Exercícios - Oscilações - 2024-1

Oscilações Exercícios 1 Um oscilador tem freqüência igual a 67 MHz 67 x 106 Hz Quanto dura uma oscilação e qual é a freqüência angular Usando as relações ω 2πf 2π 67 10⁶ Hz 2π radciclo67 10⁶ ciclos 42 10⁷ rads Uma vibração muito rápida corresponde a valores elevados de ω e de f e a valores pequenos de T uma vibração lenta corresponde a ω e f pequenos e valores de T elevados Oscilações Exercícios 2Um dinamômetro puxa a mola para a direita e mostra uma força de 60 N que produz um deslocamento igual a 0030 m Oscilações Exercícios O dinamômetro é removido e em seu lugar é amarrando um corpo de 050 Kg que é puxado até uma distância de 0020 m Em seguida esse corpo é solto e executa um MHS Oscilações Exercícios a Calcule a constante de mola b Calcule a freqüência a freqüência angular e o período de oscilação a Quando x 0030 m a força que a mola exerce sobre o dinamômetro é F 60 N Usando a Equação F kx força restauradora exercida pela mola ideal k Fx 60 N0030 m 200 Nm b Os dados são m 0050 kg e k 200 Nm 200 kgs² Usando a Equação achamos ω km movimento harmônico simples ω 200 kgs²0050 kg 20 rads Oscilações Exercícios A frequência f é f ω 2π 20 rads 2π radciclo 32 cicloss 32 Hz Oscilações Exercícios O período T é o inverso da frequência f T 1 f 1 32 cicloss 031 s O período é geralmente expresso em segundos em vez de segundos por ciclo Oscilações Exercícios A amplitude da oscilação é igual a 0020 m a deformação inicial da mola quando puxamos o corpo para a direita antes de libertálo Não precisamos usar esta informação para achar a frequência a frequência angular e o período porque em um MHS nenhuma destas grandezas depende da amplitude Oscilações Exercícios Oscilações Exercícios a Conforme o exemplo 2 o período é igual Oscilações Exercícios a Conforme o exemplo 2 A amplitude usando a fórmula abaixo fica A constante da mola é k 200 Nm e a mola está ligada a um corpo de massa m 050 kg Vamos agora fornecer um deslocamento inicial 0015 m e uma velocidade inicial 040 ms a Calcule o período a amplitude e o ângulo de fase do movimento b Escreva equações para o deslocamento a velocidade e a aceleração em função do tempo O deslocamento em função do tempo é dado pela Equação x A cos ωt φ x 0025 m cos 20 radst 093 rad Oscilações Exercícios Oscilações Exercícios Oscilações Exercícios 4 Na oscilação discutida no Exemplo 2 k 200 Nm m 050 kg e o corpo que oscila é libertado do repouso no ponto x 0020 m a Ache a velocidade máxima e a velocidade mínima atingidas pelo corpo que oscila a A velocidade v em função do deslocamento x é dada pela Equação v kmA² x² A velocidade máxima ocorre no ponto em que o corpo está passando em sua posição de equilíbrio se deslocando da esquerda para a direita para x 0 v vₘₐₓ kmA 200 Nm 050 kg 0020 m 040 ms A velocidade mínima ou seja a mais negativa ocorre no ponto x 0 quando ele está passando em sua posição de equilíbrio se deslocando da direita para a esquerda seu valor é vₘₐₓ 040 ms A aceleração mínima ou seja a mais negativa é igual a 80 ms² e ocorre no ponto x A 0020 m Oscilações Exercícios c Calcule a velocidade e a aceleração quando o corpo está na metade da distância entre o ponto de equilíbrio e seu afastamento máximo Em um ponto na metade da distância entre o ponto de equilíbrio e o afastamento máximo x A2 0010 m Pela Equação v kmA² x² v 200 Nm 050 kg 0020 m² 0010 m² 035 ms Oscilações Exercícios Escolhemos a raiz quadrada negativa porque o corpo está se deslocando de x A até o ponto x 0 Pela Equação a d²xdt² km x Para este ponto a velocidade e a aceleração possuem o mesmo sinal logo a velocidade está crescendo As condições nos pontos x 0 x A2 e x A são indicadas na Figura Oscilações Exercícios Oscilações Exercícios FIGURA Um corpo preso a uma mola é puxado até uma distância de 0020 m do ponto de equilíbrio e libertado A velocidade e a aceleração são indicadas para os pontos x 0 x A2 e x A A velocidade do corpo não é constante de modo que estas imagens do corpo em pontos igualmente distantes no espaço não estão igualmente espaçados no tempo d Ache a energia mecânica total a energia potencial e a energia cinética neste ponto A energia total possui o mesmo valor para todos os pontos durante o movimento Oscilações Exercícios E 12 kA² 12 200 Nm0020 m² 0040 J A energia potencial é U 12 kx² 12 200 Nm0010 m² 0010 J e a energia cinética é K 12 mv² 12 050 kg035 ms² 0030 J Para este ponto a energia E é composta por um quarto de energia potencial e por três quartos de energia cinética Oscilações Exercícios 5 Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro ele se abaixa 28 cm Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um obstáculo o carro oscila verticalmente com MHS Modelando o carro e a pessoa como uma única massa apoiada sobre uma única mola calcule o período e a frequência da oscilação Oscilações Exercícios 6 Dois átomos de argônio podem formar uma molécula fracamente ligada Ar2 que é mantida unida pela interação de van der Waals com U0 168 1021 J e R0 382 1010 m Calcule a frequência das pequenas oscilações dos átomos em torno da posição de equilíbrio Como as oscilações são pequenas podemos usar a Equação Quando a força aumenta de 980 N a mola sofre uma compressão adicional de 0028 m e a coordenada x do carro varia de 0028 m Portanto a constante da mola efetiva incluindo o efeito da suspensão toda é k Fx 980 N0028 m 35 104 kgs² A massa da pessoa é wg 980 N98 ms² 100 kg A massa total que oscila é m 1000 kg 100 kg 1100 kg O período T é T 2πmk 2π1100 kg35 104 kgs² 111 s Dois átomos de argônio podem formar uma molécula fracamente ligada Ar2 que é mantida unida pela interação de van der Waals com U0 168 10²¹ J e R0 382 10¹⁰ m Calcule a frequência das pequenas oscilações dos átomos em torno da posição de equilíbrio a interação de van der Waals pode ser descrita pela seguinte função energia potencial U U0 R0r¹² 2R0r⁶ Oscilações Exercícios 6 equação anterior Oscilações Exercícios 6 Ela é comparável com a constante da força de uma mola frouxa tal como as molas usadas em brinquedos Pela tabela periódica f 12π km 12π 0829 Nm 663 10²⁶ kg 563 10¹¹ Hz A massa que oscila é muito pequena de modo que até mesmo uma mola frouxa pode produzir oscilações muito rápidas Contudo nossa resposta para f não é muito correta Quando não existe nenhuma força externa atuando sobre a molécula o centro de massa da molécula localizado na metade da distância entre os dois átomos não se acelera Para garantir isso os dois átomos oscilam com a mesma amplitude em sentidos opostos Verificase que não podemos levar em conta este fato substituindo m por m2 na equação de f Isto faz f aumentar de um fator 2 logo f 12π km 12π 0829 Nm 663 10²⁶ kg 563 10¹¹ Hz f 2 563 10¹¹ Hz 796 10¹¹ Hz Uma complicação adicional ocorre porque na escala atômica para descrever oscilações e outros movimentos devemos usar a mecânica quântica e não a mecânica newtoniana felizmente a frequência possui o mesmo valor na mecânica quântica Oscilações Exercícios 7 1000 m 9800 ms2 Oscilações Exercícios 7 Pesquisa Medida do tempo padrão Oscilações Exercícios Caso a barra seja uma régua de um metro L 100 m e g 980 ms² obtemos T 2π23100 m980 ms² 164 s Este período é 23 0816 menor do que o período do pêndulo simples de mesmo comprimento calculado no T 2πLg 2π1000 m9800 ms² 2007 s Fórmulas T período F 1T frequência angular ω 2πT T 015 s T 2πω 2π216107 ω 4210⁷ rads a F kx lei de Hooke k 6 200 Nm b ma kx a kmx 0 Equação característica de um HHS ω² km 200005 4000 20 rads frequência F ω²x 20 rads²x 400x T 2πω 2π20 031 s 3 ω km 200005 20 rads T 2πω 2π20 031 s x x₀ cosωt θ v ωA senωt θ 78 cosπ8 Oscilações Exercícios Suponha que o corpo da Figura seja uma barra de comprimento L suspensa em uma de suas extremidades Calcule o período de seu movimento T 2πImgd I 13ML² d L2 vin vout sqrtfrac2gh frac20005 au 2pi sqrtfrac3mLg 2pi sqrtfrac398 1664