 são os sistemas de coordenadas mostrados na Figura 323 determine as equações de mudança de xOv para XjOjy Cónicas 81 340 Dada a equação ax by1 cxy dx ey f 0 demonstre que se pode eliminar o termo em xy com uma rotação de eixos de um ângulo igual a TT4 radianos s ea be igual a 1 c arctg se a 4 b 2 ab 341 Esboce o gráfico das seguintes equações a Ax 1 9v2 36 b x1 v2 22x 0 c x2 Í6v2 32v 32 0 d 16 x2 Hx 32 e xy 1 f xy2y 4x 0 g x2 y2 xy 3 h x2 4y2 4xy I2x 6y 0 i 41x2 4y2 18x 384x 384 1504 0 342 Calcule a área do triângulo formado pelas retas x 1 y 2 e a tangente à cónica x2 4y2 2x 16y 13 0 4VíP no ponto 2 35 EQUAÇÃO GERAL DO SEGUNDO GRAU Já vimos que as cónicas elipse hipérbole e parábola são subconjuntos do plano cujas equa ções são do segundo grau Nos exemplos seguintes apresentaremos outros subconjuntos do pla no cujas equações são também do segundo grau Exemplo Determine uma equação do segundo grau cujo gráfico seja o subconjunto consti tuído das retas r ax by c 0 s axx c 0 82 Geometria Analítica Solução Indiquemos por r u s o subconjunto constituído das retas r e s Como um ponto x0 y0 pertence a r u s se e somente se axg by0 c 0 ou a x0 b0 c 0 e uma destas equações se anula se e somente se ax0 by 0 cax0 bj 0 c 0 segue que r u s é o gráfico de ax by cax bty c 0 que evidentemente é uma equação do segundo grau em x e y Por exemplo o gráfico da equação x y 1 2x y 4 0 ou 3x2 2 xy 6y 3y 4 0 é o par de retas mostrado na Figura 324a Observe que se ax by c 0 e ax e 0 são equações da mesma reta então ax by caX by c 0 é uma equação do segundo grau cujo gráfico é uma única reta Por exemplo o gráfico de x y 1 2x 2y 2 0 ou 2x2 2y2 4xy 4x 4y 2 0 é a reta representada na Figura 324b Fig 325 Cónicas 83 Pode também acontecer que o gráfico de uma equação do segundo grau seja um único ponto ou o conjunto vazio Por exemplo o gráfico de x l2 y 32 0 ou X2 y2 2x 6y 10 0 é o ponto 1 3 e o gráfico de 4x2 9y2 5 0 é o conjunto vazio Portanto até agora vimos que o gráfico de uma equação do segundo grau pode ser uma elipse uma hipérbole uma parábola um par de retas uma única reta um ponto ou o conjunto vazio Nas páginas seguintes demonstraremos que o gráfico de qualquer equação do segundo grau com duas variáveis é um destes subconjuntos Eles exceto o subconjunto vazio são as possí veis interseções de um cone veja Cone de Revolução Seção 1 Capítulo 5 com um plano e por isto são chamados cónicas Veja a Figura 325 No caso das Figuras 325d e e a cónica é dita degenerada Observação O estudo das cónicas sob este ponto de vista isto é como interseção de um plano e um cone data do século III aC e precede a própria Geometria Analítica que só surgiu no século XVII Proposição 31 O gráfico de uma equação do segundo grau isto é o gráfico de uma equa ção da forma ax2 by2 cxy dx ey 0 a b ou c 0 é uma cónica Demonstração Inicialmente efetuamos uma rotação de eixos de um ângulo 6 onde 1 c 8 arctg se a b 2 ab d 45 se a b De acordo com o Exercício 340 após esta rotação a equação dada se transforma numa equação da forma AxByDxEyF I onde A 0 ou B 0 Se A 0 e B 0 temos Ax2DxíEylF0 II 84 Geometría Analítica Fig 325 Cónicas 85 Neste caso se E 0 esta equação se reduz a Ax2DxtF0 cujo gráfico é um par de retas paralelas ao eixo yu uma reta paralela ao eixo y ou o conjunto vazio conforme D2 4AF seja respectivamente maior igual ou menor que zero Se E 0 temos de II A 2 D F E 1 E 1 E cujo gráfico é veja Exercício 324 uma parábola Portanto a proposição está provada no caso A 0e B 0 A prova do caso A 0 e B 0 é análoga Continuando suponhamos A e B não nulos Completando os quadrados em x e y na Equação I obtemos 1 A 4A J l 1 B 4B2 4A 4B ou D V J D2 E2 Ax B y F 1 1 1 2 A r 1 2 Bi 4 A 4 B Efetuando a translação de eixos definida pelas equações D XJ X H 2A E y2 y W reduzimos a Equação 1 a onde Ax2 2By2 2A 2 D2 E2 A F 4A 4 B Se A 0 o gráfico de 2 é um par de retas concorrentes se A e 6 tiverem sinais contrários ou um ponto se A e B tiverem o mesmo sinal Se A 0 obtemos de 2 A A l A B 86 Geometria Analítica cujo gráfico é uma elipse se A B e A tiverem o mesmo sinal ou uma hipérbole se os sinais de AeB forem contrários Exercícios 343 a Deduza uma equação do segundo grau cujo gráfico seja o subconjunto formado pelas retas r e s da Figura 326 2 Fig 326 b Deduza duas equações do segundo grau E e 2 cujos gráficos sejam respectivamente as retas r e s c Multiplique E por E2 e obtenha uma equação do quarto grau em x e y cujo gráfico é o par de retas formado por r e s 344 Dê exemplo de uma equação da forma ax2 bxy cy2 dx ey f 0 onde os coeficientes a b c d e esejam todos nãonulos cujo gráfico seja o conjunto vazio 345 Mostre que o gráfico de é o par de assíntotas da hipérbole 2 2 21i a 2 b2 346 Dada a equação Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 I demonstre que o número A B2 4AC é invariante por rotação ou translação isto é se AXJ BJC C DxtEylF 0 é a equação que se obtém de I efetuandose uma rotação ou translação de eixos então AB2 4AC B2 4AC Cónicas 87 Demonstre ainda que conforme A seja menor maior ou igual a zero o gráfico de I é respectiva mente uma elipse ou um ponto uma hipérbole ou um par de retas concorrentes uma parábola ou um par de retas paralelas ou uma única reta 36 DEFINIÇÃO UNIFICADA DAS CÓNICAS Exemplo Dados uma reta d e um ponto F não pertencente a d determine o conjunto dos pontos P do plano tais que dP F edP d onde e é um número positivo Solução Como mostra a Figura 327 introduzimos um sistema de coordenadas onde o eixo y coincide com a reta de o eixo x é a perpendicular traçada de F à reta d O ponto F tem coorde nadas p 0 onde p dF d Relativamente a este sistema o conjunto de pontos procurado é caracterizado pela equação TJXP2 y2 ex que é equivalente a 1 e2x2 y2 2px p2 0 1 O gráfico de 1 independentemente dos valores positivos de e ep é uma cónica não degene rada veja a Seção 35 Se e 1 os coeficientes de x2 e y2 são ambos positivos e a cónica cuja equação é 1 é uma elipse Se e 1 o coeficiente de x2 é zero e o gráfico é uma parábola Por último se e 1 os coeficientes de x2 e y2 têm sinais contrários e o gráfico é uma hipérbole Pxy Fig 327 Em vista desses resultados podemos unificar a definição de cónica da seguinte forma Dados uma reta d e um ponto F não pertencente a d e um número positivo e chamase cónica de diretriz d foco F e excentricidade e o conjunto dos pontos P do plano definido por deF tais que dP F edP d 88 Geometria Analítica A cónica é uma elipse hipérbole ou parábola conforme o número e seja respectivamente me nor maior ou igual a 1 Exemplo Equação da cónica elipse de foco Fl 0 excentricidade 12 e que tem por dire triz a reta de equação x 4 Solução Seja Px y um ponto da cónica Aplicando a definição unificada temos que é a equação procurada Observe que reescrevendo a última equação assim vemos que a cónica é de fato uma elipse e que seu outro foco é F 10 Veja a Figura 328 A reta d de equação x 4 é também uma diretriz da elipse que é equivalente a 3x2 4 y2 12 y d d Fig 328 Exercícios 347 Deduza uma equação da cónica de foco F2 0 com excentricidade e diretriz a e x 8 Cónicas 89 1 b e 4 x 2 c e 1 x 2 348 Demonstre que a elipse 1 H a é a cónica de foco Fc 0 excentricidade e ca e diretriz x ae ou a cónica de foco Fc 0 excentricidade e ca e diretriz x ae onde c Ja2 b2 349 Demonstre que a hipérbole 4 í i a2 b2 é a cónica de foco Fc 0 excentricidade e ca e diretriz x ou a cónica de foco Fc 0 excentricidade e ea e diretrizx ae onde cJab 2 ou cJb2 350 Demonstre que a parábola 4 a é a cónica de foco F0 a excentricidade e 1 e diretriz y a a CAPÍTULO O ESPAÇO 41 SISTEMA DE COORDENADAS Inicialmente nosso objetivo é estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e as ternas ordenadas x y z de números reais Para isto tomamos três retas x y e z perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O como mostra a Figura 41a Fig 41 Considerando O como origem tomemos sobre xye z unidades iguais e arbitremos em cada uma um sentido positivo Observe que os eixos xyez definem três planos cada um munido de um sistema de coordenadas Os eixos x e y por exemplo definem o plano horizontal xOy Seja P um ponto qualquer do espaço Traçando por P perpendiculares a z e ao plano horizontal xOy determinamos os pontos Pz e P0 veja a Figura 41 b O ponto Pa por sua vez determina nos eixos x e y os pontos P e Py veja a Figura 42a Sejam x y e z as coordenadas de Px Py e Pr Ao ponto P associaremos a terna x y z O Espaço 91 92 Geometria Analítica Para indicarmos que P tem coordenadas x y e z usaremos a notação Px y z Como a construção que acabamos de descrever pode ser feita no sentido inverso isto é a partir do terno ordenado determinase o ponto estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os pontos do espaço e os ternos ordenados de números reais como queríamos A Figura 42 b é uma simplificação da Figura 42a Nela aparecem somente os elementos essenciais na representação de P Na Figura 43 estão representados os pontos A2 3 4 B420 Cl 0 5 D0 4 1 5 4 0 e F 1 1 1 Exemplo Uma sala tem 6 m de largura por 8 m de comprimento e 4 m de altura Estabeleça um sistema e dê as coordenadas dos seguintes pontos a dos oito cantos da sala b do ponto de interseção das diagonais do piso c de um ponto situado a 2 m de altura e sobre a vertical que contém a interseção das diago nais do piso Solução a Embora tenhamos total liberdade para eleger o sistema de coordenadas por uma questão de simplicidade nossa escolha deve recair sobre um que tenha um dos cantos da sala como origem Outra condiçãoque também simplificará bastante as coordenadas é que as ares tas da sala coincidam com os eixos do sistema Um sistema que satisfaz estas duas condições está mostrado na Figura 44 Em relação a tal sistema temos as seguintes coordenadas para os cantos da sala z 8 Fig 44 O Espaço 93 O 00 Q26 O 0 Q36 8 0 Q40 80 Q56 O 4 266 8 4 Q70 8 4 Q80 O 4 b Como o ponto D pertence ao plano xy sua terceira coordenada é nula isto é z 0 As coordenadas xey de D são respectivamente 3 e 4 como mostra a Figura 45 Logo D 3 4 0 Ô 3 x D 04 Fig 45 c As duas primeiras coordenadas de P coincidem com as de D pois P e D estão numa mes ma vertical A terceira coordenada de P é 2 porque P está duas unidades acima do plano xy Logo P34 2 Exercícios 41 Represente graficamente os seguintes pontos Al 3 2 B0 1 0 Cl 2 3 0 3 5 0 0 8 e F2 0 1 42 Represente graficamente a a reta definida pelos pontos A2 1 3 e 54 5 2 b o plano definido pelos pontos A0 0 3 52 3 1 e C0 3 4 43 Descreva e represente graficamente os seguintes conjuntos de pontos A x y zx y 0 5 x y zx 2 e y 3 C y z z 1 D xy z x 0 xyzx 2 y 2 1 44 Escreva na forma dos conjuntos A B C do Exercício 43 os pontos pertencentes a a um plano paralelo ao plano xOy e duas unidades acima deste b a uma reta paralela ao eixo x e que intercepta o plano yOz no ponto 0 2 3 45 Um tanque de base retangular tem em metros as seguintes dimensões base 5 x 6 altura 3 Dois terços do volume do tanque são ocupados por água Na superfície superior da água formase uma pequena bo lha de ar A bolha está a igual distância das superfícies das paredes de 5 m de base e em relação às pare des de 6 m de base sua posição é tal que a distância a uma das paredes é o dobro da distância à outra Estabeleça um sistema de coordenadas tendo como origem um dos cantos inferiores do tanque e como um dos planos de coordenadas a parede de base 6 m mais próxima da bolha e dê em relação a este sistema as coordenadas do ponto onde se encontra a bolha 46 Determine as coordenadas dos pontos de interseção dos conjuntos A x y z Z 11 e x y z x 2 y 1 94 Geometria Analítica 42 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam Pxl y z e Qx2 y2 z2 pontos do espaço e Pn e Qn suas projeções no plano xOy Traçando por P o segmento PS paralelo a P0Q0 obtemos o triângulo retângulo PSQ A hipote nusa PQ deste triângulo é dada por V s c T S F D Fig 46 Como o quadrilátero SQQPQP é um retângulo temos cjue SQZt2 2 e que 3 A última igualdade foi obtida aplicandose o teorema de Pitágoras ao triângulo PHQ Substitu indo 2 e 3 em 1 obtemos yjx2xl2Xy2y2 z2z2 O Espaço 95 Este número que é a medida da hipotenusa do triângulo PSQ é chamado distância entre P e Q e indicado por dP Q Isto é por definição dP Qx2 y2yi2 z2 z 2 Exemplo A distância entre os pontos P2 1 0 e Q3 42 é 0 V 3 2 2 412 2O2 V54 A distância entre o ponto Ax y z e a origem 00 0 0 é dA0x2y2z2 43 ESFERA Uma esfera de centro em Cxn yn z e raio r 0 é o conjunto de pontos Px y z do espaço tais que dP Q r Como dPC Jxx0f iyyo izZv2 temos que um ponto Px y z pertence à esfera de centro Cx0 z0 e raio r se e somente se Jixxf iyyy i z 2 r Esta igualdade é equivalente a xxf iyyf izzyr2 que é chamada equação cartesiana da esfera de centro Cx0 y0 z0 e raio r Por exemplo a equação da esfera de centro em 2 1 3 e raio 3 é x22 y l2 z 32 9 Inversamente dada a equação de uma esfera podemos determinar seu centro e seu raio Por exemplo dada a equação x2 y2 z22x4z l 0 completando os quadrados em x y e z podemos escrevêla na forma x l2 y O2 z 22 4 e a partir daí concluir que se trata da equação de uma esfera de centro em 1 0 2 e raio 2 Exercícios 47 Sejam A0 0 1 e Bx 4 1 Determine x para que se tenha dA B 5 96 Geometria Analítica 48 Determine o centro e o raio das seguintes esferas a x2 y2 z2 2x 4y 2z 10 b x2y2 z 2 2y 10z 27 c 2x2 2y2 2z2 2x 6v 6 d x2 y2 z2 3 e x2 y2z2 2xy 1 49 Determine uma equação da esfera que tem por diâmetro o segmento de extremos A803 e B 62 5 410 Determine uma equação da esfera que a é concêntrica com x2 y2 z2 3x 4y 0 e contém o ponto 1 2 3 b contém os pontos 0 0 4 1 2 3 e 0 2 6 e tem o centro no plano xy 411 Mostre que o conjunto dos pontos Px y z tais que dP O 2dP A onde O é a origem e A0 3 0 é uma esfera Determine o centro e o raio desta esfera 412 Determine uma equação da esfera de raio 5 tangente aos três planos do sistema de coordenadas e si tuada no primeiro octante região do espaço onde í 0 y â 0 e z 0 413 Determine uma equação da esfera de centro na origem sabendo que sua interseção com um plano paralelo ao plano xy e distante duas unidades da origem é uma circunferência de raio 3 414 a Mostre que toda esfera tem uma equação da forma x2 y2 z2 ax by cz d 0 I b Dê exemplo de uma equação da forma I cujo gráfico não é uma esfera c Dê condições necessárias e suficientes sobre os coeficientes a b c e d para que a Equação I tenha como gráfico uma esfera 415 Verifique que quaisquer que sejam os valores de 0 e 4 0 0 2 T T e 0 á j i r o ponto r sen J cos 0 r sen sen 0 r cos 4 pertence à esfera de raio r e centro na origem 416 Determine í para que o ponto f t 1 t 2 pertença à esfera de centro 0 1 2 e raio Vl2 44 VETORES NO ESPAÇO No Capítulo 2 definimos um vetor no plano como sendo um par ordenado de números reais Esta definição foi motivada pelo fato de que a cada par x y podemos fazer corresponder uma seta Fato semelhante também se verifica no espaço Como podemos ver na Figura 47 à terna x y z podemos fazer corresponder a seta de O a P Fig 47 O Espaço 97 Definimos um vetor no espaço como sendo uma terna ordenada de números reais x v z e interpretamos a seta OP como sendo sua representação gráfica Indicaremos o conjunto dos vetores do espaço por R3 O vetor O 0 0 0 é o vetor nulo do espaço Sua representação gráfica é a origem do sistema de coordenadas Ain da como acontece no plano em alguns casos é mais conveniente indicar um vetor por uma seta que não parte necessariamente da origem Um exemplo desta situação é o vetor AB x2 x y2 yx z2 definido pelos pontos Ax z e Bx2 y2 z2 cuja representação mais natural é a indicada na Figura 48 O número x2 y2z2 é chamado o módulo do vetor v x y z e é indicado por llvll Observe que o módulo de um vetor é igual ao comprimento da seta que o representa Sejam u xl5 z e v x2 y2 z2 vetores e i u m número real Então u v ku u v respectivamente a soma de vetores o produto de um número por um vetor e o produto escalar de dois vetores são definidos como segue u V x yu Zi x2 y2 z2 x x2 y y2 z z2 98 Geometria Analítica ku kx zi kxx kyx kzx uv x z x2 y2 z2 xx2 y2 zxzv Como se vê estas definições são análogas às suas correspondentes para vetores no plano Todas as propriedades enunciadas no Capítulo 2 para estas operações continuam válidas aqui Con fiamos ao leitor a verificação desta afirmação Ressaltamos de maneira especial a validade da desigualdade de CauchySchwarz para vetores no espaço isto é temse u vl llttll llvll quaisquer que sejam os vetores u e v do espaço veja a Proposição 22 Como fizemos no plano aproveitamos esta propriedade para definir ângulo entre dois vetores a saber se u e v são vetores nãonulos do espaço o único ângulo d1 medido em radianos tal que a 0 9 ir uv b cos 8 é chamado o ângulo entre os vetores uev M Fig 49 Um exercício que esperamos que o leitor faça é provar que o ângulo entre os vetores uev definido acima é exatamente o mostrado na Figura 49 Se o ângulo entre os vetores uev for tt2 radianos dizemos que uev são perpendiculares entre si Da fórmula cos 0 O Espaço 99 deduzimos que u e v são perpendiculares se e somente se u v 0 45 PRODUTO VETORIAL Nesta seção nosso objetivo é determinar um vetor w x y z que seja simultaneamente perpendicular a dois vetores dados u a b c e v a bx c Logo devemos ter u w 0 e v w 0 o que nos leva ao sistema ax by cz 0 axx bty CjZ 0 Este sistema admite uma infinidade de soluções Uma delas é x bê bc y ac ar z ab ayb como pode ser verificado por substituição Portanto o vetor w bc acx abx axb é simultaneamente perpendicular a M a b c e v a bx c Veja a Figura 410 O vetor w é chamado produto vetorial de u por v e indicado por u X v A seguir daremos um método para se calcular o produto vetorial de u a b c por v alr bf c sem o esforço de memória que a fórmula u X v bcx bxc axc act abx axb 100 Geometria Analítica exige Primeiro notamos que se então Agora consideremos i 100 j 010 k 0 0 1 x y z xi yj zk i j k a b e 1 h ci como se fosse um determinante de terceira ordem sobre o conjunto dos números reais Se resol vermos este determinante segundo os elementos da primeira linha obtemos i j k a b e a b q bcx cbxi acx axcj abx baxk bcx bxc ac acu abx axb u X v Exemplo Se u 1 2 4 e v 1 3 5 usando o método apresentado acima temos i j k 1 2 4 1 3 5 2 9j 5k 2 9 5 Portanto u X v 2 9 5 Como se pode verificar a partir da definição o produto vetorial não é comutativo De fato se u ax bx cx e v a2 b2 c2 temos u X v bxc2 b2cx a2cx axc2 axb2 a2bl v X u b2cx bxc2 axc2 a2cx a2bx axb2 de modo que u X v v X u Observe todavia que tanto o vetor u X v quanto o vetor v X u são simultaneamente perpendi culares a uev Veja a Figura 411a Nas aplicações identificamos o sentido de u X y como sen do aquele que um sacarolha avança quando sua extremidade é colocada na origem comum de u e v e ele é girado no sentido de u para v Figura 411 b O Espaço 101 Fig 411 Relativamente à adição a operação produto vetorial é distributiva tanto à direita quanto à esquerda isto é temse u vXw uXw vXw wXu v wXu wXv quaisquer que sejam os vetores u v e w de R3 A multiplicação de um vetor por um escalar satisfaz kyXv uXkv ku X v quaisquer que sejam os vetores n e v e o número k A propriedade associativa não se verifica para o produto vetorial Podese mostrar que u X v X w w uv u vw u X v X w w uv w vu de modo que em geral u X v X w u X v X w Para se demonstrar as propriedades enunciadas anteriormente é suficiente colocar coordenadas genéricas para u v e w realizar as contas indicadas em cada membro da igualdade e comparar os resultados A título de exemplo vamos provar que w X u v W X U W X V Sejam u a b c v a2 b2 c2 e w a b c Então u v a1 a2 bx b2 c c2 102 Geometria Analítica Usando a definição de produto vetorial temos w X u v bct c2 cbl b2 cal a2 acl c2 abj b2 ba a2 bc1 bc2 bxc b2c ac a2c ac1 ac2 abx ab2 ab a2b I Por outro lado como w X u bcl cbíy üfC aci abl atb w X bc2 b2c a2c ac ab2 a2b temos W X M W X V ÍC bc2 bxc b2c Ac a2c acl ac2 abl ab2 axb a2b II Comparando I e II obtemos wXu v wXu wXv Na demonstração da proposição seguinte utilizaremos a igualdade u X vil2 IIMII2 llvll2 u v2 cuja prova pode ser obtida escrevendose as expressões de u X vil2 e de IIMII llvll2 u vf e m termos das coordenadas de u e v e e m seguida verificandose a igualdade Proposição 41 Quaisquer que sejam os vetores nãonulos u ev de R3 temse IIu X vil IIMII llvll sen 6 onde 6 é o ângulo entre uev Prova HM X vil 2 IIMII2 llvll2 M v 2 IIMII2 llvll 2IIMII 2 llvll2 c o s 2 G IIMII2 llvll2 1 c o s 2 6 IIMII2 llvll2 s e n 2 0 De llw X vil2 IIMII2 llvll2 sen 2 0 temos IIu X vil IIMII llvll sen 0 Na Figura 412 representamos o paralelogramo definido pelos vetores u e v isto é o paralelogramo cujos lados são as setas que representam uev O Espaço 103 Fig 412 A área deste paralelogramo como se aprende em Geometria Elementar é dada por Área base X altura No caso a base é llwll e a altura h é h llvll sen 9 Logo a área A é A IIMII llvll sen 0 11 X vil Assim o vetor u X v é tal que seu módulo é numericamente igual à área do paralelogramo defi nido por uev Exemplo Calcule a área do triângulo cujos vértices são A3 2 1 50 2 4 e C4 1 2 Solução A partir do triângulo ABC podemos construir o paralelogramo ABDC veja a Fi gura 413 A área do paralelogramo ABDC que é o dobro da área do triângulo ABC é dada por IIAB X AC II Logo a área do triângulo ABC é AIÍSXÃC1 Como AB 3 4 3 e AC 111 efetuando o produto vetorial encontramos ÃB X AC 1 6 7 Daí Ã5XÃC V86 e a área do triângulo é 2 C D Fig 416 104 Geometria Analítica 46 PRODUTO MISTO O número m X v w onde v e w pertencem ao R3 é chamado produto misto dos vetores u v e w Se u a b c v u2 b2 c2 e w a3 b c3 o produto misto deiivewé dado por u X v w h Ci fl2 Í2 c2 b3 C De fato aplicando a definição de produto vetorial obtemos wXvic2 b2cla2ci afia a2b Logo uXvwbc2 2c a3 a2c a1c2b3a1b2 a2b c3 O segundo membro desta expressão é igual ao determinante ctj è q 2 2 C2 a3 è3 c3 pois é o seu desenvolvimento segundo os elementos da terceira linha Várias propriedades do produto misto podem ser deduzidas a partir das propriedades do de terminante de terceira ordem Por exemplo quando se permutam duas linhas de um determinan te este apenas muda de sinal Logo fazendose duas permutações o determinante não se altera e portanto temos a C a2 b2 Cl 2 b2 Cl 3 h C3 a3 h Ci a Cl Desta igualdade deduzimos a seguinte propriedade do produto misto w X v w v X w u Lembrando que o produto escalar é comutativo podemos ainda escrever u X v w u v X w de modo que no produto misto podemos permutar os sinais e X O Espaço 105 Na Figura 414 vêse o paralelepípedo definido pelos vetores u v e w A base deste paralele pípedo é o paralelogramo definido pelos vetores M e v cuja área é 11 X vil Fig 414 A altura H é dada por H w cosa w uXvw MX vw IIMXvII mXV IW Como o volume do paralelepípedo por definição é V área da base X altura seguese que MX v Portanto o módulo do produto misto dos vetores uvewé igual ao volume do paralelepípedo definido por estes vetores Exemplo O produto misto de u 3 5 7 v 2 0 1 e w 0 1 3 é w X v w 3 5 7 2 0 1 0 1 3 13 106 Geometria Analítica O volume do paralelepípedo definido pelos vetores u v e w é lw X v w 13 Exercícios 417 Dados os vetores u 2 3 1 v 2 2 0 e w 1 3 4 Calcule a u v e v u b u X v e v X u c u X v w e v v X w d u X v X w e u Xv X w e M X v X u X w f u v X w w g o ângulo entre u e v 418 Calcule a área do triângulo cujos vértices são a A0 0 0 B2 3 0 e C0 0 5 b A2 1 1 B2 1 1 e C0 3 5 419 Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u 2 3 1 e v 1 5 3 420 Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u 2 1 1 v 1 3 2 e w 1 4 3 421 Sejam u 1 1 0 v 2 0 1 wx 3u 2v w2 u 3v e w3 í j 2 Determine o volume do paralelepípedo definido por w w2 e vv3 422 Mostre que qualquer que seja o valor de a o módulo do vetor 1 a 1 a 2 é igual à área do paralelogramo definido pelos vetores u 1 1 1 e v 2 a 1 423 Sejam i 1 0 0 j 0 1 0 e k 0 0 1 Mostre que i X j k jXk i kx i j 424 De um vértice de um cubo traçamse uma diagonal do cubo e uma diagonal de uma face a Calcule o ângulo entre as duas diagonais b Calcule a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo 425 Determine os ângulos agudos que a reta definida pelos pontos Al 3 2 e B3 9 6 faz com os eixos do sistema de coordenadas 426 Sejam u 2 1 3 e v 1 2 1 a Determine um vetor unitário simultaneamente perpendicular a u e v b Determine um vetor w perpendicular a u e v e tal que llwll 5 427 Mostre que se u e v são vetores de direções diferentes e x y x e y são números tais que xu vv xxu yxv então x xx e y y 428 Os ângulos a 3 e y que o vetor nãonulo u x y z faz respectivamente com os vetores 2 100 j 010 e k 001 veja a Figura 415 são chamados ângulos diretores do vetor u Mostre que x n y z a cosa cos3 cosy z Fig 415 O Espaço 107 b cos2a cos2p COS 27 1 429 Verifique que a u v x w u w X v b u u x v 0 430 Sejam uev vetores unitários e perpendiculares entre si Demonstre que n X v 1 431 Seja u um vetor perpendicular a v e w Sabendo que v e w formam um ângulo de 30 e que M 6 v 3 e w 3 calcule u v X w 433 Seja a o plano gerado pelos vetores u e v isto é a é o conjunto dos pontos P de R3 tais que OP xu yv x y e R Mostre que se u e v são unitários e perpendiculares a projeção ortogonal de um vetor w de R3 sobre o plano a é dada por w w uu w vv 434 Determine a projeção do vetor w 2 1 3 sobre o plano a yz b definido pelos pontos 00 0 0 A2 3 1 e B3 2 0 435 Sejam ABCD EACEF dois paralelogramos tais que AF BD os lados de ACEF são as diagonais de ABCD Que relação existe entre as áreas destes dois paralelogramos 47 EQUAÇÃO DO PLANO Sejam Axn y0 z0 um ponto do espaço e v a b c um vetor nãonulo Passando por A existe um único plano a perpendicular ao vetor v veja a Figura 416 Isto significa que qual quer que seja o ponto Px y z de a o vetor AP é perpendicular a v Ou seja o ponto P pertence a a se e somente se AP v 0 Como AP x x0 y y0 z z0 temos ax x0 by y0 cz z0 0 I que é a equação cartesiana do plano a Fig 416 108 Geometria Analítica Exemplo Equação do plano que contém o ponto A30 4 e é perpendicular ao vetor v 562 Solução Sendo v perpendicular ao plano segue que v AP 0 qualquer que seja o ponto Px y z do plano Portanto 5 6 2 x 3 y 0 z 4 0 ou 5x 6y 2Z 7 que é a equação do plano Exemplo Equação do plano definido pelos pontos A3 1 2 55 2 1 e C2 0 2 Solução Conforme vimos na dedução da Equação I para escrevermos a equação de um plano necessitamos de um ponto do plano e de um vetor perpendicular ao plano Como mostra a Figura 417 o vetor AB X AC 7 11 1 é perpendicular ao plano definido por A B eC Fig 417 Portanto uma equação deste plano é 7x 3 lly 1 lz 2 0 ou 7x lly z 12 Na dedução dessa equação utilizamos o ponto A como origem dos vetores AB e AC Se utili zarmos o ponto B ou C vamos encontrar a mesma equação Exemplo Equação do plano mediador do segmento AB dados Al 3 2 e 53 54 Solução O plano mediador de AB é o plano perpendicular a AB e que contém o seu ponto mé dio Um vetor perpendicular a este plano é AB 2 2 6 e um ponto do plano é o próprio ponto médio de AB a saber 2 4 1 Logo a equação procurada é 2x 2 2y 4 6z 1 0 ou x 3z 9 O Espaço 109 Como vimos nos exemplos anteriores é comum efetuar as operações indicadas na Equação I e apresentála na forma ax by cz d II onde d ax0 by0 cz0 Observe que o vetor a b c cujas coordenadas são os coeficientes das variáveis x y e z é perpendicular ao plano cuja equação é II e que a constante d depende somente de a bece de um ponto conhecido x0 y z0 do plano Assim para se escrever a equação cartesiana de um plano é necessário e suficiente conhecer um ponto deste plano e um vetor perpendicular a ele Exemplo Interseção do plano a de equação 2x 3 y z 6 com os eixos do sistema de coordenadas Solução Como todo ponto do eixo x é da forma x 0 0 basta fazer na equação dada y 0 e z 0 e calcular o correspondente valor de x O ponto é 3 0 0 Usando um argumento semelhante encontramos os pontos 0 2 0 e 0 0 6 que são respectivamente as interseções com os eixos y e z O plano a pode ser representado pelo triângulo cujos vértices são as interse ções com os eixos Veja a Figura 418 Fig 418 Exemplo A Figura 419 mostra um esboço do plano cuja equação é 2x 4y 8 110 Geometria Analítica Este plano é paralelo ao eixo z pois nenhum ponto da forma 0 0 z satisfaz sua equação Suas interseções com os eixos x e y são respectivamente 4 0 0 e 0 2 0 Observe que um vetor perpendicular a este plano é 2 4 0 pois sua equação pode ser escrita na forma 2x 4y 0z 8 Em geral as equações da forma ax by d são equações de planos paralelos ao eixo z Os planos paralelos ao eixo y têm equações da forma ax cz d e os planos paralelos ao eixo x têm equações da forma by cz d Exemplo A equação y 2 pode ser reescrita assim 0x0 1 y2 0z0 0 1 Comparando 1 com a Equação I concluímos que y 2 é a equação de um plano que contém o ponto 0 2 0 e é perpendicular ao vetor 0 1 0 Como o vetor 0 1 0 é perpendicular ao plano xz seguese que y 2 é a equação de um plano paralelo a xz Veja a Figura 420 O Espaço 111 Em geral os planos cujas equações são da forma y k são paralelos a xz Podese deduzir também que x kez k são equações de planos respecti vamente paralelos aos planos yz e xy Exemplo Sejam u e v vetores de direções diferentes e A um ponto do espaço Sejam r e r2 as retas que contêm A e são respectivamente paralelas a u e v Se a é o plano definido por r e r2 veja a Figura 421a então a um ponto P pertence a a se e somente se existem números s e t tais que AP su tv b u X v é perpendicular a a Solução Consideremos um ponto P e por ele tracemos as retas r e r2 respectivamente paralelas a re r2Figura 42lbP pertence a a se e somente se as retas r e re r2 e r forem concorrentes Sejam P a interseção de r com r 2eP 2 a interseção de r2 com r Aplicando a regra do paralelogramo em APlPP2 obtemos ÃP AP ÃP2 Como u e APi têm a mesma direção existe um número s tal que AP su 112 Geometria Analítica Da mesma forma como v e AP têm Logo a mesma direção existe um número t tal que AP2 tv ia APAP ÃP2 su tv Fig 421 b Parte b Basta mostrarmos que u X v AP 0 qualquer que seja P pertencente a a Como temos AP su tv uXvAP x v su tv suXv u tu X v v 0 48 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO s Z 7 T C c P n v T f Um f V e t 0 r M SeeX1Ste e m u m a a direção de l j C a v e t o r e s com direções diferentes Conforme vimos no O Espaço 113 exemplo anterior um ponto Px y z pertence ao plano que contém Axt y0 z e é paralelo aos vetores w e v se e somente se existem números s e t tais que AP su tv Escrevendo esta igualdade em função das coordenadas de A P ue v obtemos x x0y y0 z Zo sat b c ta2 b2 c2 ou x x0 fljí a2t y yo V b2t z Zo cxs c2í que são chamadas equações paramétricas do plano Exemplo Equações paramétricas e cartesiana do plano que contém o ponto A2 3 1 e é paralelo aos vetores u 3 4 2 e v 2 2 6 Solução Equações paramétricas x 2 3s 2t y 3 As 2t z 1 2s 61 Equação cartesiana Como u X v 28 14 14 é um vetor perpendicular ao plano a equa ção procurada é 28x 2 140 3 14z 1 O ou 2xyz 2 49 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Seja r a reta que contém o ponto Ax0 y0 z0 e é paralela ao vetor v a b c Figura 422 Um ponto Px y z pertence à reta r se e somente se ÁP tv onde t é um número real Em termos de coordenadas temos x x0 y0 z z0 ta b c que é equivalente a x v z x0 at y0 bt x0 ct 114 Geometria Analítica que são chamadas equações paramétricas da reta r Exemplo As equações paramétricas da reta que contém o ponto A 2 1 3 e é paralela ao vetor v 3 2 2 são jt 2 31 y 1 2t z 3 21 Para se obter um ponto desta reta basta atribuir a t um valor particular Por exemplo para t 2 temos 8 3 z 1 Portanto 8 3 1 é um ponto da reta O ponto A2 1 3 pode ser obtido atribuindose a t o valor zero Já o ponto 2 3 5 não pertence à reta pois para nenhum valor de t se tem 2 2 3f 3 121 5 3 21 visto que o valor de í que satisfaz a primeira equação isto é t 0 não satisfaz as duas últimas Exemplo Reta Definida por dois Pontos Já sabemos que para se escrever as equações paramétricas de uma reta é necessário e suficiente conhecer um ponto da reta e um vetor a ela pa ralelo No caso de a reta ser definida por dois pontos digamos A 110 e 5235 um vetor para lelo é AB 1 2 5 O Espaço 115 O ponto da reta pode ser escolhido como sendo A ou B Escolhendo o ponto Al 10 obtemos Tanto o sistema I quanto o II são formados pelas equações paramétricas da reta definida pelos pontos A e B Embora eles sejam diferentes são equivalentes no sentido que em se atribuindo valo res a t obtemos pontos da mesma reta Por exemplo atribuindo a í o valor 1 no sistema I obtemos o ponto Pj2 3 5 e no sistema II obtemos o ponto P3510 Esses dois pontos pertencem à reta definida por A e B Observe que o ponto P pode ser obtido do sistema II atribuindose a i o valor zero e o ponto P pode ser obtido do sistema I atribuindose a i o valor 2 Exemplo Determine o centro e o raio da circunferência interseção do plano 2 x y 2z 5 com a esfera x l2 y 2 f z l2 4 Solução O centro da esfera é o ponto 012 1 Seja Cxf y0 z0 o centro da circunferência Então onde t é algum número real pois os vetores 2 1 2 e OC têm a mesma direção por serem ambos perpendiculares ao plano 2x y 2z 5 x 1 t y 1 2t z 0 5 I Escolhendo o ponto 52 3 5 obtemos x 2 f y 3 2t z 5 5í II OC x0 13o 2 z0 1 t2 1 2 Fig 423 Logo x0 1 21 y0 2 t z0 1 21 116 Geometria Analítica Sendo Cx0 y z um ponto do plano podemos substituílo em sua equação Isto nos dá 21 2z 2 t 2l 20 5 Logo 1 3 Portanto as coordenadas do centro são v 1 2 0 3 3 1 7 2 0 3 3 zn 1 2 0 3 3 Para calcularmos o raio r da circunferência aplicamos o teorema de Pitágoras ao triângulo OCP da Figura 423 Neste triângulo a hipotenusa é o raio da esfera e portanto igual a 2 Como OCd 0C 1 temos 4 1 3 e r V 3 Exercícios 436 Escreva uma equação do plano que contém o ponto 1 1 1 e é perpendicular ao vetor 2 1 8 437 Escreva uma equação do plano definido pelos pontos a A2 1 3 50 2 1 e C 1 3 2 b A0 0 0 52 10 e Cl 0 0 c A0 0 2 51 2 2 e Cl 0 2 438 Escreva uma equação do plano definido pelo ponto 21 3 e a interseção do plano 2x y z 2 com o plano xy 439 Escreva uma equação do plano a paralelo ao eixo z e que contém os pontos 2 0 0 e 0 3 2 b paralelo ao eixo y e que contém os pontos 2 1 0 e 0 2 1 c paralelo ao plano yz e que contém o ponto 3 4 1 d perpendicular ao eixo z e que contém o ponto 1 11 440 Determine uma equação do plano cujas interseções com os eixos do sistema de coordenadas são os pontos 3 0 QMQ 2 0 e0 0 3 441 Deduza uma equação do plano definido pelo eixo z e pelo ponto 4 4 1 442 Escreva as equações paramétricas da reta definida pelos pontos a A2 1 3 e 51 3 7 b A0 0 0 e 50 5 0 c Al 1 0 e 52 2 0 O Espaço 117 443 Escreva as equações paramétricas da reta que contém o ponto A 2 1 0 e é perpendicular ao plano 2x y z 0 444 Dados A2 3 6 e 64 1 2 escreva uma equação do plano mediador do segmento AB 445 Determine o lugar geométrico dos pontos do espaço eqüidistantes de A21 3 520 3 e C0 3 1 446 Deduza as equações dos planos bissetores dos ângulos formados pelos planos xz e yz 447 Escreva uma equação do plano tangente à esfera x2 y1 z2 6 no ponto Pd 2 1 448 Dados a esfera x2 y2 z2 9 e os pontos P 1 1 e 02 2 3 a verifique que P está no interior e que Q está no exterior da esfera b determine as interseções da esfera com a reta definida pelos pontos P e Q 449 a Verifique que o ponto A2 4 1 pertence à esfera x2 y1 z2 21 b Determine o ponto B tal que AB seja um diâmetro desta esfera 450 Dados A2 1 3 54 1 1 e C0 0 0 escreva ás equações paramétricas da reta que contém a me diana relativa ao lado AB do triângulo ABC 410 INTERSEÇÃO DE PLANOS Exemplo Interseção dos planos 2x 3y z 1 e x 2y 3z 0 Solução Sabemos que a interseção de dois planos é uma reta Para escrevermos as equações paramétricas desta reta necessitamos conhecer dois de seus pontos ou um de seus pontos e um vetor a ela paralelo Um ponto da interseção é um ponto que satisfaz simultaneamente as equa ções dos dois planos isto é é uma solução do sistema 2x 3y z 1 x 2y 3z 0 s Em termos de z a solução do sistema s é 2 11 z 7 7 1 5 7 z 1 Portanto os pontos da interseção são da forma 2 11 1 5 xyz jzjjzzl l Atribuindo valores a z encontramos soluções particulares do sistema s e portanto pontos da interseção dos planos dados Por exemplo para z 0 temos o ponto P027170 e para z 1 o ponto P97 671 Logo a interseção dos planos dados é a reta definida pelos pontos P0 e Pv Suas equações paramétricas são 2 11 X7 T 1 5í 7 7 y z 0 í 118 Geometria Analítica Observe que estas equações podem ser obtidas diretamente de 1 fazendose z t 411 INTERSEÇÃO DE RETAS E PLANOS Exemplo Determine a interseção da reta x 32t y 1 t z 2 3t com o plano x 4y z 2 Solução Dizer que um ponto lx y z pertence à interseção da reta com o plano dado signi fica que ele satisfaz simultaneamente as equações x 3 2t y t z 2 3t x 4y z 2 0 Substituindo as três primeiras equações do sistema na última obtemos 3 2r 41 t 2 3t 2 0 e daí t 1 Logo x 3 2 1 1 1 1 2 z 2 3 1 5 Portanto 71 2 5 é o ponto de interseção Pode acontecer que o sistema formado pelas equações paramétricas da reta e a equação do plano não tenha solução Neste caso a reta é paralela ao plano Quando o sistema admite infini tas soluções a reta está contida no plano 412 INTERSEÇÃO DE RETAS Duas retas no espaço podem ser concorrentes reversas ou paralelas As retas x 1 21 x 4s r y 1 t s y 2 2s z 5 3t z 8 6s por exemplo são paralelas porque ambas são paralelas ao vetor 2 1 3 Já as retas x 3 r x 2 s r y 2 1 s y 3 2s Z 1 4t z 1 2s O Espaço 119 não são paralelas visto que os vetores 1 14 e 1 2 2 não têm a mesma direção Logo r e s são concorrentes ou reversas São concorrentes se o sistema x 3 t y2t z 1 4 t x 2 s y 3 2s z 1 2s tiver solução e reversas em caso contrário Da primeira e quarta equações obtemos f s 1 e da segunda e quinta equações obtemos t 2s 5 Resolvendo o sistema ts 1 t 2s 5 encontramos t 1 s 2 Substituindo estes valores nas equações z 1 4t z 1 2s que não foram usadas no cálculo de t e s encontramos z l 4 1 5 z 1 2 2 5 Como os valores de z dados por estas equações coincidem concluímos que r e s são concor rentes no ponto 14 1 5 Se os valores de 1 4í e z 1 2s não coincidissem as retas r es seriam reversas 413 DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO Na Figura 424 ré a reta que contém o ponto Peé perpendicular ao plano a e é a interseção de r com a O ponto 7 é chamado projeção ortogonal de P sobre a 120 Geometria Analítica r P I Fig 424 A distância de P a I dP I é a distância de P a a que será indicada por dP a Vamos mostrar que sc ax by cz d 0 é a equação de a então a distância de P0x0 y ZQ a A é dada por Por exemplo a distância do ponto P2 4 1 ao plano a de equação x 5v 3z 13 0 é J r n 25431131 12 12V35 dPa1 L Vl25232 V35 35 Para deduzir a fórmula acima inicialmente observamos que dPIPl e que PI ta b c para algum número t pois PI e a b c têm a mesma direção por sere ambos perpendiculares ao plano a Logo dPa flx0Zy0cz0j 4a2 b2c2 dP Jía b c 4a2b2cr D Por outro lado sendo fe y zJ as coordenadas de I temos PI x Xo y y0 z ZQ ta b c Logo xt x0 at i y 0 bt Zt z0 ct e como x y z pertence ao plano a temos ax0 at bt cz0 cí d 0 O Espaço 121 Resolvendo esta equação encontramos ax0 by0 czg d 2 72 T a b c Substituindo 2 em 1 obtemos finalmente ax0by0cz0d 2 dPI a2b2c2 4a2b2c2 ax0by0cz0d 4a2b2c1 414 DISTANCIA DE UM PONTO A UMA RETA Para determinar a distância de um ponto P a uma reta r procedemos assim primeiro traça mos por P um plano perpendicular a r e cm seguida determinamos o ponto I de interseção deste plano com r É fácil de se ver que dP 7 é a menor distância do ponto P à reta r Veja a Figura 425 Fig 425 Exemplo Calcular a distância do ponto P 1 2 1 à reta x 1 2t r y5t z 2 31 Solução A equação do plano que contém o ponto Pl 2 1 e é perpendicular à reta r é 2x 1 y 2 3z 1 0 ou 2x y 3z 3 0 pois 2 1 3 é um vetor perpendicular ao plano por ser paralelo à reta r A interseção deste plano com r é o ponto 13 32 5 T T 1 122 Geometria Analítica Logo n l j 7 v 7 7 Outra Solução A distância de Pl 2 1 a um ponto qualquer de r 1 2t 5 1 2 31 é dada por dP rdP I j 13Yf232y r 15Y 72f2 31 2 1 3f2 Vl4í2 12í 10 A distância de P a r é portanto a raiz quadrada do mínimo da função ft 1412 121 10 Para determinála podemos utilizar derivadas ou observar que o gráfico desta função é uma parábola e que seu mínimo é a ordenada do vértice Utilizando um destes procedimentos obte mos 3 7 Substituindo este valor de í em Vl4í2 12 10 encontramos que é a distância de P a r 415 DISTÂNCIA ENTRE RETAS REVERSAS Dadas as retas reversas r e i tracemos por um ponto P de uma delas s por exemplo uma reta s paralela a r O plano a definido por s e é então paralelo a r Portanto a distância de um ponto qualquer de r a a é constante Esta constante é a menor distância entre r e s veja a Figura 426 De fato seja r a projeção de r sobre a ei um ponto de r Por I tracemos uma perpendicular a r que a intercepta em QSePé um ponto qualquer de v temos 2 2 2 IP IQQP pois o triângulo IQP é retângulo em Q Logo 1P21Q2OU1P1Q O Espaço 123 Como IQ é a distância de r a a segue da última desigualdade que a distância da reta r ao plano a é menor do que ou igual à distância entre dois pontos quaisquer de r e P de í I r Fig 426 Exemplo Determine a distância entre as retas reversas x 2 t x 5 41 ry 13t sy 65t z 1 2t z 4 3t Solução Primeiro por um ponto de s 5 64 por exemplo tracemos a reta j paralela a r Como o vetor 132 X 4 53 157 é perpendicular ao plano a definido por ses uma equação de a é x 5 5y 6 7z 4 0 ou x 5y 7z 53 Tomemos agora um ponto qualquer de r P2 t 1 3t 1 4 2t Aplicando a fórmula da dis tância de um ponto a um plano obtemos dP a 25 130712Q531 J p 5272 V75 que é a menor distância entre as retas r e s Exercícios 451 Escreva equações paramétricas da interseção dos planos a 2x y z 0 e x y z 1 b x 2y 1 e z 2 124 Geometria Analítica 452 Determine o ponto de interseção da reta x 1 í y 2 z 4 2 t com cada um dos seguintes planos a x 2y 3z 8 b 2x z 5 c x 2 453 Verifique que a reta x 1 t y23t z 51 está contida no plano 2x y z 0 454 Verifique que a reta x 2 2t y t z 2 3 não intercepta o plano x y z 3 455 Determine os valores de a e b para que as retas x 1 at r y 2 bt z 1 21 sejam a paralelas b concorrentes c reversas 456 Determine os valores dea be d para que o plano ax by 3z d seja a paralelo ao plano 2x y 5z 4 b represente o mesmo plano que 2x y 5z 4 457 Verifique que as retas x 1 t x 2 21 r y 2 1 s y 5 31 z 5 t z 2 2t são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido 458 Determine a distância do ponto 2 1 3 a cada um dos planos ax 2y z 1 b x y z 0 c x 5z 8 459 Determine a a distância do ponto 5 4 7 à reta x 1 5 s y 2 1 z t b a distância do ponto 2 3 5 a cada um dos eixos do sistema de coordenadas 460 Escreva uma equação do plano que contém o ponto 1 2 3 e é perpendicular a cada um dos planos 2x yz 2 e x y z 3 461 Escreva as equações paramétricas do plano paralelo ao eixo z e que contém a interseção dos planos x 2y 3z 4 e 2x y z 2 462 a Determine as equações paramétricas da projeção da reta x 3 3 í r 1 t z 3 2t x 2 t sy 1 bt z 1 21 O Espaço 125 sobre o plano a 2x y 1z 1 b Determine o ângulo da reta r com o plano a 463 Escreva as equações paramétricas e cartesiana do plano que contém a reta x 1 2 r y 23t z 2 2t e é perpendicular ao plano a de equação 3x 2y z 5 Este plano é chamado plano projetante de r sobre a 464 Determine o ângulo agudo entre as retas x 1 21 x 4 t r y 2 1 s y 2 t z 3 t z 5 t 465 Determine o ângulo agudo entre os planos 2x y 3z 0 e x y Sy 1 466 a Verifique que qualquer ponto da reta x 2 r y 2 t z 3t é eqüidístante de Al 2 1 Bi 4 3 e C3 2 1 b Determine o ponto de r mais próximo destes pontos 467 a Dados os pontos A21 1 Bl 2 leC3 2 4 determine no plano 2x y 5z 2 um ponto equidistante dos vértices do triângulo ABC b Determine o circuncentro do triângulo ABC 468 Dados A213B411 e o plano a de equação 2x y 2z 3 determine as equações paramétricas de uma reta r de a tal que todo ponto de r é eqüidistante de A e B 469 Escreva as equações paramétricas da bissetriz do ângulo menor das retas x t x 6 1 r yt s y 2 2t z lt Z 1 t 470 Determine o simétrico do ponto P2 1 3 em relação a ao ponto 03 1 1 b à reta x 12 í y t z 2 r c ao plano 2x 2y 3z 2 471 Escreva as equações paramétricas da simétrica da reta x 3 2t y 2 3t z 2 f em relação ao plano x 2y 3z 1 472 Escreva as equações paramétricas da reta que contém o ponto P1 3 5 e é concorrente com as retas x 1 3í x 2 21 r y 3 2t s y 1 3r z 2 1 Z 1 5r 473 Dadas as retas reversas x 2 1 x t y 1 3í s y 4t z 5 f z 2 3t 126 Geometria Analítica determine a a menor distância entre r e s b as equações paramétricas da perpendicular comum às retas res 474 Prove que o vetor a b c X as Z c é paralelo à interseção dos planos ax by cz d e atx by cz dv 475 Demonstre que se a b c é unitário então a distância do plano ax by cz d à origem é d 476 Determine o ponto do plano ax by cz d mais próximo da origem 477 a Determine a distância de uma diagonal de um cubo a cada uma de suas arestas b Unindose o centro de uma face de um cubo com os vértices da face oposta obtémse uma pirâmide de base quadrada Determine os ângulos entre os planos das faces da pirâmide 478 Escreva uma equação do plano paralelo a 2x y 6z 4 e tangente à esfera x1 y2 z2 Ax 2y 4 479 Determine o centro e o raio da circunferência da interseção da esfera x2 y2 z2 25 com o plano 2x y z 4 480 O movimento de uma partícula é tal que no instante t sua posição é Pt 1 t 1 2t t a Em que instante a partícula está mais próxima da esfera x2 y2 z2 1 b Qual é o ponto desta esfera mais próxima da trajetória da partícula CAPÍTULO I QUADRICAS No Capítulo 3 estudamos gráficos de equações quadráticas com duas variáveis Vimos que através de mudanças de coordenadas rotação e translação é possível colocar uma tal equação numa das formas canónicas e identificar a cónica que ela representa Neste capítulo nosso obje tivo é também estudar gráficos de equações quadráticas só que agora com três variáveis Mais precisamente equações da forma Osjgáficos de taisequações se diferentejdo conjunto vazjo são superfícies chamadas quádricas O estudo que a seguir apresentaremos consistirá em identificar e esboçar uma quádrica co nhecida sua equação Como motivação vamos iniciar introduzindo alguns exemplos especiais nos quais se deduz a equação da quádrica Exemplo Elipsóide de Revolução A superfície gerada pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos chamase elipsóide de revolução Para deduzirmos uma equação desta superfície vamos supor que a equação da elipse no pla no yz seja e que a rotação se dê em torno do eixo z Seja Px y um ponto qualquer da superfície Então P pertence a uma circunferência des crita por um ponto Q da elipse ao girar em torno do eixo zSeRéo centro de tal circunferência em função das coordenadas de Px y z as coordenadas âe R eQ são R 00 z e Q0 y z onde Ax2 tíf Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Jz R I 51 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO y2 z2 f j t 1 x 0 b c D 128 Geometria Analítica pois o ponto 20 V z pertence à elipse Como PR2 QR2 seguese que yx2 y2 que introduzido em 1 produz a equação procurada z v o 1 Ni y i i Fig51 Se a elipse tivesse sido girada em torno do eixo y a equação do elipsóide seria como o leitor pode verificar Observe ainda que se b c a elipse reduzse a uma circunferência e o elipsóide a uma esfera Em geral uma superfície gerada pela rotação de uma curva plana C em torno de um eixo chamase superfície de revolução Como no exemplo que acabamos de examinar na Figura 52 estamos supondo que a curva C está contida no plano yz e que o eixo de rotação é o eixo z do sistema de coordenadas Na mai oria dos casos a equação de C pode ser escrita assim Fy z 0x 0 no exemplo Fy z y2b2 1c1 1 Quádricas 129 Para deduzirmos uma equação da superfície gerada pela rotação de C em torno do eixo z vamos seguir os mesmos passos do exemplo anterior Primeiro tomamos um ponto Px y z da superfície O fato de a superfície ser de revolução significa que Px y z pertence a uma circun ferência descrita por um ponto Q de C ao girar em torno do eixo z Na figura indicamos o centro desta circunferência por R O segundo passo é determinar as coordenadas de Q e R em função de x y e z Como a circunferência descrita por Q está contida num plano paralelo ao plano xy as terceiras coordenadas de P Q e R são iguais Estando R no eixo z segue que R00 z A primei ra coordenada de Q é zero porque C está contida no plano yz Da relação PR QR deduzimos que a segunda coordenada y de Q satisfaz yx2y2 1 Como 20 yhz pertence à curva C segue que Fy Z 0 2 Introduzindo em 2 o valor de yh dado por 1 obtemos uma relação emx yez que se verifica para todos os pontos Px y z da superfície gerada pela rotação de C em torno do eixo z Segue se portanto que í z0 onde yfx2y2 é uma equação desta superfície Exemplo Equações das superfícies geradas pela rotação da hipérbole 130 Geometria Analítica Tlr l x 0 b c em torno de um de seus eixos de simetria Veja na Figura 53 o esboço e os nomes destas superfícies t 1 j hiperbolóide de uma folha I hiperbolóide de duas folhas Fig 53 Como demonstramos uma equação da superfície gerada pela rotação da curva Fy z 0 x 0 em torno do eixo z é dada por J i z O onde yf y2x2 Por analogia concluise que uma equação da superfície gerada pela rotação desta mesma curva em torno do eixo y é 2 v2 j 2 Neste exemplo Fyz1 0 onde z2 x2 z2 y2 z2 b2 c2 Quádricas 1 Logo uma equação do hiperbolóide de revolução de uma folha é y2 x2 z2 2 2 2 x yz z b2 1 ou b2 b 2 c 2 e uma equação do hiperbolóide de revolução de duas folhas é y2 2 v2 i F o u Se a curva C está contida no plano xy sua equação é da forma Neste caso como o leitor pode verificar uma equação da superfície gerada pela rotação de C torno do eixo x é Fx 0 onde y y2 z1 Exemplo Uma equação da superfície gerada pela rotação da parábola x y2 z 0 em torno do eixo x é Fxyí 0 sendo y2y2 z2 Fig 54 Aqui Fx yx v2 de modo que Fxy1 x y f 132 Geometria Analítica Logo a equação procurada é x y1 z2 0 ou x y2 z2 Esta superfície chamaseparabolóide de revolução Veja a Figura 54 Cone de Revolução Chamase cone de revolução a superfície gerada pela rotação de uma reta em torno de outra que a intercepta Na Figura 55a consideramos a reta r girando em torno da reta ç O ponto interseção de r e é o vértice do cone e a reta í é chamada eixo do cone Fig 55 Para deduzirmos a equação do cone vamos estabelecer um sistema de coordenadas em que o eixo z coincide com o eixo do cone e o plano yz contém a reta r Portanto no plano yz uma equação de r é y mz x 0 onde m é a tangente do ângulo a formado pelas retas res Assim temos Fy z y mz 0 Como a rotação se dá em torno do eixo z a equação do cone é Fyi z y mz 0 sendo yfx2y2 ou x2 y2 m2z2 Quádricas 133 Outra solução Seja Px y z um ponto qualquer do cone Então o ângulo entre os vetores IP e S onde Sé qualquer vetor paralelo ao eixo do cone é a ou ir a conforme P esteja acima ou abaixo do vértice I Veja a Figura 55b Como COSTR a c o s a escolhendo S como sendo 0 0 1 temos IP S z pois IP x y z Mas cos a yjl 1 2 porque 0 m 1 é um vetor paralelo a r e 001 é paralelo a s Introduzindo 2 em 1 e elimi nando os radicais obtemos x2 y2 m2z2 Observação A segunda solução apresentada aplicase também ao caso em que o ponto de concorrência das retas r e s não coincide com a origem Veja Exercício 56 Cilindro de Revolução A superfície gerada pela rotação de uma reta r em torno de uma reta s sendo res paralelas é chamada cilindro de revolução ou cilindro circular a è Fig 56 134 Geometria Analítica Vamos deduzir uma equação do cilindro em relação a um sistema de coordenadas que con tém s como eixo z Seja R a distância entre r es Então um ponto Px y z pertence ao cilindro se e somente se dP s R Mas dP s dP Q onde Q0 0 z Logo Px y z pertence ao cilindro se e somente se Jx2 y2 R ou x2y2 R que é a equação procurada Observe que a variável z não aparece nesta equação Isto significa que independentemente do valor de z um ponto Px y z pertence ao cilindro se e somente se as suas duas primeiras coordenadas satisfazem a equação x2 y2 R2 Ora a projeção do ponto Px y z sobre o plano xv é o ponto x y 0 Portanto Px y z pertence ao cilindro se e somente se a sua projeção pertence à circunferência X2 y2 R2 z 0 Observe também que se tivéssemos escolhido o sistema de coordenadas de modo que o eixo y coincidisse com a reta s a equação do cilindro seria x2 z2 R2 ou ainda y2 z2 R2 se a reta s fosse o eixo x Exercícios 51 Determine as coordenadas do centro da circunferência descrita pelo ponto Px y z ao girar em torno do eixo a x b y c z 52 Determine as coordenadas de um ponto genérico da circunferência descrita por Q2 3 5 ao girar em torno do eixo y 53 Determine a interseção do plano x 2 com a circunferência descrita pela rotação do ponto Q2 14 ao girar em torno do eixo z 54 Escreva uma equação da superfície gerada pela rotação a da elipse em torno de seu eixo maior b da elipse Quádricas 135 em torno do eixo z c da parábola x y2 z 0 em torno de seu eixo d da parábola z 4x2 y 0 em torno do eixo z e da hipérbole y2 z 2 16 9 em torno do eixo z 55 Deduza uma equação da esfera de centro na origem e raio r girando a circunferência x1 y1 r2 z 0 em torno do eixo x 56 Escreva uma equação do cone gerado pela rotação da reta r em torno da reta s onde x 2 t xl2t r y 4 5t s y 2t z 3 t z 3 t 57 a Deduza uma equação da superfície gerada pela rotação da curva z y2 4y x 0 e y 0 em torno do eixo z b Descreva a interseção da superfície obtida em a com o plano yz c Descreva a interseção da superfície obtida em a com o plano z k Discuta os casos k 0 k 0 e fc 0 58 Deduza uma equação do cilindro de revolução gerado pela rotação da reta r em torno da reta s sendo x 2 x 3 r y 3 s y 0 z t Z t 59 Deduza uma equação da superfície gerada pela rotação da curva z sen y 0 s 2ir em torno do eixo y 52 FORMAS CANÓNICAS Como o leitor deve ter observado as equações das quádricas deduzidas nos exemplos anteri ores são casos particulares da equação Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Jz R I Outro caso particular desta equação já estudado ocorre quando os coeficientes A B C D Et F são nulos Nestas condições I reduzse a Gx Hy Jz R e seu gráfico é como já vimos um plano Pode também acontecer de o gráfico de I reduzirse a um ponto Por exemplo na equação 2x2 4y2 z2 0 ou y2 0 136 Geometria Analítica isto se dá Antes ainda de analisarmos o caso geral passemos às equações do tipo I que possuem como particularidade o fato de que todos os termos que contêm uma determinada variável têm coefi cientes nulos Tais equações ficam assim reduzidas a duas variáveis Por exemplo se os coefi cientes da variável z são todos nulos a equação toma a forma Neste caso z é livre isto é x0 0 ZQ satisfaz Jx y 0 se e somente se Ãx0 yo o Isto significa que se o ponto x0 y 0 satisfaz a equação ÍU y 0 a reta x0 Z z qualquer está contida no seu gráfico Portanto tal gráfico é o conjunto de todas as retas x0 0 z onde fix0 0 0 Observe também que sendo o conjunto dos pontos x0 00 tais que x0 y0 0 que é o mesmo que o conjunto dos pontos x y z tais que z 0 uma cónica C no plano xy o gráfico de jx y 0 pode ser imaginado como sendo a superfície gerada deslocandose uma das retas x0 y0 z sobre C paralelamente ao eixo z Exemplo Gráfico de Neste caso temos x2 v2 fx y10 J y 4 9 Quádricas 137 e a cónica C é a elipse mostrada na Figura 57a Na Figura 57b temos o gráfico de Imagine esta superfície como sendo gerada deslocandose a reta r sobre C paralelamente ao eixo z Quando a variável ausente na Equação I é x ou y a análise é análoga No primeiro caso temos equações da forma fíyz 0 e o gráfico é a superfície constituída das retas x y0 Zo onde fty0 z0 o Neste caso M z 0 z 0 é uma curva no plano yz e o gráfico de fiy 0 é a superfície descrita por uma reta que se desloca sobre esta curva paralelamente ao eixo x Exemplo Gráfico dc v z1 138 Geometria Analítica Aqui temos fxz yz2 0 No plano yz fly z 0 x 0 ou y z2 x 0 é uma parábola e o gráfico de y z2 é a superfície esboçada na Figura 58 Esta superfície chamase cilindro parabólico reto A superfície esboçada na Figura 59 é o gráfico de Ela se chama cilindro hiperbólico reto Observe que a equação é do tipo I onde os coeficientes de y são todos nulos Quádricas 139 Em geral os gráficos das equações do tipo I cujos coeficientes de uma das variáveis são todos nulos são superfícies chamadas cilindros retos A cónica que se obtém fazendose a inter seção deste cilindro com o plano t 0 sendo t a variável ausente na equação do cilindro é chamada diretriz do cilindro Conforme a diretriz seja uma elipse parábola ou hipérbole o cilindro é chamado elíptico parabólico ou hiperbólico Exemplo Nas Figuras 510 e 511 estão esboçados os cilindros cujas equações são 2y2 z2 4y 6z 7 0 1 x2 y2 2 Fig 510 Fig 511 140 Geometria Analítica No esboço do gráfico de 1 inicialmente completamos os quadrados em y e z e reescrevemos a equação dada na forma j12 z22l A partir desta forma concluímos que se trata de um cilindro elíptico com diretriz contida no plano yz Como a equação x2 y2 não contém termos em z seu gráfico é um cilindro com diretriz no plano xy Esta diretriz é constituída do par de retas x y x y contidas no plano xy Este cilindro não possui denominação especial Proposição 51 Se o gráfico da equação Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Jz R I não é o conjunto vazio um ponto um plano ou um cilindro usando mudanças de sistemas de co ordenadas convenientes podemos reduzila a uma das formas constantes dos grupos seguintes GRUPO E í l 2 l Í 1 a2 b2 c2 GRUPO Hl a2 b2 c2 LZ 1 1 Í Z Í Í 1 a2 b2 c2 GRUPO H2 Quádricas 141 GRUPO PE GRUPO PH b2 c2 x2 z2 a2 c2 X2 y2 a2 b2 b2 c2 4 l a2 c2 7 f a2 GRUPO C 2 c2 a2 ir Observação A demonstração desta proposição segue os mesmos caminhos da demonstra ção da Proposição 31 referente a cónicas Primeiro efetuamos uma mudança de sistema de coordenadas com o objetivo de eliminar os termos que envolvem o produto de variáveis diferen tes No caso das cónicas esta questão foi resolvida com uma rotação Aqui a rotação é mais complexa e envolve alguns resultados sobre autovetores de matrizes que geralmente só são apresentados nos cursos de introdução à Álgebra Linear A outra mudança de sistema de coor denadas é uma translação de eixos no espaço em tudo parecida com as translações no plano 142 Geometria Analítica Outro ponto que o leitor deve ter em mente é que para chegarmos às equações escritas no enunciado da proposição fizemos mudanças de coordenadas Daí a rigor deveríamos usar sím bolos tais como xl7 e z ou x2 y2 e z2 para denotar as variáveis Mas por comodidade con tinuaremos a usar xyez As equações que compõem os vários grupos constantes do enunciado da Proposição 51 são chamadas formas caúônicas Conforme a forma canónica pertença ao grupo E Hl H2 PE PH ou C a quádrica que ela representa chamase na mesma ordem Elipsóide Hiperbolóide de uma folha Hiperbolóide de duas folhas Parabolóide elíptico Parabolóide hiperbólico Cone quádrico As figuras seguintes construídas sem preocupação com o sistema de coordenadas dão idéia da forma geométrica de cada uma destas superfícies Hiperbolóide de duas folhas Parabolóide elíptico Parabolóide hiperbólico Cone quádrico Fig 512 Quádricas 743 Como se vê nessas figuras exceto o parabolóide hiperbólico cada quádrica possui pelo me nos um eixo de simetria Interceptando a quádrica por um plano perpendicular ao seu eixo de simetria obtemos uma elipse Quando a quádrica é de revolução esta elipse reduzse a uma cir cunferência Exemplo Identifique e esboce as quádricas cujas equações são a 4x2 y2 8z2 16 e x2 2y2 z2 0 2 2 2 b 4x2 y2 8z2 16 f f L 2 L L i 4 o l o 2 2 cx2 2y2z 0 gz d x2 y z2 0 Solução A primeira providência é colocar a equação dada numa forma canónica No item a dividindo ambos os membros da equação por 16 obtemos 2 2 2 i 2 L i 4 16 2 Esta equação se identifica com uma das formas canónicas apresentadas no grupo Hl da Propo sição 51 Logo a quádrica que ela representa é um hiperbolóide de uma folha Feita a identifi cação da quádrica resta o seu esboço Como já conhecemos a forma geométrica desta superfí cie na verdade faltanos apenas decidir sobre sua disposição em relação ao sistema de coorde nadas Resolvemos esta questão fazendo a interseção do hiperbolóide com os planos coordena dos Interseção com o plano xy isto é com o plano cuja equação éz0 Substituindo z 0 em 2 2 2 f L 2 L i 4 16 2 obtemos 2 2 4 16 que é a equação de uma hipérbole no plano xy Isto significa que o gráfico de i 4 16 2 intercepta o plano xy segundo uma hipérbole Interseção com o plano yz x 0 É suficiente fazer x 0 na equação dada O resultado é 16 2 144 Geometria Analítica Significa que a quádrica intercepta yz também segundo uma hipérbole Interseção com o plano xz Como a equação do plano xzéy 0 temos que a interseção deste plano com o hiperbolóide é a elipse Logo o gráfico de 4 16 2 1 é um hiperbolóide de uma folha que intercepta os planos xy e yz segundo hipérbole e o plano xz segundo uma elipse Estas informações são suficientes para o esboço da quádrica mostrado na Figura 513 Fig 513 Os dois ramos da hipérbole Í L i 4 16 estão assinalados na figura com o número 2 As curvas assinaladas com o número 1 são os ra mos de y2 z2 1 16 2 O número 3 indica a elipse Quádricas 145 As elipses indicadas com o número 4 podem ser obtidas atribuindose a y um valor yQ 0 isto é interceptando o hiperbolóide por planos de equação da forma y y0 Nos itens seguintes vamos adotar o mesmo procedimento descrito na solução de a ou seja primeiro escrevemos a equação na forma canónica A partir da forma canónica identificamos a quádrica e após fazermos sua interseção com os planos coordenados a esboçamos Item b Forma canónica 2 2 2 4 16 2 Quádrica hiperbolóide de uma folha Esboço Fig 514 Item c A equação pode ser reescrita na forma x2 2y2z 0 z x2 J 12 Logo veja o grupo PE seu gráfico é um parabolóide elíptico A interseção deste parabolóide com o plano xy z 0 é o ponto 0 0 0 e com os planos xz e yz são respectivamente as parábolas z X e z 12 146 Geometria Analítica Na Figura 515 a parábola z y2l2 está assinalada com o número 1 e z x2 com o número 2 Observe que para cada valor z0 0 o parabolóide intercepta o plano z z0 segundo a elipse y2 x2 j 2 ZO T77 o u T 1 12 Zo Uma destas elipses está representada na figura indicada com o número 3 Fig 515 Item d x2 y y2 0 ou y x2 z2 Fig 516 A menos de um sinal esta equação pode ser identificada com a forma canónica Quádricas 147 do grupo PE O sinal de menos que pode ser eliminado com uma mudança de coordenadas indica apenas que o gráfico desta equação é o simétrico do parabolóide y x2 z2 em relação ao plano y 0 Veja a Figura 516 Item e x2 2y2 z2 0 Forma canónica Esta equação se identifica com do grupo C Seu gráfico é um cone A interseção deste cone com o plano xyéo ponto 000 que é o vértice A interseção com os outros planos coordenados são retas Por exemplo com o plano y 0 é o par de retas 148 Geometria Analítica Item f 2 2 2 4 16 2 Neste item a equação já se encontra na forma canónica A quádrica que ela representa é um hiperbolóide de duas folhas Fig 518 Observe que o plano xz não intercepta esta superfície De fato fazendo v 0 em 2 2 2 4 16 2 obtemos 4 2 que não admite solução Na verdade qualquer que seja o valor y0 tal que l0l 4 o plano y y0 não intercepta o hiperbolóide Para ly0l 4 a interseção do hiperbolóide com o plano y yf é a elipse z y ou 4 2 16 X2 z2 r 7 4 1 2l 16 16 cujos eixos crescem com ly0l Para lyJl 4 temos os pontos 0 4 0 e 0 4 0 que são os vértices do hiperbolóide Quádricas 149 Item g 2 2 x y A quádrica é um parabolóide hiperbólico Fazendo sua interseção com os planos coordenados obtemos a interseção com x 0 z Uma parábola no plano yz com concavidade para cima b interseção com y 0 Uma parábola no plano xz com concavidade para baixo c interseção com z 0 3 y2x Um par de retas no plano xy d interseção com planos paralelos ao plano xy isto é planos de equações da forma zkki 2 2 9 k 4 k Hipérbole com o eixo que contém os focos paralelos ao eixo y se k 0 e paralelo ao eixo x se k 0 Juntando as informações acima obtemos o esboço da superfície Fig 519 150 Geometria Analítica Exemplo Seccionando um parabolóide por um plano perpendicular a seu eixo e a três unida des do vértice encontramos uma elipse de eixos iguais a 6 e 12 unidades Escreva uma equação do parabolóide Solução Fig 520 Em relação a um sistema cuja origem é o vértice do parabolóide e o eixo z coincide com o eixo do parabolóide a equação procurada é da forma f l a2 b2 D Fazendo z 3 em 1 obtemos a equação da interseção do parabolóide com o plano z 3 1 1 1 2 3 r ou s l a b2 3a2 3b2 2 Segundo o enunciado 2 é uma equação da elipse de semieixos iguais a 3 e 6 cuja equação é portanto da forma i i 2 2 x V x y 1 ou 1 z 3 9 36 36 9 Logo 2 é uma das equações acima e conseqüentemente temos 3a2 9 e 3b2 36 ou 3a2 36 e 3b2 9 Quádricas 151 Calculando os valores de a e b e introduzindoos na Equação 1 temos as soluções A resposta deste problema depende do sistema de coordenadas adotado Soluções semelhan tes às encontradas podem ser obtidas fazendose o eixo x ou y do sistema coincidir com o eixo do parabolóide Sugerimos ao leitor deduzir a equação do parabolóide em relação a tais sistemas e também em relação ao sistema tal que o plano da seção seja um dos planos coorde nados e que a origem coincida com o centro da elipse Exemplo Escreva a equação de uma superfície sabendo que sua interseção com os planos x 0 e y 0 são as hipérboles Solução Fig 521 Esboçamos na Figura 521 as hipérboles dadas no enunciado Tal figura sugere que uma su perfície que satisfaz as condições do problema é o hiperbolóide de duas folhas de equação 152 Geometria Analítica Comparando I com as equações dadas no enunciado concluise que 4 25 9 é uma solução Existem outras soluções Exercícios 510 Mostre que o gráfico de cada uma das equações seguintes reduzse a um único ponto a x2 f z2 2x 4y 2z 6 0 b x2 2y2 4z2 2xy 2yz 0 c x2 y2 z2 xy x y 10 511 Mostre que o gráfico de 2x2 2y2 5z2 2xy 2xz 2yz 8 0 é o conjunto vazio 512 Esboce os cilindros dados pelas equações a x2 y 12 1 dx y 0 bzy2 2 ez cosy c z x2 2 fxy 1 513 Faça um esboço do sólido delimitado inferiormente pelo plano xy superiormente pela esfera x1 y2 z2 4 e lateralmente pelo cilindro x2 y l2 1 514 Determine a interseção da reta xl y 2 t Z 4 com o cilindro y x2 515 Reduza cada uma das equações seguintes à forma canónica e identifique e esboce a quádrica que ela representa a 4x2 4y2 z2 4 e z 4x2 y2 b 36x2 y2 9z2 9 f 16z 4x2 v2 c 3x2 8y2 4z2 1 g y2 x2 j2 d 3x2 8 4z2 1 h z2 x2 2y 516 Encontre uma superfície tal que sua interseção com planos da forma x k dá a elipse 4 9 com planos da forma y fc dá a hipérbole 9z2 9x2 fc2 4 e com planos da forma z k dá a hipérbole 4 x 2 Í Z U 9 517 Deduza uma equação do parabolóide de revolução de vértice na origem sabendo que sua interse ção com o plano z 1 é a circunferência de centro 0 0 1 e raio 3 518 Deduza uma equação do parabolóide de vértice na origem que contém a elipse cujos vértices são Ay603AJV603B033 e 5033 Quádricas 1 5 3 519 Escreva uma equação do elipsóide que intercepta o plano xy segundo a elipse x2 y2 T T 1 e que contém o ponto 1 1 1 520 Escreva uma equação do hiperbolóide de uma folha que intercepta o plano xy segundo a elipse x2 e o plano yz segundo hipérbole z2 4 16 521 Determine os focos e os vértices da elipse 4 1 6 9 y 2 522 Determine o centro da circunferência dada pela interseção das superfícies z x2 y2 x2 y2 z2 1 523 Determine os focos da cónica obtida pela interseção do plano z 2 com o cone gerado pela rotação da reta r em torno da reta 5 sendo x 0 r x 0 s y t y 2z z f 524 Determine m para que o cone gerado pela rotação da reta y mzx 0 em torno da reta y z x 0 intercepte o plano x 1 segundo a cónica lyz 1 53 CURVAS NO ESPAÇO No estudo das superfícies apresentado nos parágrafos anteriores algumas vezes menciona mos curvas no espaço As cónicas por exemplo surgiram ao fazermos interseções das quádricas com os planos coordenados Em todos os casos elas ficavam determinadas por pares de equa ções cartesianas De modo geral o gráfico de uma equação cartesiana no espaço é uma superfí cie e uma curva no espaço não fica determinada por uma única equação Determinase então uma curva no espaço pela interseção de duas superfícies O sistema constituído pelas equações das duas superfícies dá as equações cartesianas da curva Exemplo Focos e vértices da cónica 2 2 2 1 4 9 16 z 2 A cónica é dada pela interseção de um hiperbolóide de uma folha e um plano 154 Geometria Analítica Fazendo z 2 na equação do hiperbolóide obtemos 4 9 16 ou 3 27 D Da Figura 522 ou da Equação 1 concluímos que a cónica é uma hipérbole Embora a Equação 1 esteja nas variáveis x e y a hipérbole está no plano z 2 representado na fi gura pelas retas x e y concorrentes em 0 0 2 Contudo sendo o plano z 2 paralelo a xy tudo se passa como se a curva estivesse contida no plano xy Da Equação 1 vemos que 27 a 3 e o 4 Logo Portanto os focos são 39 c2 a2 b2 4 39 02 e F 739 02 Quádricas 155 e os vértices são AV302 e v302 Outra maneira conveniente de se escrever equações de uma curva no espaço consiste em re solver o sistema formado pelas equações das superfícies que definem a curva e dar sua solução geral em função de uma das variáveis Utilizamos esta técnica quando estudamos equações de reta no espaço As equações assim obtidas são chamadas equações paramétricas Exemplo Equações paramétricas da curva definida pela interseção do parabolóide x y2 z2 com o plano y z Solução Das equações dadas obtemos X z2 Z2 2z2 Logo os pontos da interseção das duas superfícies são da forma x 2z2 y z z qualquer Fazendo z t parâmetro que pode assumir qualquer valor real obtemos x 2t2 y t z t que são equações paramétricas da curva dada 156 Geometria Analítica As equações paramétricas de uma curva no espaço não são únicas No exemplo acima fazen do z 2s 1 por exemplo obtemos x 22s l2 y 2s 1 z 2s 1 que também são equações paramétricas da curva dada No entanto os dois sistemas de equações são equivalentes Isto quer dizer que quando í e s percorrem o conjunto dos números reais uti lizando qualquer um dos dois sistemas obtemos o mesmo conjunto de pontos do espaço Exemplo Parametrização do arco de circunferência definido pela interseção das superfícies x2 y2 z2 9 x y 3 e situado acima do plano xy Solução As superfícies dadas conforme se vê na Figura 524 é uma esfera de centro na ori gem e raio 3 e um plano paralelo ao eixo z Da equação do plano temos x 3 y Substituindo este valor na equação da esfera e resolvendo em z a equação resultante obtemos z j6y2y2 Examinando o radical J6y2y2 Quádricas 157 ou a Figura 524 vemos que o valor de z só está definido para y entre 0 e 3 Neste intervalo a cada valor de y correspondem dois valores de z O valor positivo de z isto é Z j6y2y2 corresponde ao arco situado acima do plano xy Logo os pontos x y z da interseção das duas superfícies situados acima do plano xy são tais que x 3 y y qualquer valor entre 0 e 3 z 6y2y2 Fazendo y t temos x 3 1 yt 03 z Jôt 2t2 que é uma parametrização em t do arco Em geral as equações paramétricas de uma curva no espaço são da forma X X t y y t z zt onde xí yt e zf são funções da variável t definidas em algum intervalo da reta A cada valor t0 deste intervalo corresponde o ponto Pt0 xt0 yt0 zt0 da curva Assim a curva cujas equações paramétricas são x xt y y t z zt pode ser imaginada como sendo a trajetória de um ponto M que se move no espaço e cuja posi ção no instante t é Pt xí yt zt Com esta interpretação podemos imaginar o vetor Pt Pío 158 Geometria Analítica como sendo o deslocamento do ponto M no intervalo de tempo t t0 Daí o vetor velocidade média de M ao deslocarse de Pt0 a Pt é PtPt0 t t n xtxt0 ytyt0 ztzt0 v o t t n tt 0 J e o vetor velocidade de M em t tné PtPtJ Vt l i m 5 lim f0 J f ít xtxt0 ytyt0 ztzt0 tL ttn tt caso este limite exista Podese demonstrar que se as funções xt yt e zt tiverem derivadas em t t0 então Vt0 xt0 yta zt0 Na Figura 525 as setas tracejadas indicam vetores velocidades médias PtPt0 t t Quando t tende para t0 estes vetores tendem para o vetor velocidade Vtj que é tangente à curva em Pt0 Vt0 Ph Fig 525 Exemplo Um vetor tangente à curva cujas equações paramétricas são x 2t2 y t z t no ponto genérico Pt 212 t t é Vt 41 1 1 Quádricas 159 Para t O temos V0 0 1 1 que é um vetor tangente no ponto 0 0 0 A curva do exemplo anterior é a parábola mostrada na Figura 523 Já observamos que x 22s l2 y 2s z 2s 1 também são equações paramétricas desta mesma parábola Utilizando esta parametrização te mos que VÍ 825 1 2 2 é um vetor tangente à parábola no ponto Ps Para s 12 temos PV2 0 0 0 e Vi2 022 Como 0 2 2 20 1 1 vemos que o vetor velocidade calculado usando a segunda parametrização é o dobro do vetor velocidade dado pela primeira parametrização Em geral o vetor velocidade depende da parametrização o que é compreensível pois a mesma trajetória pode ser percorrida com veloci dades diferentes No entanto a direção do vetor velocidade não muda por ser tangente à curva A partir das equações paramétricas x xt y yt z zt de uma curva podemos deduzir as equações da reta tangente a esta curva no ponto Pt0 xí0 yt0 zt0 De fato se o vetor velocidade Vt0 xt0 yt0 zt0 não for o vetor nulo as equações paramétricas da reta tangente em são dadas por X xt0 x 0t y yto yt0t z zt0 zt0t Exemplo Reta tangente à curva 2 160 Geometria Analítica no ponto 1 2 2 Solução Neste caso a curva é dada pela interseção de duas superfícies a saber de um sóide e de um plano Veja a Figura 526 Fig 526 Conforme vimos anteriormente as equações paramétricas desta curva são da forma x xt y f z zt Como a curva está contida tanto no elipsóide quanto no plano devemos ter 4 16 9 y K J qualquer que seja o ponto xí yt zÇt da curva Logo yt é a função constante yt 2 e xt e zt são tais que xtf 4 Ztf 4 16 9 Derivando esta equação em relação a t obtemos xtrt 2ztzt 1 0 2 Quádricas 161 Como o ponto 12 3V2 pertence à curva para algum valor t0 de t devemos ter xt0 1 yo 2 2 Substituindo este valor de t em 2 obtemos 9 tOL Yf lxY r1 o 2A2 0 ou x 0 z t 0 Portanto o vetor velocidade Vt0 x 0 yt0 zt0 no ponto 12 é tal que Logo é um vetor tangente à curva em e as equações paramétricas da reta tangente são 3 y 2 3V2 No último exemplo determinamos o vetor tangente sem explicitar as equações paramétricas da curva Outra alternativa seria a partir da Equação 1 determinar uma parametrização parti 162 Geometria Analítica cular da curva e em seguida obter o vetor tangente Seguindo o método utilizado no exemplo podese verificar que um vetor tangente à curva dada pela interseção do elipsóide 2 2 2 x y z a2 b2 c2 com o plano y y o no ponto x0 y0 z0 é Vy a2zo 0 x0c2 e que um vetor tangente à interseção do mesmo elipsóide com o plano x r também no ponto x0 y0 z0 é Vt 0 b2z0 c2y0 Fig 527 Portanto o produto vetorial Vy X Vt b2c2 X0y0 aVy a2b2z2 0 z 0 a W í f é perpendicular tanto a Vv quanto a Vx Na verdade o vetor V X V ou o vetor w i í l Z i t 2 V Quádricas 163 é perpendicular ao vetor velocidade em x0 yJ z0 de qualquer curva contida no elipsóide e que passa por x0 y0 z0 De fato se x xt y At z zt é uma curva contida no elipsóide e tal que para o valor f0 de t xf0 yt0 zt0 x0 y0 2o então xt2 ytf zt a2 b2 c2 Derivando esta equação em relação a t e fazendo t obtemos 0 fOoMío ytyt0 ztazt0 b2 ou X0xt0 t yQyt0 zQzt0 a2 b2 c2 que reescrita na forma a b c J mostra que o vetor N é perpendicular ao vetor velocidade ví0 xgg z 0 Um vetor como N perpendicular a todo vetor tangente no ponto x y0 é dito normal ao elipsóide no ponto x0 y0 z0 O plano que contém x0 y0 z0 e é perpendicular a N é chamado plano tangente ao elipsóide em x0 0 A equação do plano tangente é pois 4 o i f y zoo a b e 164 Geometria Analítica ou xox y0y z0z A noção de plano tangente introduzida para o elipsóide pode ser estendida às demais quádricas Caso exista o plano tangente no ponto x0 yn z0 é o plano que contém este ponto e é perpendicular ao vetor Vy X Vx onde Vy e Vx são respectivamente vetores tangentes em x y0 zl às curvas que se obtêm pela interseção da quádrica com os planos de equações y y e Ao interpretarmos a curva cujas equações paramétricas são como a trajetória de um ponto que se move no espaço associamos a cada ponto Pt xt yt zt desta curva o vetor velocidade Se Vt e Ví0 indicam as velocidades respectivamente nos pontos Pt e Pt0 o vetor dá a variação média da velocidade no intervalo t 10 A variação instantânea da velocidade no ponto t0 é dada pelo vetor que é chamado vetor aceleração no ponto Pt0 Podese demonstrar que se as funções xí yt e zt tiverem derivadas segundas em í í então O vetor aceleração pode também ser calculado em função da velocidade escalar ou seja em função de ví onde x xt y yU z zt Vt xt yt zt VtV0 f x txt0 ytyt0 z jtyt0 tt Q Í tg Í tQ Í tf At0 xt0 yt0 zt0 Vt Vt vt l vtTt Quádricas 165 onde Vt Tt vr é um vetor unitário e tangente à curva em Pt Temos At Vt vf r í v Tt 3 Sendo 70 um vetor unitário temos que T Tt 1 e daí que Tt Tt 7í Tt 0 Como Tí Tt Tt Tt segue que 2 7Xí Tt 0 ou Tf Tí 0 que mostra que 7í é perpendicular a 7Tf Combinando este resultado com 3 vemos que o vetor aceleração no ponto Pit é a soma de dois vetores perpendiculares a saber vtTt e vrFí v0 Tt é tangente à trajetória componente tangencial da aceleração e vf Ti é perpendicu lar à trajetória componente normal da aceleração Veja a Figura 528 Fig 528 O plano que contém o ponto Pt e é paralelo aos vetores Tt e Tt é chamado plano osculador no ponto Pt 166 Geometria Analítica Exemplo Equação cartesiana do plano osculador da curva x cosi y sen z t no ponto P0 10 0 Solução Neste caso temos Vt senr cos 1 e Tt L sen cos 1 Víl Logo 7 L cosi sení 0 V 2 Para t 0 temos r L o i i e r 0 Li00 V2 V2 Como o plano osculador é paralelo tanto a T0 quanto a T0 segue que o produto vetorial no x r0 o I I é perpendicular a este plano Daí sua equação cartesiana é 0 x l I y 0 z 0 0 ou y z 0 Quando uma curva está contida em um plano a os vetores Tt e Tt são ambos paralelos a a e o plano osculador em qualquer ponto da curva é o próprio plano a No caso de curvas não planas isto é nãocontidas em um plano o plano osculador em um ponto Tta da curva é o pla no que melhor se ajusta à curva neste ponto no seguinte sentido se Pt0 Pt J e Pt2 são pontos da curva o plano definido por Pt0 Pt e Pt2 tende ao plano osculador em PJj quando f e u tendem a tn Quádricas 167 Exemplo Um ponto movese no espaço de modo que no instante t sua posição é Pt 1 t t f At a Escreva as equações paramétricas da trajetória descrita pelo ponto no intervalo de tempo 0 a 5 b Mostre que o movimento da projeção do ponto no plano xy é retilíneo e uniforme c Em que instante a projeção do ponto no eixo z atinge a altura máxima Solução a x 1 t y t z t2 At 0 t 5 b Como a projeção de 1 t t t2 At no plano xy é 1 t t 0 segue que no instante t a posição da projeção do ponto no plano xy é dada por PQf 1 tt 0 Daí temos que a trajetória da projeção é xt y t z 0 que é a reta que contém o ponto 1 0 0 e é paralela ao vetor 1 1 0 Isto significa que o mo vimento da projeção se inicia no ponto 1 0 0 e tem velocidade constante v 1 10 sendo portanto retilíneo e uniforme c O movimento da projeção do ponto no eixo z é dado por Pt 0 0 12 At Sua altura será máxima quando o valor de z t2 At for máximo Utilizando o cálculo diferencial vemos que isto se dá quando z 2f 4 0 ou seja para t 2 Como xí yt zt xf 0 0 0 zt 168 Geometria Analítica em qualquer caso o movimento do ponto cuja posição no instante t é Pt xí zt pode ser decomposto num componente horizontal Pt xt xí 0 e num componente vertical Pzt 0 0 z0 O componente horizontal Pot xtyt0 dá a posição no instante t da projeção do ponto no plano xy e o componente vertical Pt 00 zí determina a projeção do ponto no eixo z no instante í O movimento do ponto é retilíneo e uniforme se e somente se os movimentos de suas proje ções no plano xy e no eixo z são também retilíneos e uniformes A seguir vamos examinar a trajetória de um ponto que se move no espaço de modo que os movimentos de suas projeções no plano xy e no eixo z são respectivamente circular uniforme e retilíneo uniforme Primeiro notemos que sendo o movimento da projeção horizontal circular é claro que o movimento do ponto se dá sobre um cilindro circular Para maior simplicidade vamos supor que o eixo do cilindro seja o eixo z e que no instante t 0 a posição do ponto seja 10 0 Quádricas 169 Fig 530 Nesta condição s e w é a velocidade angular da projeção horizontal do ponto wtéo ângulo descrito no intervalo de tempo t Logo o componente horizontal do movimento é Pot R cos wt R sen wt 0 onde Ré o raio do cilindro Analogamente se v é a velocidade escalar da projeção do ponto no eixo zvté o espaço percorrido no intervalo de tempo t e Pzt 0 0 vt é o componente vertical do movimento Logo Pt P0t Pzt R cos wt R sen t vt Portanto em termos de f as equações paramétricas da trajetória do ponto são x R cos wt y R sen wt Z vt Se no instante í 0 a posição do ponto é x y z as equações paramétricas de sua trajetória são x Rcos 0 wt y R sen 9 wt Z Z0 vt onde 0 é o ângulo entre Po0 x0 y 0 e 1 00 Esta trajetória veja a Figura 531 é uma curva chamada hélice 170 Geometria Analítica Exercícios 525 Escreva equações paramétricas da curva dada pela interseção das superfícies a z x2 y2 e r2 v2 r 1 b x2 y 12 1 e v x2 2 526 Mostre que a curva dada pela interseção das superfícies x2 y l2 1 e x2 y2 z2 4 não é plana 527 Verifique que a curva cuja equações paramétricas são x cos t y sen t z t intercepta o plano x y 0 numa infinidade de pontos 528 Deduza equações paramétricas da interseção a do cilindro x2 y2 1 com o plano x y z 1 b dos cilindros x z2 e x 1 y2 529 Mostre que a tangente à curva x 61 x 3í2 z f faz um ângulo constante com o vetor 1 0 1 530 a Escreva as equações da reta tangente à curva dada pela interseção do parabolóide com o plano x 2 no ponto 2 3 2 Quádricas 171 b Escreva a equação cartesiana do plano tangente ao parabolóide x2 v2 no ponto y0 Zo 531 Escreva a equação cartesiana do plano osculador da curva x t y e z cos t no ponto 0 1 1 CAPÍTULO NÚMEROS COMPLEXOS E COORDENADAS POLARES 61 NÚMEROS COMPLEXOS Ao se resolver a equação x1 4x 13 0 aplicando a fórmula de Báskara obtêmse as raízes que não são números reais Admitindose que se possa escrever V36 V361 6yFÍ as raízes são 2 3 pi A resolução de equações algébricas como esta motivou a criação dos números complexos isto é números da forma a bi em que atb são números reais e i J1 é a unidade imaginá ria No entanto a aceitação dos números complexos pelos matemáticos foi difícil e lenta Por exemplo no tempo de Cardono 15011576 e Tartaglia 14991557 a quem devemos a fór mula x jq 2 33 q 22 2Jp33 q 22 para a resolução da equação px q ainda não se admitiam os números complexos Pela fórmula de Tartaglia a resolução da equação x3 15x 4 leva a x 12 121 V2nI21 Números Complexos e Coordenadas Polares 173 Ora como se vê por substituição direta x4é uma raiz da equação Isto significa que a expres são de Jt acima deve conter também o número real 4 ou seja 4 V 2 V 1 f f V 2 V f Isto mostra a necessidade de se considerar os números complexos mesmo que se concordasse em só aceitar raízes reais Um número complexo a bi fica determinado pelo par a b formado pelas suas partes real a e imaginária b Desta maneira podemos representálo por um ponto ou um vetor no plano Na Figura 61 estão representados alguns números complexos y Fig 61 Esta interpretação dos números complexos sugere as seguintes definições a bi c di a c b d 6a bi c di a c b di ka bi ka kbi sendo k um número real e a bi c di números complexos Podemos definir também uma multiplicação de números complexos a bic di ac bd ad bci Observe que de acordo com esta definição temos que i2 1 bi ib Da maneira como essas operações foram definidas são válidas as propriedades comutativa associativa e distributiva Um número real a pode ser considerado como número complexo da forma a Oi Deste modo a notação a bi ganha novo sentido soma do número real a visto como complexo com o pro duto bi Assim as operações com números complexos podem ser efetuadas utilizandose as pro priedades comutativa associativa e distributiva e a igualdade i2 1 Exemplos 230 7 Í 5 2i 3 202 0 6 3 í 4i 2i2 6 i 2 8 i 174 Geometria Analítica O oposto do número complexo z a bié o número z lz a bi enquanto que o seu conjugado éz abi Na Figura 61 aparecem o número 2 o seu oposto 2 e o seu con jugado 2 i A diferença de números complexos é dada por a bi c di a c b di Se z a bi 0 o número z r yi tal que zz l é chamado inverso de z Da igualdade a bix yi 1 obtémse a b x vj ab a b Portanto a b a2 b2 a2b2 O quociente dez a bi por w c di 0 é definido por zw e pode ser calculado assim a bia bic diac bd bcad c di c di c di c2 d2 c2 d2 Exercícios 61 Prove que a z w z w b zw z w C Ti w J w d z z 62 Calcule P i i í241 63 Efetue a 1 O3 1 o3 b 1 o3i O3 i O3 Números Complexos e Coordenadas Polares 175 64 Seja z 3 2i Represente no plano os números z z lz lz zi z Observe que z e 1 z têm a mesma direção e que zi é perpendicular a z 65 Efetue 3 3í 0456í 521 21360 62 GEOMETRIA ANALÍTICA NO PLANO COMPLEXO A Geometria Analítica no plano estudada no Capítulo 2 pode ser refeita com certas vanta gens utilizandose a estrutura mais rica dos números complexos O módulo do número complexo z x yié dado por kl V Observe que zz x yix yi x2 y2 z2 A distância entre os números complexos z x yi e z0 x0 y0i é dada por dzzQ zz 0 xo2 y y02 de modo que uma equação da circunferência de centro z e raio r é veja a Figura 62 z Zol r Fig 62 Dados os números complexos z e w 0 uma equação paramétrica da reta que passa por z e tem a direção de w é veja a Figura 63 Z Z0 wt onde t é um parâmetro real 176 Geometria Analítica Exemplo Reta que passa por z0 2 3 e é paralela a w 3 i Solução A equação paramétrica é z Zo wt ou X vi 2 3i 3 i 2 3í 3 íi Observe que igualando as partes real e imaginária desta equação obtemos x 231 y 3 t que são as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto 23 e é paralela ao vetor 31 como na Seção 28 do Capítulo 2 Exemplo Como vimos na Seção 29 do Capítulo 2 toda reta tem uma equação cartesiana da forma Ax By C 0 Escreva a equivalente desta equação usando variável complexa Solução Primeiro observemos que as partes real e imaginária do número z x yi podem ser escritas em função de z e z x yi como segue z z z z x e y 2 7 2 i Substituindo estes valores na equação dada obtemos A Í Ü 5 Í Í C 0 2 2i ou ABiz A Biz 2C0 que é a equação pedida Números Complexos e Coordenadas Polares 177 Em geral uma equação da forma azbz c 0 onde a b c e z são complexos pode representar uma reta um ponto ou o conjunto vazio Para ver isto basta o leitor observar que esta equação complexa é equivalente a um sistema de duas equações com duas incógnitas reais Interpretando os números complexos zx x yi e z2 x2 y2i como pares ordenados de finimos seu produto escalar de modo natural como sendo o número x y Para evitar confusões com o produto usaremos a notação Zi Z2 para indicar o produto escalar de números complexos Temos portanto ZiZ2xlx2yly2 Observe que se 6 é o ângulo entre as setas que representam z e z2 então z z2 Izil z2 cos e Observe ainda que como z z 2 X j X 2 y 2 x y 2 x j i ZZ2 XjX2 yly2 xly2 xji vale zz2Rez1z2 Rez1z2 iz lz 2 zz2 onde Re significa parte real de Usando esta notação é fácil ver que qualquer que seja o número complexo vv temos w wi 0 ou seja que wi é perpendicular a w Também se w 0 w e 1 w têm a mesma direção veja a Figura 64 Fig 612 178 Geometria Analítica De fato como wwi Rewwí Rew 2i 0 temos que w e wi são perpendiculares De modo análogo temos w 4 Rew 4 Rel 1 w w o que mostra que o ângulo entre w e 1 w é 0 Este último resultado pode também ser deduzido da igualdade wiv 1 w h w w que em particular mostra que w 1 w se w 1 Exemplo Equação da mediatriz do segmento de extremos w e l w w 0 e vvj 1 Solução Um ponto da mediatriz é w i i2 i 1 w M 1 2 2 w que é o ponto médio do segmento de extremos w c íw Como wi tem a direção da mediatriz por ser perpendicular a w temos W2 1 z 1 twi 2 w que é a equação paramétrica procurada Para escrever a equação desta reta em termos de z e z basta eliminar t no sistema w 1 z J twi 2 w M 2i 2 w twi onde a última equação foi obtida da primeira utilizandose as propriedades de conjugado Adicio nando as duas equações e simplificando o resultado obtemos wz wz I w2 1 0 Números Complexos e Coordenadas Polares 179 Exemplo Mostre que todas as circunferências que passam por w e 1 vv interceptam a cir cunferência z 1 em ângulos retos Solução Sejam Zo e r o centro e o raio de uma circunferência C que passa por iv e I w e seja z um ponto da interseção com a circunferência z 1 Devemos mostrar que os raios z e z Zo são perpendiculares Figura 65 ou seja que é zero o produto escalar Vamos mostrar que 2 zz zzo 0 Como está na mediatriz do segmento de extremos w e 1 w pelo exemplo anterior temos 1 2 2 1 WZG wzo vv 1 0 Além disso iZo w r Como esta última equação é equivalente a zQ wzo w r2 ou zt2 wz0 wzcw2 r2 2 obtemos zü2 r 1 w 1 Fig 65 O ponto z de interseção das duas circunferências satisfaz z2 zz0 ZZO Z02 r 180 Geometria Analítica que juntamente com 1 produz 2 zz0 zz0 0 como queríamos Exercícios 66 Mostre que az z b Hzw z z w w d z w2 z2 H2 2 Re zw z w2 z2 w2 2 Re zw 67 Prove a identidade z Hzwp 2z 2M 2 e enuncie a propriedade geométrica do paralelogramo que ela exprime 68 Prove que se z está na circunferência z 1 então o número z w 1 zw também está qualquer que seja w 69 Determine os números reais a e b para que a equação 1 iz a bi z 1 2i 0 represente a uma reta b um único ponto c o conjunto vazio 610 Dados os três vértices 2 2i e 2 4 de um quadrado determine o quarto vértice 611 Dados os três vértices z z2 e z3 de um paralelogramo determine o quarto vértice 612 Sendo a e c números complexos tais que a jc determine alguns números complexos z que satisfa çam a equação za z a2c O que acontece quando a c 613 Escreva a equação de uma hipérbole na forma complexa 63 COORDENADAS POLARES O produto e o quociente de números complexos têm uma interpretação muito simples quan do se usa a forma polar Números Complexos e Coordenadas Polares 181 As coordenadas polares de um ponto z do plano são constituídas do par r ff em que ré a distância de z à origem e 9 é o ângulo que o vetor z faz com o eixo Ox veja a Figura 66a Por exemplo 2 tt3 está representado na Figura 66b pelo ponto z As vezes permitemse valores negativos para r convencionandose neste caso marcar a distância r na semireta oposta como o ponto z2 de coordenadas polares 1 TT3 da Figura 66b O par r d determina de maneira única um ponto no plano No entanto um ponto no plano pode ter várias coordenadas polares distintas O ponto z além das coordenadas 2 TT3 admite as coordenadas 2 TT3 2ir 2 TT3 TT etc enquanto que z2 terá também as coordenadas 1 TT3 TT A própria origem tem coordenadas 0 ff para ff qualquer Assim para obter uma correspon dência biunívoca entre os pontos do plano exceto a origem e as coordenadas polares é necessário restringir os intervalos de variação de r e de 0 Por exemplo podese tomar r 0 e 0 0 2 tt a b Fig 66 Se as coordenadas polares d e z x iy são r ff com r 0 temos veja a Figura 66 d x r cos 8y r sen 6 r jz donde z rcos 6 i sen ff que é a representação polar de z 6 denominase argumento de z Com a representação polar o produto de dois números complexos Zi rcos 0 i sen 0 z2 r2cos ff2 i sen ff2 se escreve ZjZ2 rr2 cos i sen fft cos ff2 i sen ff2 rr2cos ffl cos 02 sen ff sen 02 isen cos ff2 sen 02 cos 0 rr2cos f f l d2 i sen 0 02 182 Geometria Analítica Uma notação muito utilizada é a seguinte z r j z2 r 2 e zxz n 02 A interpretação geométrica do produto é óbvia o módulo do produto é o produto dos módulos dos fatores enquanto que o argumento é a soma dos argumentos Obtêmse também as seguintes expressões ÍL ücos0 e i sen j 02 Z2 r2 e z rcos nd i sen n6 Se r 1 e z cos d i sen 0 a última expressão pode ser escrita assim cos 6 i sen 6 cos nI i sen n6 denominada fórmula de Moivre As raízes nésimas de um número complexo w são os números complexos z que satis fazem a equação z w Escrevendo w rcos 6 i sen ff e z pcos p i sen j temos pcos nf i sen nj rcos 6 i sen 0 que é equivalente às equações reais p cos ncf r cos 0 e jf sen nf r sen 0 ou ainda a p rnj 8 IkiT donde nfí 9 2kn d 2 kn z V c o s 11 sen n n a qual produz n números distintos quando se atribui a k os valores 01 n 1 Números Complexos e Coordenadas Polares 183 Exemplo Raízes nésimas da unidade A forma polar do número 1 é 1 lcos 0 i sen 0 e daí as raízes nésimas da unidade são dadas pela expressão 2kn 2kn cos ií sen k 0 1 n 1 n n Por exemplo as raízes cúbicas de 1 são cos 0 i sen 0 1 2 n 2n Jò cos lísen 3 3 2 2 An An 1 73 cos 11 sen 1 3 3 2 2 Representando por w a raiz nésima da unidade correspondente a k 1 isto é 2 n 2k w cos1 sen n n observamos que todas as outras raízes podem ser obtidas a partir de w pois n n Os pontos w w2 wn 1 dividem a circunferência 1 em n partes iguais A Figura 67 mostra as raízes cúbicas da unidade Fig 612 184 Geometria Analítica Exemplo Para determinar as raízes da equação x3 J 5x 4 citada na Seção 61 devemos calcular z 3j2 1 lí V 2 1 1 Í A forma polar de 2 11 é em números aproximados ll18cos 797 i sen 797 Logo as raízes cúbicas de 2 1 li são 3TTTÍÍ 797060 797fc360i K1118 COS isen K012 Obtemos para fc O para k 1 para 2 2 187 123 013 223 Da mesma maneira obtemos as raízes cúbicas de 2 11 para k O para k 1 para k 2 2i 013 223 187 123 A dedução da fórmula de Tartaglia indica o seguinte procedimento para determinar as raízes escolhese uma raiz cúbica z de 2 1 li e uma raiz cúbica z2 de 2 11 tais que P 15 zz7 5 1 2 3 3 Escolhemos Zi 2 i z 2 2 Depois disto as raízes são determinadas assim z z2 4 zw z2w2 187 123 187 123 374 ZW2 Z2 w 013 223 013 223 026 Exercícios 614 Mostre que as raízes nésimas de um número z são da forma ZiW k 0 1 n 1 Números Complexos e Coordenadas Polares 185 em que z é uma raiz nésima de z e 2n 2ji w c o s sen n n 615 Utilizando a notação ée cos 8 i sen d mostre que a multiplicação de eie por z provoca uma rota ção de um ângulo 6 Isto é mostre que zeie forma com z um ângulo 9 Em particular a multiplicação por i eirf2 provoca uma rotação de um ângulo reto 616 Calcule b as raízes de ordem 4 da unidade c as raízes de ordem 4 de 1 d as raízes cúbicas de 2 2i 617 Formule equações cujas raízes são a 2 3i 2 3í b 312i 12z c 112 1 3 i 618 Prove que se z é uma raiz da equação de coeficientes reais então o seu conjugado z também o é Admitindo o fato de que uma equação de grau n tem exa tamente n raízes prove que uma equação do terceiro grau com coeficientes reais tem pelo me nos uma raiz real 619 Resolva as equações a x3 2x 4 0 b Ix3 9x2 14x 5 0 As equações de algumas curvas do plano têm as suas formas mais simples quando expressas em coordenadas polares Exemplo A equação da circunferência que na forma complexa é ax3 bx2 cx d 0 64 CURVAS EM COORDENADAS POLARES 2 1 e na forma cartesiana é x2 y2 1 escrevese na forma polar simplesmente já que r 7 x 2 y 2 186 Geometria Analítica De modo geral r constante 0 é equação de uma circunferência de centro na origem Já a equação 0 constante representa uma reta que contém a origem Por exemplo 6 774 é a equa ção da bissetriz do 1quadrante Exemplo Como vimos na Seção 36 do Capítulo 3 uma cónica de diretriz d foco F e excen tricidade e é o conjunto dos pontos P do plano tais que dPF e dPd Introduzindo um sistema de coordenadas xy onde os eixos x c y são respectivamente a per pendicular e a paralela a d traçadas por F veja a Figura 68 temos dP F r dP d r cos d p onde p dF d Logo em coordenadas polares a equação da cónica é r er cos 6 p ou l e c o s ô desde que 1 e cos 90 Fig 512 Números Complexos e Coordenadas Polares 187 Quando e 1 a cónica é uma parábola e sua equação reduzse a r 1 C O S 0 onde p como já dissemos é a distância do foco à diretriz Observe que para 6 0 r não está defi nido Isto significa que a cónica não intercepta a parte positiva do eixo x Para 6 próximo de zero r é grande vindo a decrescer à medida que 8 cresce de 0 a ir2 O valor de r em 8 tt2 ép Quando 8 varia de tt2 até ir r varia de p até p2 Da mesma forma r varia de p2 a p quando 6 vai de rr a 3 tt 2 Por fim quando 8 vai de 3 tt2 a 277 r varia de p2 a para 8 277 r não está definido Veja a Figura 69 Exemplo A lemniscata é uma curva plana definida como sendo o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias a dois pontos fixos de coordenadas cartesianas a 0 e a 0 tem o valor constante a2 No plano complexo a sua equação se exprime assim az a a2 e em coordenadas cartesianas x2 y22 2ax2 y2 0 obtida ao se fazer z x iy na equação complexa Passando para coordenadas polares através das relações x rcos 8 y r sen 8 obtemos r2 2a2 cos 28 que é a equação da lemniscata em coordenadas polares Para esboçar o gráfico observamos que cos 28 é negativo nos intervalos K 3JI 5n In Q e Q 4 4 4 4 188 Geometria Analítica e portanto a lemniscata não corta a região compreendida entre as bissetrizes dos quadrantes como mostra a Figura 610 É útil fazer um quadro com alguns valores de 6 e de r como o seguinte 0 0 tt6 tt4 3 TT6 5 TT6 TT 5 TT4 7IT4 1 1 TT4 TT r 2 a 0 0 a asÍ2 0 0 a aV2 Exemplo A epiciclóide é a curva gerada por um ponto P de uma circunferência que roda externamente sem deslizar sobre outra circunferência como mostra a Figura 611 Fig 611 Inicialmente vamos deduzir as equações paramétricas da epiciclóide relativamente ao siste ma de coordenadas xOy onde O é o centro da circunferência fixa Se Q é o centro da circunfe rência móvel e Px y é um ponto qualquer da curva temos OPOQQP 1 Denotando por t o ângulo que P faz com o eixo x temos OQ a b cos t a b sen í 2 onde a e b são respectivamente os raios das circunferências fixa e móvel Por outro lado como ÕH b temos QP b cos e b sen 9 sendo 0 o ângulo que QP faz com o eixo x Se a posição inicial do ponto P é a 0 da definição da epiciclóide temos que os arcos Cl e CP veja a Figura 611 são iguais Logo a ba at ou a t b Números Complexos e Coordenadas Polares 195 Mas de modo que Assim a d t i r n a ab 6 Kt a nt t n 1 b b QP b cos 6 b sentf r ab ab ocos7T íèsenir b b ab ab x ocos íösen 1 b b Substituindo 2 e 3 em 1 temos donde tiramos OPab costbcosa b ta b senf frsen ü b OJ b b a b f x a cosí b cos 1 b i N ya b seníosen ab t b que são as equações paramétricas da epiciclóide b Fig 612 190 Geometria Analítica Na Figura 612 apresentamos alguns casos particulares da epiciclóide Em 612a tomamos o raio da circunferência fixa igual ao dobro do raio da circunferência móvel ou seja a 2b Em 612b tomamos a 3be em 612c a b A epiciclóide obtida com duas circunferências de raios iguais Figura 612c é chamada cardióide Fazendo ab nas equações I obtemos que são as equações paramétricas da cardióide A seguir vamos deduzir uma equação da cardióide em coordenadas polares Para obtermos uma expressão mais simples vamos utilizar o sistema de coordenadas xy mostrado na Figura 613 Observe que neste sistema as equações paramétricas da cardióide são onde o parâmetro t é o ângulo entre o vetor OQ e o eixo x sendo O e Q respectivamente os centros das circunferências fixa e móvel Quando estas duas circunferências têm raios iguais o ângulo t é igual ao ângulo polar 0 que o vetor IP faz com o eixo x Logo em função do ângulo polar 6 as equações paramétricas da cardióide são x 2a cos t a cos 2t y 2a sen t a sen 21 x 2a cos t a cos 2t a y 2a sen t a sen 2f x 2a cos 6 a cos 2 0 a v 2a sen 0 a sen 2 0 x Fig 613 Utilizando as identidades trigonométricas cos 20 cos20 sen20 sen 20 2 senflcosfl podemos transformar estas equações em x 2a cos0l cos0 y 2a sen0l cos0 Números Complexos e Coordenadas Polares 191 Elevando estas equações ao quadrado obtemos que somadas dão Como x2 y2 r2 temos ou jc2 4a2 cos20 1 cos ff2 y2 4a2 sen20 1 cosö2 x2 y2 4a2l COS02 r2 4a2l cos02 r 2a l cos d que é a equação polar da cardióide Substituindo r por Jx2 y2 e cos 9 por II Jx2 y2 em II obtemos x2 y2 4 a2 1 JF77 que é u m a equação cartesiana da cardióide Exemplo Quando a circunferência móvel do exercício anterior roda internamente como mos tra a Figura 614 a curva descrita por um de seus pontos é chamada hipociclóide Fig 614 192 Geometria Analítica As equações da hipociclóide como o leitor pode verificar são xafrcosícosí b sendo aeb os raios das circunferências fixa e móvel respectivamente et o ângulo que ÕQ faz com o eixo xQ é o centro da circunferência móvel e O o centro da circunferência fixa Exercícios 620 Deduza uma fórmula para a distância entre dois pontos dados pelas suas coordenadas polares r 0 e r2 d2 621 Esboce o gráfico das equações a r cos b r 21 senO c r cos n6 paran 2 e n 3 d r e r2 4 sen 20 f r 5 a 5 n g e T 622 Esboce as cónicas dadas pelas equações 4 a r b r c r 1 COS0 2 l 2 c o s 0 4 1 COS0 623 Mostre que x a b cost y a tgt b sent a 0 0 são equações paramétricas da curva cuja equação polar é a K K r f cos 2 2 Esta curva é chamada conchóide de Nicodemos 624 Seja C a circunferência de raio a e centro 0 a e s uma reta que contém a origem Sejam A c B respectivamente os pontos de interseção de s com C e com a reta y 2a Por A trace uma paralela ao eixo x e por B uma paralela ao eixo v Seja P o ponto de interseção destas paralelas Quando s varia P descreve uma curva conhecida pelo nome de feiticeira Deduza suas equações paramétrica e cartesiana CAPÍTULO O ESPAÇO DE QUATRO DIMENSÕES Nos capítulos anteriores apresentamos um estudo da Geometria Analítica no plano e no espa ço isto é em duas e três dimensões Neste capítulo estudaremos uma Geometria Analítica em quatro dimensões Além da reta e do plano que serão mencionados como variedades lineares de uma e duas dimensões aparecem aqui as variedades lineares de três dimensões os hiperplanos Alguns fatos surpreendentes para o leitor que está acostumado a pensar em três dimensões podem acontecer no espaço de quatro dimensões Por exemplo a interseção de dois planos pode ser um único ponto Outro exemplo como sabemos um cubo separa o espaço tridimensional em duas partes uma limitada o seu interior e outra ilimitada o seu exterior No espaço de quatro di mensões isto não acontece isto é é possível retirar um ponto de seu interior sem atravessar as suas paredes Mas o espaço de quatro dimensões não é apenas uma curiosidade A própria teoria da relatividade de Einstein se assenta sobre um espaço de quatro dimensões Na verdade muita pesquisa matemática é feita atualmente em espaços de dimensões superiores 71 O ESPAÇO R4 Denotaremos por R4 o conjunto das quadras de números reais x y z w A quadra O 00 0 0 é denominada origem de R4 Assim como acontece com uma terna x y z em R3 uma quadra x y z w pode ser imaginada como um ponto ou um vetor Como vetor pode ser repre sentada por uma seta com ponto inicial na origem e final no ponto x y z w O leitor pode imaginai um sistema de eixos coordenados formado por quatro eixos perpendiculares entre si os eixos x y z e w formados por pontos da forma x 0 0 0 0 y 0 0 0 0 z 0 e 0 0 0 w respectivamente Na Figura 71 o leitor deve imaginar todos os eixos perpendiculares entre si A adição de vetores e a multiplicação de um vetor por um escalar são definidas como em R3 xu y1 z w x2 y2 z2 w2 x x2 yl y2 z2 wl w2 kx y z w kx ky kz kw Estas operações gozam das mesmas propriedades comutatividade associatividade etc que as correspondentes em R3 O produto escalar ou interno de dois vetores também se generaliza para o R4 xlt yly z wj x2 y2 z2 w2 xyx2 y5 y2 zu z2 w w2 194 Geometria Analítica O ângulo entre dois vetores nãonulos u e v de R4 também é definido como em R e vale a rela ção U V w v cos 0 Assim dois vetores u e v de R4 são perpendiculares formam ângulos de 90 se e somente se u v 0 Por exemplo os vetores e 1 0 0 0 e2 0 1 0 0 e3 0 0 1 0 0 0 0 1 são dois a dois perpendiculares pois ex es Q se i j Além disso são unitários já que INI2 1 Í 1 2 3 4 Da identidade x y z w xe ye2 ze3 we4 segue que qualquer vetor x y w de R4 pode ser escrito como combinação linear de ex e2 e3 e e4 Em particular os vetores da forma x 000 podem ser escritos como múltiplos do vetor e x 0 0 0 Isto significa que o eixo x tem a direção do vetor ex Analogamente os eixos y z e w têm a dire ção dos vetores e2 e3 e e4 respectivamente O Espaço de Quatro Dimensões 195 A distância entre dois pontos Aíz a2 a a4 e Db b2 b3 b4 de R4 é definida como sendo o número dAB à a12b2a22b3a32 b4 aA2 72 A RETA EM R4 Como em dimensões inferiores uma reta r em R4 fica determinada por um ponto A x y0 z0 w0 por onde ela passa e um vetor v a b c d que dá a sua direção Figura 72 Para escrever as suas equações paramétricas observamos que um ponto Px y z w está em r se e somente se o vetor AP tem a direção de v isto é se para algum t e R AP tv ou ÔPOAtv Em termos de coordenadas temos x y z w x0 y0 z0w0 ta b c d donde obtemos x xg at y y0 bt Z Z0 Ct w w dt que são as equações paramétricas da reta r Fig 72 Por exemplo o eixo w que tem a direção do vetor e4 0 0 0 1 e passa pelo ponto O 0 0 0 0 tem as equações paramétricas x Q y 0 z 0 w t 196 Geometria Analítica Ou seja um ponto do eixo wé da forma 0 0 0 t como já vimos Já a reta r que é paralela ao eixo w e passa pelo ponto Al 1 10 tem as equações xí y 1 r z 1 w t Um ponto desta reta é pois da forma 1 11 t Figura 73 O leitor deve comparar este exemplo com o da reta em R3 paralela ao eixo z passando pelo ponto 1 1 0 Figura 74 Fig 74 O Espaço de Quatro Dimensões 197 73 O PLANO EM R4 As equações paramétricas de um plano em R4 são deduzidas da mesma maneira que em R3 Um plano fica definido por um ponto A e por dois vetores v e v2 que determinam a sua dire ção Os vetores v v2 quando um não é múltiplo do outro geram um plano que passa pela origem Um ponto Q está neste plano se e somente se OQsvltv2 onde s e t são números reais Um ponto Px y z w está no plano que passa por AQc0 y0 z0 vv0 e é paralelo ao plano a se e somente se APsv1tv2 ou ÕPOAsv1 tv2 veja a Figura 75 Se v a bt ch d e v2 a2 b2 c2 d2 obtemos as equações paramétricas x xg als a2t y y0 bls b2t z z0 c1s c2t w w0 dxs d2t 0 Fig75 Por exemplo tomando v 1000 e v2 010 0 as equações paramétricas do plano que tem a direção de vl5 v2 e passa pela origem isto é o plano xy são x s y t z 0 w 0 198 Geometria Analítica ou seja os pontos do plano xy são da forma s t 00 Já o plano que passa pelo ponto A000 1 e é paralelo ao plano xy tem equações x s y t z o w 1 Portanto os pontos deste plano são da forma s t 0 1 74 O HIPERPLANO EM R3 A reta e o plano são chamados variedades lineares do R4 O termo linear referese ao fato de que as equações dessas variedades são do primeiro grau em termos dos parâmetros A reta tem uma dimensão e o plano tem duas dimensões O R4 contém também variedades lineares de três dimensões os hiperplanos O prefixo hiper indica aqui uma dimensão a menos que a do espaço Assim num espaço de dimensão n um hiperplano tem dimensão n 1 No R3 por exem plo um hiperplano é o que usualmente denominamos plano Um hiperplano fica determinado por um ponto e por três vetores que dão a sua direção Estes vetores não devem ser paralelos a um mesmo plano Um ponto P pertence ao hiperplano defini do pelo ponto A e os vetores v v2 e v3 se e somente se AP rvx sv2 tv3 ou OP OA rv sv2 tv onde r s e t são números reais os parâmetros O leitor não terá dificuldade em introduzindo coordenadas escrever equações paramétricas para o hiperplano Por exemplo o hiperplano de terminado pela origem e os vetores e 1 000 e2 0 100 e e3 0010 é constituído pelos pontos Q tais que OQ r 1 0 0 0 s0 1 0 0 r0 0 1 0 r 0 0 0 0 s 0 0 0 0 0 r s t 0 Este hiperplano é o espaço tridimensional xyz contido em R4 Ele é constituído dos pontos de R4 que têm a quarta coordenada w 0 A sua equação cartesiana é portanto w 0 Outro exemplo o hiperplano que contém o ponto A0002 e é paralelo ao hiperplano xyz isto é tem a direção dos vetores e e2 e e3 é formado pelos pontos P de R4 tais que ÕPÔA rel se2te3 0 0 0 2 r s t 0 r s t 2 As três primeiras coordenadas são quaisquer enquanto que a quarta é constante e igual a 2 A sua equação cartesiana é w 2 O leitor deve comparar este exemplo com o do plano em R3 que passa pelo ponto 0 0 2 e é paralelo ao plano xy Neste caso os pontos têm coordenadas x y 2 e a equação cartesiana é z 2 O Espaço de Quatro Dimensões 199 75 INTERSEÇÕES DE VARIEDADES LINEARES Seja por exemplo determinar a interseção do plano xy com a reta constituída pelos pon tos 1 1 0 t Ora os pontos do plano xy são da forma x y 0 0 Na interseção deveremos ter 1 1 0 í x y 0 0 donde x 1 y 1 í 0 A interseção é portanto o ponto 1 1 0 0 Agora aparece uma primeira surpresa a reta r da Figura 73 não intercepta o plano xy Com efeito na interseção deveríamos ter 1 1 lf te 00 o que não acontece pois a terceira coordenada do primeiro ponto é 1 enquanto que a do segun do é 0 Surpresa maior a mesma reta r intercepta o espaço tridimensional xyz somente em A De fato na interseção devemos ter 1 1 1 í x y z 0 donde x y z 1 e í 0 ou seja a interseção é o ponto Al 110 Daremos a seguir um exemplo de dois planos cuja interseção é um único ponto Um dos exem plos mais simples é o dos planos xy e zw Os pontos de xy são da forma x y 0 0 enquanto que os de zw são da forma 0 0 z w de modo que na interseção devemos ter x y 0 0 0 0 z w donde x y z w 0 isto é a interseção é somente a origem 76 COMO RETIRAR UM PONTO DE UMA CAIXA TRIDIMENSIONAL FECHADA Consideremos o cubo de aresta de comprimento 2 contido no hiperplano xyz do R4 como mostra a Figura 76 O seu centro é o ponto Al 1 1 0 Exibiremos um trajeto que deve percorrer o ponto A para ser colocado fora do cubo sem atravessar as suas faces O problema análogo em R3 consiste em retirar o centro do quadrado de lado 2 conti do no plano xy sem atravessar os lados do quadrado A Figura 77 mostra um trajeto para isto Para o caso tetradimensional o trajeto está indicado na Figura 78 Nesta figura os segmen tos AB BC e CD são tracejados para indicar o fato de que eles não estão contidos no espaço tridimensional xyz De fato o segmento AB está na reta r da Figura 73 que como já vimos não tem ponto em comum com o espaço xyz exceto o ponto A portanto ela não intercepta as faces do cubo O segmento BC está na reta x y z w 1 1 1 1 í0 1 0 0 11 t 1 1 200 Geometria Analítica z 2 A i y Fig 76 111 A 1 1 0 131 130 Fig 77 B A 1 11 0 5 1 1 1 1 Cl 3 1 1 D 1 3 1 0 x Fig 78 O Espaço de Quatro Dimensões 201 que não intercepta o espaço xyz pois a quarta coordenada de seus pontos nunca é zero Quanto a CD a sua reta suporte é X y z w 1 3 1 1 t0 0 0 1 1 3 1 1 t Esta reta intercepta xyz quando 1 1 0 ou seja no ponto D13 1 0 Resumindo os três seg mentos são AB 1 1 1 í 0 t 1 BC 1 1 t 1 1 0 t 2 CD 1 3 1 1 í 0 1 Portanto seguindo o trajeto ABCD o ponto A vai ocupar a posição de D que está no espaço xyz sem atravessar as faces do cubo 77 POR QUE O ESQUEMA DA SEÇÃO ANTERIOR FUNCIONA Como o leitor sabe um cubo no espaço R3 separa o espaço em duas partes uma interior li mitada e a outra exterior ilimitada Entretanto da mesma maneira que o quadrado OPQR da Figura 77 não separa o R3 o cubo da Figura 76 não separa o R4 E por esta razão que se tem acesso ao centro A do cubo da Figura 76 Então que tipo de figura separa o R4 Observemos que se transladamos no sentido do semi eixo positivo z o quadrado OPQR da Figura 77 até que ele fique contido no plano z 2 obte mos um cubo em R3 De modo análogo se transladamos o cubo da Figura 76 no sentido do semieixo positivo w até que ele fique contido no hiperplano w 2 obtemos um objeto de R4 que chamamos de hipercubo Este com o seu interior é constituído dos pontos x y z w de R4 tais que 0 x 2 0 y 2 0 z 2 0 w s 2 O hipercubo separa o R4 Outro objeto que separa o R4 é a hiperesfera A hiperesfera de centro na origem e raio 1 é o conjunto dos pontos x y z w de R4 cuja distância à origem é 1 A sua equação é x2 y2 z2 w2 1 78 A RESPEITO DO PRODUTO VETORIAL O produto vetorial de dois vetores definido no R3 é caracterizado pelas seguintes proprieda des PV1 u X v v X u PV2 uXv w uXv uXw V WXM V X w WXM PV3 tu Xv tuXv uXtv PV4 u X v X w u wv v wu PV5 u X vé perpendicular a u e a v quaisquer que sejam os vetores u v w e o número real t O ponto na propriedade PV4 indica produto escalar É curioso que além de R3 apenas em R7 é possível definir um produto vetorial de dois veto res satisfazendo as propriedades PV1 PV2 PV5 No artigo de B Walsh veja Bibliogra fia aparece uma demonstração deste fato utilizando apenas conceitos elementares de Álgebra Linear 202 Geometria Analítica Em R4 o correspondente do produto vetorial de dois vetores de R3 é um produto de três vetores definido de maneira análoga àquele através de um determinante Se v a b cu dA v2 a2 b2 c2 d2 v3 a3 b3 c3 d3 definimos e l e 2 e 3 É4 1 C1 d a2 b2 c2 d2 a3 b c3 d Aqui el 1 0 0 0 e2 0 1 0 0 e3 0 0 1 0 e4 0 0 0 1 Desenvolvendo o determinante segundo os elementos da primeira linha obtemos b cl d o ci d ai d ai b ci V X v2 X v3 h C2 d2 a2 c2 d2 e2 a2 b2 d2 3 a2 b2 C2 b3 C3 d3 a3 C3 d3 a3 h d3 a3 b3 C3 Por exemplo ei e2 e3 e4 1 0 0 1 0 0 0 e X e2 X e3 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 Como acontece neste exemplo o produto v X v2 X v3 é um vetor perpendicular a cada um dos vetores v v2 v3 O seu módulo é igual ao volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v v2 v3 tal como acontece com o módulo do produto vetorial de dois vetores em R3 em relação à área do paralelogramo determinado por eles Exemplo Equação cartesiana do hiperplano Assim como os hiperplanos de R2 retas e R3 planos um hiperplano de R4 pode ser determinado por um ponto Ax0 y0 z0 w0 e um vetor normal v a b c d Dizer que v é normal ao hiperplano significa que v é perpendicular a qualquer vetor paralelo ao hiperplano Portanto Px y z w pertence ao hiperplano se e somen te se AP v 0 ou em coordenadas x x0 y y0 zZo w w0 a b c d 0 donde obtemos a equação cartesiana ax by cz dw ax0 by0 cz0 dw0 0 Observemos que aqui também os coeficientes de x y z w são as coordenadas do vetor normal Se o hiperplano é dado por um ponto A e os vetores vt v2 e v3 um vetor normal é v v X v2 X v3 O Espaço de Quatro Dimensões 203 Exercícios 71 Determine equações paramétricas para a reta que passa pelo ponto A e tem a direção do vetor v sendo a A 1 1 1 1 v 10 00 b A 1 1 10 v l 100 c Al 12 1 v 1 2 6 8 72 Determine equações paramétricas para o plano que passa pelo ponto A e tem a direção dos vetores v e v2 sendo a Al 1 1 1 v 1 0 0 0 v2 0 1 0 0 b Al 1 1 0 v 1 1 0 0 v2 0 0 1 1 c Al 1 0 0 v 1 2 0 0 v2 0 0 3 4 73 Mostre que a reta do Exercício 71a está contida no plano do Exercício 12a IA Mostre que a reta do Exercício 71c é paralela ao plano do Exercício 72c 75 Dê as equações de duas retas perpendiculares ao plano do Exercício 12b pelo ponto Al 1 1 0 Verifique que este plano intercepta o plano definido por estas duas retas somente em A 76 Determine equações paramétricas para o hiperplano que passa pelo ponto A e tem a direção dos vetores vlf v2 v3 sendo a A3 120 v l 100 v2 0 1 1 0 v3 0 0 1 1 b A0 0 0 2 v 1 1 1 0 v2 1 0 0 0 v3 0 2 0 0 c A0 0 0 0 v 1 2 0 0 v2 1 0 2 0 v3 1 0 0 2 77 A partir das equações paramétricas dos hiperplanos do Exercício 76 escreva as suas equações car tesianas eliminando os parâmetros 78 Determine as equações cartesianas dos hiperplanos do Exercício 76 utilizando o produto v x v2 x v3 79 Determine a equação cartesiana do hiperplano que passa por A e é normal ao vetor v sendo a A0 0 0 2 v 000 1 b Al 100 v l 1 1 1 c A0 0 0 0 v l 1 1 1 710 Determine a interseção do hiperplano x z w l 0 com a a reta determinada pelos pontos Al 3 1 1 50 1 2 1 b o plano do Exercício 72c c o hiperplano do Exercício 16a 711 As circunferências C e C2 da Figura 79 representam elos entrelaçados de uma corrente Mostre como separar os dois elos sem cortálos A circunferência C está no plano xy e C2 no plano yz Fig 79 204 Geometria Analítica 712 Mostre que qualquer reta que passa pelo centro da hiperesfera x2 y2 z2 w2 1 de R4 a intercepta 713 Determine a interseção da hiperesfera x2 y2 z2 w2 1 com o hiperplano w k sendo a k 0 b k 12 c k 1 d k 2 714 O bordo do cubo é uma superfície bidimensional constituída de vértices v arestas a e faces qua dradas satisfazendo a fórmula de Euler v a 2 O bordo do hipercubo que é tridimensional é constituído de vértices v arestas a faces quadradas e faces cúbicas c Determine o número de cada um desses elementos e verifique que v a f c 0 715 Os conceitos introduzidos neste capítulo se generalizam para o espaço R dos pontos x x2 x com n coordenadas sendo n um inteiro positivo qualquer Descreva a equação cartesiana de um hiperplano de R CAPÍTULO SUGESTÕES E RESPOSTAS Nosso objetivo neste capítulo é além de fornecer respostas das questões propostas destacar algumas idéias que no texto ficaram implícitas ou foram apresentadas sem maior realce Quanto aos exercícios propostos propriamente entendemos que o procedimento correto é tentar uma solução própria sem nenhuma preocupação com a resposta ou indicação fornecida Os pro blemas foram elaborados não só com o objetivo de fixar o conteúdo do texto mas principalmen te desenvolver a imaginação e criatividade do estudante Assim o importante não é apenas a resposta mas sim o desenvolvimento da questão As sugestões dadas para a solução de certas questões não implicam preferência por tal solução Cabe ao estudante a crítica e a escolha da solução que mais lhe agrade CAPÍTULO 1 11 Use semelhança de triângulos 12 Observe que V 1 é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são Jn e 1 Portanto a partir de Jl você pode representar na reta R o número ijn qualquer que seja n Tente também representar os números da forma Jnk onde n e k são inteiros positi vos usando um triângulo retângulo cujos catetos são fn e Jk 13 Lembrese de que um número p é par se e somente se é da forma p 2k e ímpar se e somente se é da forniap 2k 1 onde keZ Logo a demonstração consiste em verificar que p e p 2 são ambos da forma 2k ou 2k 1 14 b Suponha a v ou as racional use 1 Aa e obtenha uma contradição Este método de demonstração é muito utilizado Você nega a proposição que quer provar e operando corretamente obtém uma contradição Isto significa que a negação da proposição é falsa pois conduz à contradição Logo a proposição é verdadeira Para ilustrar vamos apresen tar uma demonstração de que as é irracional Suponhamos que as seja racional esta é a negação da proposição Então as p onde p e Q Como a 0 temos í pa Por 14a s é racional pois é o produto de p pelo racional 1 la o que é uma contradição pois por hipótese s é irracio nal 206 Geometria Analítica 16 a Parta de ma b a 2 b Uma soma como esta com um número infinito de parcelas é chamada uma série Observe que para um número finito n de parcelas o valor da soma é m a e que Mn tende para B Resposta b a 18 Os números a bl2 e Jãb são chamados respectivamente média aritmética e média geométrica de a e b A proposição afirma que a média aritmética é maior que ou igual à média geométrica Para provála parta de yjã Jb f 0 19 Usando o Exercício 18 escreva mn i Jmn 2 onde m e n são as projeções dos catetos do triângulo sobre a hipotenusa e use as relações métricas do triângulo retângulo 110 Este problema mostra que é falsa a idéia de que entre dois segmentos o que tiver maior comprimento tem mais pontos O fato de existir uma correspondência biunívoca entre AB eAB significa no sentido usual de contagem que eles têm a mesma quantidade de pon tos Não se esqueça de que esta quantidade é infinita Para resolvêlo basta comparar os triângulos semelhantes da figura Resposta iTB 112 a 13 b x 1 u 3 x c 13 d x V 6 U V 2 n 2 u v T x e V6V6 f oc 32 As respostas deste exercício foram dadas na notação usual de intervalos cujas definições são a b x e R a x b a b ieRflÇiíii 0 a x R x a b oo ieR xb 00 a b x jteR xb onde aeb são números reais e a b 113 a 3 b 3 c 32 ou 54 Sugestões e Respostas 207 114 Quando desejamos provar que uma proposição é falsa apresentamos um caso particular onde ela não se verifica A isto é que se dá o nome de contraexemplo Uma proposição verdadeira evidentemente não tem contraexemplo As letras a e b admitem contra exemplos são falsas as demais podem ser demonstradas 116 a Faça na desigualdade lx y s bel fyl x b e y a b b Observe que a desigualdade dada é equivalente a Ia b lai b Ia b e use o item a 118 a oo 6 b Veja o primeiro membro como o produto de dois números a saber x 1 e x 3 Tal produto será menor que zero se os fatores tiverem sinais contrários isto é x 1 0 e x 3 0 ou x l 0 e x 3 0 D e x l 0 e x 3 0 temos o intervalo 13 que é a resposta pois não existe x que satisfaça a x l 0 e x 3 0 c A desigualdade dada é equivalente a x2 4x 6 0 Fatore o primeiro membro e proce da como foi feito no item b Resposta 2 3 d Fatore o primeiro membro Resposta 1 oo e Primeiro faça a hipótese x 2 0 e elimine o denominador do primeiro membro sem alterar a desigualdade Observe que ao eliminar o denominador você está multipli cando a desigualdade por um número daí a necessidade de saber se este número é po sitivo ou negativo Resposta oo 2 U 2 oo 119 Parta de r2 rí e obtenha r r2 r r2 0 tirando daí as conclusões 120 b3 a 121 a Como x2 Ixl2 a equação dada é equivalente a Ixl2 51x1 6 0 que é uma equação do segundo grau em Ixl As raízes desta equação são 2 e 3 Logo Ixl 2 ou Ixl 3 e portan to os valores de x são 2 2 3 e 3 b Proceda como no item a Resposta x 3 ou x 3 c Não tem raiz d A equação dada é equivalente ao par de equações x2 3x 2 e x2 3x 2 Suas raízes são 1 2 3 vTV2 e 3 Vff 2 e O primeiro membro da equação é o produto de dois fatores onde o primeiro é estrita mente positivo Logo x2 1 0 e portanto x l ou x 1 CAPÍTULO 2 21 b V9Õ c Não 24 x 2 25 Seja Bx y a extremidade da seta que representa o vetor v Então 3 7 x 2 y 1 Resposta 5 6 26 y 1 ou y 5 27 Valor máximo 5 Valor mínimo 1 208 Geometria Analítica 28 Escreva cada um dos lados da igualdade usando suas respectivas definições e compare os resultados 29 Sejam u x y e v x2 y2 Primeiro mostre que IImIP llvll2 11 vil2 2xx2 yxy2 Conclua então que IImII2 llvll2 11 vil2 desde que xx2 yy2 0 A partir deste fato você pode determinar vetores uev satisfa zendo as condições do problema Por exemplo u x y e v x quaisquer que se jam x e y Outra solução Construa o triângulo cujos lados são as setas que representam os vetores u v e u v Se as setas que representam uev forem perpendiculares pelo teorema de Pitágoras teremos I I k I F llvll2 IIu vil2 Logo quaisquer vetores cujas setas que os representam são perpendiculares satisfazem o problema 210 Na teoria foi explicado como determinar graficamente a soma u v Veja a Figura 210 No item a primeiro construa a seta que representa 2v depois efetue a soma b Veja a Figura 29 c Observe que u v u v Nos itens d e e use a associatividade isto é efetue graficamente a soma de duas das parcelas em seguida some o resultado com a terceira parcela 211 a Efetuandose as operações indicadas encontrase 3u 3w 2v 2w 0 ou 5w 3w 2v 0 Logo 2 3 2 3 4 9 w v u 13 21 5 5 5 5 l 5 5 b Proceda como em a Resposta yy 138 365 212 Efetue as operações indicadas e obtenha 2z 3w u 3v 5z 2w 5u v Este é um sistema de duas equações e duas incógnitas vetoriais Use as técnicas de eli minação comparação ou substituição utilizadas em sistemas lineares e determine os va lores de z e w Resposta Z L13m 9V 19 w JL15W13V 19 Sugestões e Respostas 209 213 Use semelhança de triângulos O número k em módulo é a razão entre os módulos deveu 6 18 24 2 1 4 a 3 4 T T b V5l2 yj52j5 215 Substitua os valores de u v e w na equação v ktu k2w Efetuando as operações indicadas você vai obter a igualdade de dois pares ordenados Lembrese de que xu yt x2 y2 se e somente se xt x2 e y y2 Use este fato e obtenha um sistema de duas equações nas incógnitas k e k2 Resolva este sistema e obtenha kt 14 e k2 74 216 Existem duas soluções 2 2V23 v2 e 2 223 J I Para determinálas lembre se de que o vetor AC ser paralelo a u significa que AC ku Para determinar k use o fato AcHMHfc 114 217 a 12 b 0 1 c 3 d f f 218 a Orientando convenientemente os lados do triângulo ABC podemos escrever CM CA AM Como Mé o ponto médio de Ai vale AM AB Mas AB CBCA 2 Logo CM CA lfCBCA CA CB b Proceda como no item a Resposta CM CB 2 CA 219 60 220 Devese ter Donde 71 411 11 klk2 1 4 e k2 3 fc k2 1 Resposta 7 1 4 4 3 3 221 Atribua a t vários valores 0 1 2 etc e marque os pontos correspondentes Conclua que quando t varia sobre o conjunto dos números reais estes pontos descrevem a reta que con tém 2 4 e é paralela ao vetor 3 1 210 Geometria Analítica 222 14 223 Atribua coordenadas genéricas aos vértices do triângulo e determine em função destas coordenadas o vetor definido pelos pontos médios de dois lados do triângulo Compare este vetor com o vetor determinado pelos vértices do terceiro lado do triângulo e obtenha a prova desejada 224 Mostre que PQ SR e SP RQ e conclua que os lados opostos do quadrilátero PQRS são iguais e paralelos 225 1 2 3 12 e 7 16 226 Estabeleça um sistema de coordenadas com origem em O e os eixos com a disposição usual Em relação a tal sistema escreva as forças F F2 e F como pares ordenados e someas como se somam vetores Resposta 3 2 V 3 3a3 2 2 227 Como no Exercício 226 primeiro estabelecemos um sistema de coordenadas e escreve mos F F e F2 como pares ordenados Obtemos F 2 2 Í F 20 e F2 I 2 2 Equacionando o problema temos ífW0j4f Resolvendo esta equação encontramos k e k2 1 Portanto devemos multiplicar F 1 2 por e F2 por 1 228 a Não pois a resultante F F2 F3 não é nula b A direção e o sentido de uma força não mudam quando a multiplicamos por um núme ro positivo Portanto devemos encontrar constantes positivas k2 e k3 tais que F k2 F2 k3 F3 0 Fazendo as contas encontramos k2 1 e k3 2 c A pergunta é equivalente a existe um número k tal que F kF2 F3 0 A resposta é não 229 A resultante é FIF2 F3 FIF2 F 2 u F 2 F 2 u2 F 2F H u2 3 F 2 m h2 Sugestões e Respostas 211 Estabelecendose o sistema de coordenadas onde F 1 0 e 0 1 deduzse que 4 2 2 ou u2 Resposta 2 2 conforme a escolha de u2 v V i a2 2 2 ou 2 2 230 Escreva cada um dos membros da igualdade em termos das coordenadas d e t e v e compa reos 231 a 14 b arccos 7V17Õ 170 7 21 35 c 35 17 17 17 232 a Mostre que u v u w 0 233 a 12 ou b x 2 ou x 2 234 a A ângulo entre AC e AB arccos B ângulo entre BA e BC arccos C ângulo entre CA c CB arccos HlbiF Nlb VÏ30 7 VÏ70 10 V22Ï c Seja y o pé da altura Escreva AP kABz daí IIAP PÍC Afi donde 3 J 1 9 7 tira que k 310 De AP AS deduzse que PI se d Área base X altura AB I N 2 2 c Seja Qx y o ponto procurado Escreva 11 2 BCBQ BQBA BC llfiGll llfiell lSA 2 7 2 Geometria Analítica Simplifique esta igualdade e obtenha uma equação do primeiro grau em x e y O ponto Q também satistaz AQt AC que leva a duas equações nas incógnitas x y et Resolvendose o sistema formado pelas três equações acima determinamse xey Resposta 23174VÍÕ 337111VTÕ 3717 10710 3 7 n i o 7 F õ 235 Faça uma figura e conclua que a altura é dada por pis ÃD II Resposta TIõ 37 236 Determine a altura como no exercício anterior A área é base X altura Resposta 237 Proceda como no Exercício 236 Resposta 17 238 Mostre que BABC 0 239 Seja v x y então x2 y2 4 3x y 7lÕ7x 2y 2 73 2 Resolva o sistema formado por estas duas equações Resposta 3730 7ÏÔ 73Õ37TÕ 10 10 ou 3 7 3 0 J Ï Ô 73Õ37ÍÕ 10 10 240 7 1 1 k2l 1 3 3 4 4 241 a Para calcular llwll use a propriedade llwll2 w w y ylãl bi Resposta 7î fci b aa2 bxb2 aa bb7 c arccos 7i è7cii bl Sugestões e Respostas 213 242 u v perpendicular a uv implica u v uv 0 Desta igualdade deduzse que llwll IML Todo paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares entre si é um losango 244 De u v wll2 llw v wll2 obtenha v w u v e observe que vw uv m H M M 7t Desta igualdade conclua que cos 6 cos onde 6 é o ângulo entre v e w Resposta iK 245 Dew v w 0 obtenha uu uv uw 0 u v u w 25 v u v v v 0 ou U V V W 36 w w v w w 0 u w v w 49 Resolva este sistema cujas incógnitas são u v u w e v w e obtenha u v 6 u w 19 v w 30 r J62Õ J62Õ V62Õ V62Õ1 246 2 1 o 2 1 10 5 J t 10 5 J 247 Escreva P em termos de v e u e verifique que vpM 0 249 a Equações paramétricas x l 2t yl 3t equação cartesiana 2y 3x 5 b Equações paramétricas x 36t y 2t equação cartesiana 6y x 9 250 Equações paramétricas x 5t x 4 31 y 6t y 1 At equações cartesianas 6x 5y 0 e 4x 3y 19 251 b Ponto A t 0 ponto B t 1 c 0 f 1 d í 1 pontos à direita de B 0 pontos à esquerda de A estamos considerando A à esquerda de B 252 As equações procuradas são da forma x 1 t y 2 mt 214 Geometria Analítica onde m é a declividade da reta procurada Como o ângulo entre 1 m e 1 2 é 60 ou 120 temos 1 2 m 1 fijlrf 2 Resolvendo esta equação determinamos m Resposta x 1 t x 1 t ou 8 53 8 5 3 y n 1 y 2 253 L 13 13 254 13 13 255 Escreva as equações paramétricas ou cartesiana da reta definida pelos pontos 21 e 00 2 n e resolva o sistema formado por estas equações e a equação y 2x 1 Resposta I 256 a Como as duas retas têm declividades iguais a equação procurada é da forma y 3x k Substitua o ponto P 2 1 nesta equação e determine k Resposta y 3xl b Primeiro mostre que se duas retas são perpendiculares o produto de suas declividades é 1 Para tal suponha que as retas tenham equações y mx k e y mxx kv Então os vetores 1 m e 1 m são perpendiculares de modo que 1 m 1 m 0 Donde 1 mm 1 Resposta y j 257 a 45 7V58 b arccos 58 258 Escreva a equação Ax By C 0 na forma y mx k isto é isole y e aplique a fórmu la de distância de um ponto a uma reta deduzida no texto Considere separadamente o caso 6 0 259 Mostre que o triângulo APB satisfaz o teorema de Pitágoras 260 Estabeleça um sistema de coordenadas e determine as equações das retas definidas por A 25 e B e O e C Faça a interseção destas retas e ache as coordenadas de P Resposta 775 261 Calcule a distância de um ponto qualquer de uma das retas à outra reta Resposta Sugestões e Respostas 215 262 Determine os três pontos de interseção das retas dadas e proceda como no exemplo do texto Outra solução determine as equações de duas das mediatrizes dos segmentos de terminados pelas interseções das retas dadas A interseção destas mediatrizes é o centro da circunferência e a distância deste ponto à interseção de duas das retas dadas é o raio Res posta 12r 12 y2 19x 35y 7 0 263 ax JTcost b x cost 2 2 rrr 3 Vl8 y vllsení y h seni 2 2 c x 3 cosi d x 1 cosi y 3 3 seni y 1 seni 264 A distância da origem à reta é o raio da circunferência Outra solução imponha que o sistema formado pela equação da reta e a equação da circunferência que é da forma x2 y2 r1 tenha solução única Resposta x2 y2 16 265 x2 y 62 18 266 a Resolva o sistema formado pela equação da circunferência e a equação da mediatriz de AB Resposta 2 2 ou 1 5 b Determine em r o ponto mais próximo do centro de C Resposta jH 267 a Resolva o sistema x2 y2 8x 2y 7 0 x2 y2 6x 4x 9 0 Resposta 1 2 e 3 4 b É suficiente subtrair uma equação da outra Resposta y x 1 268 a A velocidade da partícula é dada por AB deslocamento sobre tempo Resposta l í 2 í b Determine a interseção da trajetória da partícula com a perpendicular que contém C4 2 Resposta 3613 269 As trajetórias de P e Q se interceptam no ponto 5 3 P passa por este ponto no instante t 2 e Q no instante t 1 Logo não se chocam 270 Suponha que a velocidade de M2 seja a b Escreva as equações paramétricas das trajetó rias de M e M2 e faça í 1 Resposta 13 271 a Uma circunferência de centro 1 2 e raio 2 b Use derivadas ou proceda como no texto 272 Observe que o vetor y0 y x x0 é perpendicular ao raio no ponto de contato Resposta x Ó0 ydt y y xx x0í 216 Geometria Analítica 273 Este problema é semelhante ao 266 pois a trajetória da partícula é um arco de circunfe rência Resposta tt2 274 a Mostre que a equação é da forma ax by c 0 b Para X 1 temos A A x B B y C Cj 0 Um vetor paralelo a esta reta é B Bx A A Mostre que o ângulo entre B A c B 6 P A A é igual ao ângulo entre A e B Bu A A Mesmo procedimento para o caso X 1 Observe que B A e B A são respectivamente paralelos a Ax By C 0 e Ax By C 0 CAPÍTULO 3 31 a Focos 4 0 e 4 0 vértices 5 0 5 0 0 3 e 0 3 b Focos 0 4 e 0 4 vértices 3 0 3 0 0 5 e 0 5 c Focos 0 e 5 0 vértices 3 0 3 0 0 2 e 0 2 d Focos 0 e 0 vértices 1 0 1 0 0 e 0 32 a 1 3 4 b lx2 ly2 2xy 4 8 0 x v 33 L 16 9 34 a b2 x2 4ab y2 4aba by 0 35 a Substitua P2x y0 P3x0 y0 e P4x0 y0 na equação dada 37 a Façax y nas equações dadas e elimine os radicais b A equação da reta de declividadex0 e que contém o ponto x0 y0 é da forma De obtenha Logo fxQx k o fx0x0 k k o fxoxo y fx0x y0 fx0x0 Substitua nesta equação o valor defx 0 e simplifique a expressão resultante para obter a equação desejada 12 2 b a f 2 38 2 2 OO a b a2b2 iJlÕ 39 Use o Exercício 37b Resposta k Sugestões e Respostas 217 310 Seja x0 y0 o ponto procurado A equação da tangente à elipse neste ponto é xx o yy0 L 18 8 Sendo esta tangente paralela à reta 2x 3y 25 0 suas declividades são iguais Daí te mos a equação 4x0 2 9y0 D Temos também 1 2 18 8 Resolvendo o sistema formado por 1 e 2 encontramos a solução 3 2 311 Escolha o sistema de coordenadas com origem no centro da elipse e o eixo x coincidindo com o eixo maior da elipse Em relação a tal sistema temos P0 4 e o ponto procurado x0 y0 de acordo com o Exercício 37b satisfaz x o x yy 16 4 16 4 Introduza P0 4 na primeira equação e determine y Substitua v0 na segunda equação e determine x0 Resposta 2V3 1 313 a Focos v34 0 y34 0 vértices 5 0 e 5 0 b Focos 0 V34 0 vértices 0 3 e 0 3 c Focos 0 VT3 0 v13 vértices 0 2 e 0 2 d Focos ívl 0 V2 0 vértices 1 0 e 1 0 314 a 1 b x2 y 2 4xy 6 0 316 Veja a sugestão do Exercício 37 317 Use o Exercício 316b 318 TJ 2 x0y0 a b 319 Use os Exercícios 316b e 318 Resposta equação da tangente 3y 4x 1 equação da normal 3x 4y 18 218 Geometria Analítica 321 a Foco 0 1 vértice 0 0 diretriz y 1 b Foco 10 vértice 0 0 diretriz x 1 c Foco 0 i vértice 0 0 diretriz y 14 d Foco 18 0 vértice 0 0 diretriz x 18 322 ay l x 2 b x i y 2 c x 2y 2 8x 8y 0 323 O eixo da parábola é a reta que contém o vértice V6 3 e é perpendicular à diretriz Sua equação é y x 7 7 3 A interseção do eixo com a diretriz é o ponto A3 2 Sendo o vértice o ponto médio do segmento AF onde Fé o foco da parábola deduzimos que F 9 8 Conhecendo o foco e a diretriz é suficiente aplicarmos a definição de parábola para obter sua equação Resposta 25x2 9y2 30xy 618x 554 4929 0 324 A forma geral das equações das parábolas cujo eixo é paralelo ao eixo x é x ay2 by c a 0 325 A equação procurada é da forma v ax2 bx c Os pontos 23 e 14 pertencem à parábola O ponto 34 também pertence à parábola por ser simétrico de 14 em relação ao eixo da parábola Logo temos o sistema 3 4a 2b c 4 a b c 4 9a 3b c Resposta y x2 4x 7 326 Proceda como no Exercício 325 Resposta y x2 5x 6 327 Em relação a um sistema de coordenadas adequado a equação da parábola é da forma 1 y x onde 2a é a distância do foco à diretriz Os extremos da corda que contém o 4a foco e é perpendicular ao eixo da parábola são 2a a e 2a a Logo o comprimento da corda é 4a que é o dobro da distância do foco à diretriz 328 a Use derivadas b Do resultado do item a deduzse que um vetor paralelo à perpendicular à parábola em P é v 1 2áyQ Mostre que o ângulo definido por v e P F é igual ao ângulo definido por v e 1 0 329 a Faça x t e y 4t t2 e elimine t Resposta y 4x x2 b 2 Sugestões e Respostas 219 330 a Obtenha as equações a partir das definições de elipse e parábola b Substitua o ponto x yc na equação da elipse deduzida no item a e tome o limite com b tendendo para o infinito 331 a 5 1 e 7 4 b Substitua x e y na equação y 2x 7 por x xx2ey yt 3 Resposta y12x1 332 A equação de uma reta não contém o termo constante se e somente se ela contiver a ori gem do sistema de coordenadas Portanto a origem do novo sistema deve ser o ponto de interseção das retas dadas Resposta a translação definida pelas equações yxy 3 333 51 334 a ÕÒ 41 Õ02 12 002 53 b Veja Exercício 335 335 Tome dois pontos Aax a2 e Bbt b2 e efetue a translação X x a yyb Calcule as coordenadas do vetor AB usando os pontos A e B nos dois sistemas e compare os resultados 336 Resolva o sistema 4cos0 2V3 sen 0 5 4 sen0 2j3 cos6 J3 Resposta 6 tt3 radianos 337 11 13 338 a No sistema xOy 2 V 3 1 2V3 2 2 no sistema x202y2 11 b 27322 273 339 Efetuando uma rotação de 45 no sistema xOy obtemos o sistema xOy onde V2 x x y 2 2 72 72 y x y 2 2 s 220 Geometria Analítica Efetuando no sistema xOy a translação cuja nova origem é o ponto O obtemos o siste ma X0LV Como no sistema xOy o ponto O é V2 0 temos que Xj x J2 s2 y 1 y 0 Substituindo j em v2 obtemos J2 r x xH V V 2 2 2 7 2 Jl que é a resposta 340 Faça na equação dada x Xj cos0 j sen0 y x sen0 cos0 efetue as operações indicadas e coloque os termos x yf xLvhx cy em evidência Iguale o coeficiente de xy a zero e resolva a equação trigonométrica resultante 342 Completando os quadrados em x e y verifique que a cónica dada é uma elipse de centro 01 2 Em relação ao sistema xO obtido do sistema xOy por translação a equação desta cónica é X 2 Í T 1 Resolva o problema no sistema x1Oíyl não se esqueça de passar o ponto 43 o sistema x Resposta 2 4j3 para 343 a 3 2x 6 2y x 2 0 ou 6 2x2 xy 18y 2x 12 0 b 3y 2x 62 0 ou 9y2 4x2 12xy 36y 24x 36 0 E2 2yx 22 0 ou4y2 x2 4xy 4x 8y 4 0 344 x yf x l2 y l2 2 ou x2 f xy x y 2 0 345 Devese mostrar que todo ponto que satisfaz as equações das assíntotas da hipérbole 2 b2 satisfaz também à equação a 4fa a b e reciprocamente Se x y pertence às assíntotas da hipérbole temos y x a ou b y x Sugestões e Respostas 221 Logo y x y x L 0 ou i 0 b a b a Multiplicando estas equações obtemos YLU ou Logo se x y pertence a uma das assíntotas ele satisfaz à equação 4 4 o a b2 Para mostrar a recíproca fatore a equação 2 2 2 L o 2 L L o e obtenha va d ja by A partir desta igualdade conclua que um ponto que satisfaz a equação 2 2 W o a2 b2 pertence a uma das assíntotas 346 Para mostrar que A é invariante por rotação substitua xey na equação Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 por x x cos0 yx sen0 y x sen0 y1 cos9 Calcule o valor de B 4AC onde Bx A e C são respectivamente os coeficientes de iJi x e y na equação resultante e verifique que este valor independe de 6 e vale exata mente B2 4AC Para a translação proceda de maneira semelhante Para demonstrar a última parte do problema calcule A nas equações das cónicas redu zida à forma canónica 347 a 15x2 16y2 48x 0 b y2 15x2 12x 0 c y28x 0 348 Demonstre que todo ponto da cónica satisfaz a equação dada e reciprocamente 349 Veja o Exercício 348 350 Veja o Exercício 348 CAPÍTULO 4 42 b Represente o plano pelo triângulo definido por A BeCou por um paralelogramo tendo A B e C como vértices 222 Geometria Analítica 43 A eixo z B reta que contém o ponto 2 30 e é paralela ao eixo z C plano paralelo a xOy e a uma unidade acima deste D plano yOz E cilindro circular reto de raio 1 e eixo coincidindo com o eixo z 44 a x y z z 2 b x y z y 2 e z 3 45 j32j ou 3yj dependendo da escolha do sistema 46 O conjunto A é um plano eB é uma reta Sugerimos ao leitor fazer a figura R e s p o s t a 2 1 1 47 x 3 ou x 3 48 Complete os quadrados em x y e z e compare a equação resultante com x x 0 f y y2 zZq2 r2Resposta a12 leraio4 b01 5 e raio3 c Í I 0 J eraio s222 d 00 0 eraio V3 e 1101 e raio 49 x l2 j l2 z42 51 31 2 101 410 a J y 22z2 b Como o centro da esfera pertence ao plano x y ele é da forma x0 0 Logo a equação procurada é da forma x x02 y y 0 2 z 2 r 2 Substituindo os pontos dados nesta equação obtemos o sistema x l y l 16 r 2 o D 2 y o 2 2 9 r2 x l y 0 2 2 3 6 r 2 cuja solução é x0 13 y 0 6 e r 2 221 R e s p o s t a x 132 y 62 z 2 221 411 Centro 04 0 raio 2 412 x 52 y 52 z 52 52 413 x 2 y 2 y 2 13 414 a Desenvolva a equação x X Q 2 y y 0 2 z Zo2 r 2 Sugestões e Respostas 223 e faça 2xo a2y0 b2zo c e x y0 z r 2 d bjcl 2 y l 2 z l 2 l ou x2 y2z22x2y2z 4Q c a2 b2 c2 4d 0 415 Substitua o ponto r senj cos6 r sen sen d r cos4 na equação da esfera que éx2 y2 z2 r2 416 Escreva a equação da esfera e substitua nela o ponto t t 1 t 2 Resposta 2 ou t 2 417 a u v v u 2 b u X v 2 210 v X u 2 2 10 c m X v w u v X w 32 d u X v X w 38 184 u X v X w 32 24 8 e u X v X u X w 64 96 32 f u v Xu w 1 17 21 g arccos 418 a 14 7325 2 b273 419 420 28 421 Efetue as operações indicadas e escreva wt w2 e w3 como ternas Resposta 44 422 Observe que u X v 1 a 1 a 2 424 a Desenhe um cubo e estabeleça um sistema de coordenadas com origem em um dos vér tices do cubo e eixos coincidindo com as arestas Oriente as diagonais e escrevaas como vetores 76 Resposta arccos j 72a2 b AOC r 2 6 4 425 Com o eixo x arccos com o eixo y arccos com o eixo z arccos 756 756 426 xv 1 a ü r 111 mxv V 3 iíXV 5 b n jr 7 111 xv V3 224 Geometria Analítica 427 De xu yv xtu yv tire que x xt u y y v Como u e v têm direções diferentes conclua que x x 0 e y y 0 ou x x e y y 430 Use a propriedade HM X vil IIMII llvll sen 0 431 M v X w IIMII llv X wll cosa onde a ângulo entre u e v X w é 0o ou 180 Logo u v X w 6 llv X wll 6 llvll Ilwll sen 30 6 3 3 27 2 432 llv X M vil2 v X M v v X u v v X u v X M v X u v vv X u v v llv X MH2 llvll2 4 1 5 Portanto llv X u vil y5 433 Use o fato de que qualquer vetor de R3 pode ser escrito na forma w xu yv zu X v onde x w u y w v e z w M X v 434 a O plano yz é definido pelos vetores u 0 1 0 e v 0 0 1 Logo w w uu w vv 0 1 3 b O plano definido pelos pontos O A e B é o plano definido pelos vetores O A 231 e SB 320 que são perpendiculares Tome M e v e aplique o Exer OA M 142 151 13 cicio 433 Resposta 91 91 91 435 A área do paralelogramo ACEF é dada por AC x A A C x BD A b A B X AD AB 2 AB X AD Logo a área de ACEF é o dobro da área de ABCD 436 2x 1 ly 1 8z 1 0 ou 2x y 8z 9 437 a x z 1 0 b z 0 c z 2 438 Como a equação do plano xy é z 0 os pontos da interseção do plano 2x y z 2 com xy satisfazem ao sistema 2xyz 2 z 0 Duas soluções deste sistema são 0 20 e 100 Logo o plano definido por 0 20 1 0 0 e 2 1 3 é a solução Resposta 6x 3y z 6 439 a 3x 2y 6 b x 2z 2 c x 3 d z 1 Sugestões e Respostas 225 440 2x3y2z 6 441 x y 0 442 a x 21 yl2t z 3 4t b x 0 y t z 0 c X 1 t y 1 t z o 443 x 2 2r y l í z t 444 O plano mediador de AB é perpendicular a AB 2 2 8 e contém o ponto médio de AB Resposta x y 4z 1 0 445 Os planos mediadores dos segmentos AB AC e BC se interceptam segundo uma reta que é o lugar geométrico procurado A interseção de dois destes planos é pois a solução do problema A seção seguinte trata da questão de interseção de planos Sem recorrer a ela você pode proceder como segue AB X AC é paralelo à interseção e um ponto que satis faça simultaneamente às equações de dois dos planos mediadores pertence à interseção deles que é o lugar geométrico Conhecendo um vetor paralelo e um ponto podemos es crever as equações paramétricas do lugar geométrico Resposta x 21 2 1 y2 z t 446 Os planos bissetores contêm o eixo z Um deles contém o ponto 11 0 e o outro contém o ponto 1 1 0 Resposta x y 0 e x y 0 447 O próprio ponto de tangência Pl 2 1 pertence ao plano tangente Um vetor perpendi cular a este plano é 1 2 1 pois o raio é perpendicular ao plano tangente no ponto de contato Resposta x 2y z 6 448 a O centro da esfera é 00 0 0 Mostre que d0 P é menor que o raio e que d0 Q é maior que o raio da esfera b Resolva o sistema formado pelas equações paramétricas da reta definida por P e Q e a equação da esfera Resposta r2 fi2 2 J52 22J52V2V52 2452 2252 2 2 6 Geometria Analítica 449 b B2 4 1 450 A mediana contém o vértice C e o ponto médio de AB Resposta x 31 y t z 2t 451 a l 2t y 23t z t bx 21 y t z 2 c 2 2 6 453 Mostre que qualquer ponto da reta satisfaz a equação do plano Para isto substitua na equação do plano um ponto genérico da reta isto é um ponto da forma 1 t 2 3 5 f 454 Mostre que o sistema formado pelas equações paramétricas da reta e a equação cartesiana do plano não tem solução 455 a a 1 e b qualquer b impossível c a 1 e b qualquer 456 a Os vetores a b 3 e 2 1 5 devem ser paralelos Resposta a b e d qualquer 6 3 12 ba b e d 5 5 5 457 O ponto de interseção de r e s é 12 1 6 Para escrever uma equação do plano definido por r e s use o ponto 72 1 6 e o vetor 1 1 1 X 2 3 2 Resposta x z 4 0 b Escreva as equações paramétricas de cada eixo e proceda como no item a Outra so lução Examine os triângulos com vértices no ponto dado e nas projeções sobre os ei 458 a b 0 459 a 7 0 3 4 27 Sugestões e Respostas 227 xos e planos coordenados Resposta distância ao eixo distância ao eixo y f29 distância ao eixo zVT3 460 O plano procurado é perpendicular à interseção dos planos dados Resposta 2x y 3z 13 461 Dois vetores paralelos ao plano são 0 0 1 e 1 2 3 X 2 1 1 1 5 3 Um ponto do plano é 13 13 1 Resposta x 1 1 3 y 5t 3 z l3ts 462 a Tome dois pontos da reta e projeteos sobre o plano a A reta definida pelas projeções é a solução Resposta x3 t y2t z 3 b O ângulo entre a reta e o plano a é um dos ângulos entre a reta e sua projeção sobre o plano a Resposta menor ângulo arccos 5 sfJÕ 463 O vetor 2 3 2 X 3 2 1 é perpendicular ao plano procurado Para se obter um ponto do plano atribua a t nas equações paramétricas de r um valor qualquer Resposta Equação cartesiana x 8y 13z 9 0 equações paramétricas x 1 2t 3s y 23t 2s z 2 2ts 464 O ângulo agudo entre r e s é igual ao ângulo agudo entre os vetores 2 11 e 111 que V2 é arccos 465 O ângulo 6 entre os vetores 2 1 3 e 1 1 8 é um dos ângulos entre os planos dados Como cos 9 0 6 é o ângulo maior O ângulo agudo é pois 23 arccos 924 466 a Tome um ponto P2 2 í 3 1 de r e mostre que dP A dP B dP C qualquer que seja t b E a interseção de r com o plano definido por A B c C Compare este exercício com o de número 445 Resposta 2 3 2 467 a O lugar geométrico dos pontos eqiiidistantes de A B e C é uma reta A interseção desta reta com o plano dado é a solução do problema Resposta W3309 9 1 T 7474 228 Geometria Analítica b É a interseção do lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de A B e C com o plano definido por A Be C Resposta 23 69 529 154154154 468 ré a interseção de a com o plano mediador de AB Resposta x 23t y 1 At z t 469 Um ponto da bissetriz é 3 4 2 que é a interseção de r e i O ângulo menor de r e v é o ângulo definido pelos vetores 1 1 1 e 1 2 1 ou pelos vetores u 1V3 111 e v 1 v6 1 2 1 Como u e v têm o mesmo módulo 11 2 1 1 U V J f V 6 V 3 V 6 yj3 v6 é paralelo à bissetriz Logo a solução é 470 a Seja P o simétrico de P em relação a O Então O é o ponto médio do segmento PP Resposta 4 3 1 b Determine o ponto de interseção do plano que contém P e é perpendicular à reta dada com esta reta e proceda como no item a Resposta 0 1 1 c Determine a interseção da reta que contém P té perpendicular ao plano dado com o plano dado e proceda como no item a Resposta 217 5317 1517 25 471 x3í 34 t 11 48 Z 7 T 472 Seja Q o ponto onde a reta 5 intercepta o plano definido por Per A reta definida por P e Q é a solução do problema Dependendo de P r e 5 este problema pode não admitir solu ção Resposta x 1 5r y 3 64í z 5 321 Sugestões e Respostas 229 473 a 2 J9Õ b Determine a projeção r de r sobre o plano a que contém v c é paralelo a r Seja I a interseção de r com v A reta que contém I e é perpendicular a a é a solução Resposta 109 x 90 5t 436 y 90 41 507 2 lt 90 474 O vetor a b c X a bx cx é paralelo a cada um dos planos dados Logo é paralelo à interseção desses planos Uma reta paralela a dois planos que se interceptam é também paralela a sua interseção Você se lembra deste teorema da Geometria Elementar 476 Determine a interseção do plano dado com a reta que contém a origem e é perpendicular a ele Resposta ad bd cd a2 b2 c2 a1 b2 c2 a2 b2 c2 2a 411 a zero ou b arccos j e arctg 2 478 Fazendose a interseção da reta que contém o centro da esfera e é perpendicular ao plano dado com a esfera obtémse o ponto de tangência Resposta c 123 t 123 2x y 6z 5 7 ou 2x v 6z 5 7 4 1 4 1 4 2 2a 479 Centro L raio V2ÍÕ 3 3 3 3 480 a A partícula está mais próxima da esfera no instante que estiver mais próxima de seu centro A distância de um ponto da trajetória da partícula ao centro da esfera é dada por 1 0 2 1 2í2 t2 O mínimo desta distância ocorre quando 1 í2 1 2í2 r2 0 dt Resposta t 230 Geometria Analítica b É o ponto de interseção da esfera com a reta definida por 00 0 0 e P76 23 16 Resposta 1 741 V 66 CAPÍTULO 5 51 a x 0 0 b 0 y 0 c 0 0 z 52 x 3 onde x y 29 53 2 14 e 214 x2 y2 z2 54 a L 9 4 4 2 2 2 f r f r L c x y2 z2 dz 4x 2y 2 2 1 eÍ6 T6 9 55 Parta de cos 0 cos a onde a é o menor ângulo entre r e s c 0é o ângulo entre v 2 1 1 e VP sendo V3 1 4 o vértice e Px y z um ponto genérico do cone Resposta 104x2 23y2 23z2 108x 108xz 54yz 948x 494y 454z 2083 0 57 a Neste caso para 0 y 4 a reta que contém o raio de rotação intercepta a curva dada em dois pontos Considerando cada um dos raios de rotação obtémse as equações 2 v4 zf x2 y2 e 2 4 zf x2 y2 onde z 4 em ambas e z 0 na segunda Portanto a superfície que se obtém é cons tituída de todos os pontos Px y z que satisfaz 24 zf x2 y24 z ou 24 z2 x2 y 24 z 0 b A curva cuja equação é z y2 4y Esta curva compõese dos arcos de parábolas cujas equações são 7 y2 4y y 2 0 e z y2 4y y 0 c k 0 uma circunferência k 0 uma circunferência mais o seu centro 4 k 0 duas circunferências k 4 uma circunferência k 4 não há interseção 58 x 32 y2 10 59 x2 z2 sen2y 0 0 2ir Sugestões e Respostas 231 510 a Fatorando a equação obtemos 12 y 22 z i2 o cuja única solução é 1 2 1 b Fatorando a equação obtemos x yf y zf 3z2 0 Donde se conclui que o gráfico reduzse ao ponto 0 0 0 c Fatorando a equação obtemos x y2 x l2 y l2 2z2 0 O gráfico reduzse ao ponto 1 10 511 Fatorando a equação encontramos x y2 x z2 y zf 3 z2 8 Como o primeiro membro é uma soma de termos nãonegativos e o segundo membro um número negativo a equação não tem solução ou seja seu gráfico é o conjunto 514 1 14 e vazio x2 515 a i y 1 i z 4 x2 b j 21 9 Z H 1 4 1 C T y2 i z2 T 3 8 4 x2 d I y2 i z 1 3 8 4 tz x2 T 2 1 i 1 hiperbolóide de duas folhas 2 2 x y f z parabolóide hiperbólico 4 16 g y2 x2 z2 cone de revolução 2 y h z x j cone quadnco 2 2 2 516 x2 Z 9 4 517 A equação procurada é da forma 232 Geometria Analítica Para z 1 temos 2 2 2 2 a a que segundo o enunciado é uma circunferência de raio 3 Logo a2 9 Resposta 2 2 21 z 9 9 518 Proceda como no Exercício 517 Resposta 2 2 x y 519 A equação procurada é da forma 2 2 2 1 2 4 c 2 E Para determinar c substitua xyez em E pelas coordenadas do ponto 1 1 1 Resposta 2 2 2 y z 1 2 4 4 520 L 9 4 16 521 Focos F 02 Vl5 0 2 v é r t i c e s a o 2 A 02 3T 320 320 522 00 V5 1 523 Determine a equação do cone e proceda como no Exercício 521 Resposta F 0 2 0 5 y5 2 524 m 0 525 a Substituindo a primeira equação na segunda e resolvendo a equação resultante obtemos Z J5 1 Substituindo este valor de z na primeira equação ou na segunda e resolvendo a equação resultante em x obtemos l1 2 x Jy Sugestões e Respostas 233 Fazendo pois y t temos I f í 1 2 x J r J5 1 Outra solução Como foi dito no Exercício 522 a interseção é uma circunferência O centro desta circunferência é 00 V5 1 2 e ela está contida em um plano paralelo a xy Seu raio é V5 1 2 Logo pode ser parametrizada também assim X ÜTT cosf 1 sen 0t2n i 5 1 2 b Substituindo a segunda equação na primeira e resolvendo a equação resultante obte mos x 0 Introduzindo este valor na segunda equação obtemos y 2 Logo x 0 y 2 z qualquer é uma parametrização da reta interseção 526 Escolha quatro pontos da interseção e mostre que um deles não está contido no plano de finido pelos outros três 527 Os pontos da forma cosi sen t Para t tt4 2kit pertencem simultaneamente à curva e ao plano 528 a x cost y senf 0 s t 2tt z 1 cosi senf b x cos 2t y sent 0 t S 2tt z cosi 529 O vetor tangente à curva no ponto Pt 6í 3í2 t3 é Pt 6 6í 3í2 O ângulo definido por este vetor e 1 0 1 não varia pois seu coseno 6 3 r 1 V36 36í2 9 t2JÍ yf2 234 Geometria Analítica é constante 530 a x 2 y 3 t z 2 t 3 a b 531 xyz 2 0 CAPÍTULO 6 61 Escreva z e w na forma x yi aplique a definição de conjugado e efetue as operações in dicadas 62 1 i i 63 a 4 b 8 c i 65 237 23h em números aproximados 66 Escreva zw na forma x yi aplique a definição de módulo e efetue as operações indica das Utilize b na solução de c 67 Interprete os números complexos z e w como vetores e construa o paralelogramo definido por zew z w e w z são as diagonais do paralelogramo A soma dos quadrados das diagonais é igual ao dobro da soma dos quadrados dos lados 68 Mostre que Para tal escreva 1 zw 1 1 zw Z W Z W 1 zw 1 zw Faça a multiplicação do segundo membro e use o fato de que zf 1 69 a a 15 b l5 b a2 b2 2 ca2 b2 2 a 115 e b 75 610 4 2i 611 z3 z2 Zi ou z2 zt z3 ou z z3 z2 Sugestões e Respostas 235 612 z al lz al 2lcl é a equação de uma elipse de focos a e a e eixo maior 2lcl Os vértices desta elipse são pontos fáceis de serem determinados Se lai lei não existe z que satisfaça a equação 613 Sejam ate complexos tais que c lai Então Hz al lz ali 2lcl é uma equação da hipérbole cujos focos são a e a 614 Observe que e 2kn 9 2 kx 6 dY 2n 2 n zI cos i sen azl cos 1 sen cos hisen n n A n n 615 Calcule o ângulo entre z e zeie 616 a 1 b 1 i 1 i 2 2 2 2 2 2 2 2 V3 1 J31 V 3 1 1 d f 1 i 2 2 2 2 617 a x 2 30x 2 30 0 ou x2 4x 13 0 b x 3x 1 2ix 1 20 0 ou x3 5x2 llx 15 0 c jc lx 1 2iJx 1 30 0 ou x3 3 502 3 10i 5 5i 0 618 Substitua x por z na equação e tome o conjugado de ambos os membros Usando o fato de que o conjugado da soma é a soma dos conjugados e que o conjugado do produto é o pro duto dos conjugados mostre que z satisfaz a equação dada Para provar que uma equação do terceiro grau tem pelo menos uma raiz real use o resultado anterior e mostre que uma raiz da equação é a conjugada dela mesma e portanto é real 619 a Use a fórmula de Tartaglia Resposta 2 1 i 1 i b Faça x y h substitua na equação e determine h de modo que a equação resultante não contenha o termo em y1 Resolva a equação resultante em y usando a fórmula de Tartaglia e determine as raízes da equação original usando a relação x y h Respos tas 12 2 i 2 i 620 Parta da forma da distância em coordenadas cartesianas Resposta r2rr2cos0 92 621 Os gráficos dão as seguintes curvas a circunferência b cardióide c rosácea de quatro pétalas para n 2 e rosácea de três pétalas para n 3 d espiral e lemniscata f circunferência greta 623 Das equações paramétricas deduza que x2 y2 a2 sec2f 2ab sect b2 e daí que r2 a secf b2 236 Geometria Analítica 624 Use o ângulo t formado pelo eixo x e a reta OB como parâmetro Faça uma figura e tire x em função de t diretamente dela Para obter y em função de t use potência do ponto B em relação à circunferência C Resposta x 2a cotg t y 2a sen21 Equação cartesiana substitua sen21 em 2 a 1sen 21 x 4a sen t 8 a3 Resposta x2 4a2 CAPÍTULO 7 71a x l í b x 1 í c x l f y 1 yl t y 1 2t z 1 zl z 2 6t w 1 w 0 w l 8í 72 a x 1 s b x 1 s C X 1 í yl t y 1 s y 1 2s z l z l f z 3í w 1 w t z 41 73 Mostre que dois pontos da reta satisfazem as equações paramétricas do plano 74 Mostre que o sistema formado pelas equações paramétricas da reta e do plano não admite solução 75 Observe que qualquer vetor u tal que u v u v2 0 é perpendicular ao plano que con tém A e é paralelo a v e v2 76 a x 3 r b x r s c x r s t y 1 r 5 y r 2t y 2 r z 2 s t z r z 2s w t w 2 w 21 11 a x y z w 2 b w 2 c 2x y z w 0 78 Veja as respostas no Exercício 77 79 a w 2 bx y x w 2 c x y z w 0 Sugestões e Respostas 237 b Resolva o sistema formado pelas quatro equações paramétricas do plano e a equação cartesiana do hiperplano Este sistema tem seis incógnitas Resolvao em função de uma das incógnitas t por exemplo A interseção é a reta cujas equações paramétricas são X 3 3f 1 14 y 1 3 3 z 3t w 4t 3 cx t y 1 5 7 2 z t w s 711 As retas paralelas ao eixo w passando pelos pontos de C determinam um cilindro cuja interseção com o espaço tridimensional xyz é C Portanto o cilindro não intercepta C2 Ao se deslizar qualquer distância ao longo do cilindro C sai do hiperplano xyz e portan to desentrelaçase de C2 Use agora qualquer trajeto para retornar Cj para uma posição conveniente do espaço xyz 712 O centro da hiperesfera é a origem A direção de uma reta qualquer que passa pela origem pode ser determinada por um vetor unitário a b c d Portanto a2 b2 c2 d1 1 As suas equações paramétricas são x aty bt z ct w dt que juntamente com x2 y2 z2 w2 1 formam um sistema que admite solução t 1 A reta intercepta a hiperesfera nos pontos a b c d 713 A interseção é x2 y2 z2 1 k2w k que é a esfera de centro 00 00 e raio 1 b esfera de centro 0 0 0 12 e raio 12 c o ponto 0 0 0 1 d o conjunto vazio 714 Primeiramente mostramos um esquema que pode ser usado para a contagem dos vértices arestas e faces do cubo Este esquema será limitado para o caso do hipercubo O estratage ma consiste em desenhar no plano uma figura que de certa maneira contenha os elementos do cubo que se quer contar No plano a da Figura 81a o quadrado interior ABCD repre senta a face inferior do cubo da Figura 81b assim como ABBA BCCB etc represen tam as faces laterais indicadas com as mesmas letras no cubo O quadrado exterior A B CD na Figura 81a corresponde à face superior do cubo da Figura 81b Para o hipercubo a figura correspondente à Figura 81a é a Figura 82 Os cubos interior ABCDEFGH e exterior ABCDEFGH correspondem às faces cúbicas inferior e superior do hipercubo Os 6 cubos ABFEABFE BCGFBCGF etc correspondem às faces cúbicas 238 Geometria Analítica laterais do hipercubo elas são geradas pela translação das faces quadradas do cubo inferior da mesma maneira que os lados do quadrado ABCD geram as faces laterais do cubo da Figura 81b Portanto c 8 Uma simples contagem na Figura 82 mostra que v 16 a 32 24 D A Dy B a b Fig 81 Fig 82 BIBLIOGRAFIA SUGESTÕES PARA LEITURA 1 T M Apostol Cálculos Editora Reverté 1973 Os Capítulos 9 12 e 13 tratam de números complexos e Geometria Analítica 2 G S S Avila Funções de uma Variável Complexa LTC Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro 1977 O Cap 1 apresenta o plano complexo 3 R L Eisenman An Easy Way from a Point to a Line Math Magazine vol 42 1969 4041 Dá uma dedução simples da fórmula da distância de um ponto a uma reta usando semelhança de triângulos 4 A Gonçalves Introdução à Álgebra IMPA Projeto Euclides Rio de Janeiro 1979 A introdução do livro apresenta uma dedução da fórmula de Tartaglia 5 D Hilbert S CohnVossen Geometry and the Imagination Chelsea Publ Co N Y 1952 Na Seção 23 aparece uma descrição dos poliedros regulares em três e quatro dimensões 6 D C Murdoch Geometria Analítica LTC Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro 1971 É um texto de Geometria Analítica com uma introdução à Álgebra Linear Utilizando diagonalização de matrizes faz a redução das quádricas à forma canónica 7 N M Santos Vetores e Matrizes Ao Livro Técnico SA Rio de Janeiro 1972 É uma introdução à Álgebra Linear contendo Geometria Analítica no Espaço 8 B Walsh The Scarcity of cross Productos on Euclidean Spaces Amer Math Monthly vol 74 1967 188194 Usando apenas Álgebra Linear elementar prova que o produto vetorial de dois vetores existe apenas em R R3 e R7 CAPÍTULO ÍNDICE ALFABÉTICO A Abscissa 15 Adição de vetores 21 ângulos diretores 106 entre retas 31 98 entre vetores 31 98 Argumento 181 Assíntota da hipérbole 66 c Cardióide 190 Centro da elipse 57 Cilindro de revolução 133 diretriz do 139 hiperbólico reto 138 parabólico reto 138 reto 139 Circunferência equações da 49 Conchóide de Nicodemos 192 Cone de revolução 132 quádrico 142 Cónica 728183 Conjugado 174 Coordenadas 15 polares 181 sistemas de 90 Curvas em coordenadas polares 185 no espaço 153 E Eixo do cone 132 maior 56 Elipse 56 construção da 57 normal à 62 tangente à 61 vértices da 57 Elipsóide 142 da revolução 127 Epiciclóide 188 Equaçãoões cartesiana da cardióide 191 da circunferência 51 da esfera 95 da reta 44 do hiperplano 202 do plano 107 de uma cónica 72 reduzida 72 geral do segundo grau 81 paramétricas da circunferência 50 da elipse 62 da epiciclóide 189 d a reta 41 114 197 de uma curva 157 d o plano 113 197 polar da cardióide 191 Esfera 95 Espaço 90126 Excentricidade 87 D Formas canónicas 142 Declividade 45 Fórmula Desigualdade de Moivre 182 de CauchySchwarz 32 d e Tartaglia 172 triangular 8 23 Diretriz 87 Distância 16 95 H de um ponto a um plano 119 de um pontoa uma reta 48 121 Hélice 169 entre dois pontos 16 94 Hipérbole 63 entre retas reversas 122 assíntota da 66 242 Geometria Analítica normal à 69 tangente à 68 vértices da 63 Hiperbolóide de duas folhas 142 de revolução 131 de uma folha 142 Hipercubo 201 Hiperesfera 201 Hiperplanos 193 198 Hipociclóide 191 I Interseção de planos 117 de retas e planos 118 de retas 118 de variedades lineares 199 L Lemniscata 187 M Módulo 6 97 175 Multiplicação de números complexos 173 de um vetor por um número 21 N Normal à elipse 62 à hipérbole 69 Números complexos 172 inteiros 1 irracionais 3 naturais 1 racionais 1 2 reais 4 5 O Oposto 21 Ordenada 15 P Parábola 69 vértice da 70 Parabolóide de revolução 132 elíptico 142 hiperbólico 142 Plano 1555 equação do 107 113 197 mediador 108 osculador 165 projetante 185 tangente 163 Ponto médio 27 Produto escalar 3197 177 193 misto 104 vetorial 99 201 Projeção 37 119 Q Quádricas 127 R Raízes nésimas 182 Resultante 25 Reta 114 ângulos entre 47 distância de um ponto a uma 48 equações cartesianas da 44 paramétricas 41 113 114 195 Rotação de eixos 75 s Sistemas de coordenadas 15 90 Superfície de revolução 128 T Tangente à elipse 57 à hipérbole 63 à parábola 71 Translação de eixos 73 U Unidade imaginária 172 V Valor absoluto 6 Variedades lineares 193 198 Vértices da elipse 57 da hipérbole 63 da parábola 70 do cone 132 Vetores 18 adição de 21 ângulo entre 47 98 deslocamento 23 no espaço 97 no plano 17 nulo 19 97 operações com 20 projeção de 36 unitário 28 velocidade 158