Questões - Física Quântica - Física 3 2021-2

38.35 Raios X de telas de televisão. A voltagem aceleradora de uma TV de tubo de raios catódicos (CRT) é cerca de 25,0 kV. Qual é a) a maior frequência e b) o menor comprimento de onda (em nm) dos raios X que essa tela de TV pode produzir? c) Que suposições você precisou fazer? (Televisões de CRT incluem uma blindagem para absorver esses raios X.) 38.35 39.76 a) maior e (b) menor λ (nm) de raios-X que a TV pode produzir? V acelera o e- transferindo a ele energia potencial do Ẽ, U = eV (1) Toda energia e- se transforma em um fóton com energia Ẽ = hf (2) De (1) e (2) → eV = hfₘₐₓ (3) fₘₐₓ = \( \frac{eV}{h} \) = \( \frac{(1,6 \times 10^{-19} C)(25000 V)}{6,626 \times 10^{-34} J\cdot s} \) = 6,037 \times 10^{18} Hz b) λₘᵢₙ = \( \frac{c}{fₘₐₓ} \) = \( \frac{3 \times 10^8 m/s}{6,037 \times 10^{18} Hz} \) = 1,97 \times 10^{-11} m = 0,0197 nm c) assumiu-se que um único e- produz 1 fóton → Note que fₘₐₓ (ou λₘᵢₙ) está no espectro eletromag entre raios X e raios γ e podem ser danosos aos olhos se não for usado proteção. 37.30 F = ? porque, uma bola de m: 0,45 kg, produz uma a = 1,0 m/s²? Para força temos que (refaçam a dedução) F = γ³ma (1) ↔ F paralelo ou antiparalelo a v → F = γma (2) ↔ F ⊥ a v (a) u = 0 → neste caso, γ = 1 e temos F = ma = 0,45 kg \cdot 1 m/s² = 0,45 N (b) v = 0,9c F = \( \frac{1}{(1-0,9²c²)^{1/2}} \)³ \cdot \frac{1}{m} \cdot 1 m/s² = 4,5 N (c) v = 0,99c F = \( \frac{1}{(1-0,99²)^{1/2}} \)³ \cdot \frac{1}{m} \cdot 1 m/s² = 51,7 N (d) (i) : 0,45 N (ii) F = γma = 0,333 N (iii) F = γma = 1,03 N a sua resposta à parte (a), seria de imaginar que os múons nunca chegariam à superfície. Mas a vida média de 2,2 μs é medida no sistema do múon, e múons se movem muito rápido. A uma velocidade de 0,999c, qual é a vida média de um múon em referência a um observador em repouso na Terra? Que distância o múon percorreria nesse tempo? Esse resultado explica por que encontramos múons em raios cósmicos? c) Do ponto de vista do múon, ele continua vivendo apenas durante 2,2 μs, então como ele alcança o solo? Qual é densidade dos 10 km de atmosfera que o múon precisa atravessar, em relação ao múon? Está claro agora como o múon consegue chegar ao solo? 37.11 μ± δtₒ = 2,2μs (referencial S') μ formam a 10 km de altura (ref. S) mas no referencial do múon, l é a altura da atmosfera para eles, então, lₒ = 10 km (porque a atmosfera está se movendo p/o μ±!) a) d=? d = vt = ct = 3.10⁸m/s 2,2×10⁻⁶s = 660m = 9,66 km b) para v = 0,999c, Δt =? Δt = γΔtₒ = Δtₒ = 2,2×10⁻⁶s / (1-v²/c²)½ (1-(0,9999)²)½ d = vΔt = 0,999 × 3.10⁸m/s 7,9.10⁻⁵s = 15 km Esse valor explica a detecção do μ± na superfície terrestre já que, no referencial da Terra, a partícula percorre 15 km até decair em elétrons. c) Qual l que o μ± percorre em seu referencial? l = lₒ = (1 - v²/c²)½ lₒ = [1-(0,999)²]½ lₒ ... l = 0,45 km Vejamos que para o μ± a altura da atmosfera é menor do que a distância que ele se move ao longo de sua vida. 37.22 Uma espaçonave inimiga está perseguindo sua espaçonave Starfighter com velocidade, medida em relação a você, igual a 0,400c. A espaçonave inimiga dispara um míssil para atingir a Starfighter com uma velocidade, em relação à espaçonave inimiga, de 0,700c (Figura 37.28). a) Qual é a velocidade do míssil em relação a você? Expresse sua resposta em termos da velocidade da luz. b) Se você mediu uma distância igual a 8,0 × 10⁶ km entre você e a espaçonave inimiga no instante em que o míssil foi disparado, qual será o tempo que o míssil levará para atingir você? Figura 37.28 Exercício 37.22. Of. d2 v_R = 0,4c v_m = 0,7c a) v_rm? v_rm = v_m' + v_in = 0,7c + 0,4c = 0,859c / 1 + v_in'v_m'/c^2 / 1 + (0,4)(0,7) b) d = 8.10^6 km usando d que é em S e v_rm que também é uma medida em S, temos então tempo próprio t = d / v_rm = 8x10^9 m / 0,859(3x10^8 m/s) ... t = 31s 37.23 Uma espaçonave da Armada Imperial se desloca com velocidade elevada em relação ao planeta Arrakis e dispara um foguete na direção do planeta com uma velocidade de 0,920c em relação à espaçonave. Um observador na superfície de Arrakis verifica que o foguete está se aproximando com velocidade de 0,360c. Qual é a velocidade da espaçonave em relação ao planeta Arrakis? A espaçonave está se aproximando ou se afastando de Arrakis? 37.23 v_f' = 0,92c v_f = 0,36c v_esp = ? Usando a transformada de Lorentz para v_f' v_f' = (v_f - v) / (1 - v v_f/c^2) => v_f(1 - v_f v_f'/c^2) = v_f' - v v_f' - v_f v = v_f - v \Rightarrow v_f' - v_f = v (v_f v_f'/c^2 - 1) v = (v_f' - v_f) / (v_f v_f'/c^2 - 1) => v = (v_f - v_f') / (1 - v_f v_f'/c^2) v = 0,36c - 0,92c = -0,56c = -0,837c __ / 1-0,36.0,92\ ____ / 0,6688\ ou v = -0,837.3x10^8 m/s = -2,51.10^8 m/s o sinal menos indica que o foguete se move contrário à direção x, ou seja, se afasta do planeta. 38.50 Supergigantes azuis. Uma típica estrela supergigante azul (o tipo que explode deixando buracos negros para trás) apresenta uma temperatura de superfície próxima a 30000 K e uma luminosidade visual 100000 vezes maior que a do nosso Sol. O nosso Sol irradia a uma taxa de 3,86 x 10^26 W. (Luminosidade visual é a potência total irradiada em comprimentos de onda visíveis.) a) Supondo que essa estrela se comporte como um corpo negro ideal, qual é o principal comprimento de onda que ela irradia? Essa luz é visível? Use a sua resposta para explicar por que essas estrelas são azuis. b) Se supusermos que a potência irradiada pela estrela é também 100000 vezes maior que a do nosso Sol, qual é o raio dessa estrela? Compare o tamanho da estrela com o do nosso Sol, que possui um raio de 6,96 x 10^5 km. c) É correto dizer que a luminosidade visual é proporcional à potência total irradiada? Explique. 38.50 Gigante azul: T_f = 30.000 K, L_f = 10^5 L_sol P_sol = 3,86 x 10^26 W a) Supondo a estrela um corpo negro ideal vem, pela lei de Wien: λ = k / T = 2.9 x 10^3 K m / 3 x 10^4 K = 9,7 x 10^-8 m = 97 nm este λ está na região do ultravioleta, portanto, invisível a olho nu. A estrela é azul porque grande parte da luz visível que irradia está na parte violeta/azul do espectro eletromagnético. b) P_azul = 10^5 P_sol, qual o R_azul? Pela lei de Stefan-Boltzmann tem-se: P = σAT^4 = σ (4πR^2)T^4 R_azul = [P / (4πσT^4)]^(1/2) R_azul = [10^5 x 3,86 x 10^26 W / 4π x 5,67 x 10^-8 W/m^2 K^4 x (3 x 10^4 K)^4]^(1/2) R_azul = 8,2 x 10^9 m R_azul = 8,2 x 10^9 m ~ 12 R_sol R_sol = 6,96 x 10^8 m c) A luminosidade visual é proporcional à potência irradiada no visível, contudo maior parte da energia irradiada no espectro é invisível, não contribuindo p/a luminosidade visível. 39.46 Elétrons com velocidades elevadas são usados para sondar a estrutura dos núcleos dos átomos. Para tais elétrons a relação λ = h/p continua válida, porém, devemos usar a expressão relativística para o momento linear, p = mv/√(1 - v^2/c^2) . a) Mostre que a velocidade de um elétron que possui o comprimento de onda de De Broglie λ é dada por v = c / √(1 + (mcλ/h)^2) b) A grandeza h/mc é igual a 2,426 x 10^-12 m. (Como vimos na Seção 38.7, essa mesma grandeza aparece na Equação (38.23), a expressão do espalhamento Compton de fótons por elétrons.) Se λ é pequeno em comparação com h/mc, o denominador da expressão encontrada no item (a) é aproximadamente igual a 1, e a velocidade de v é aproximadamente igual a c. Nesse caso, é conveniente escrever v = (1 - Δ)c e expressar a velocidade do elétron em termos de Δ em vez de v. Encontre uma expressão para Δ válida quando λ << h/mc. (Sugestão: use a série binomial (1 + z)^n = 1 + nz + n(n - 1)z^2/2 + ..., válida para |z| < 1. c) Qual deve ser a velocidade de de um elétron para que seu comprimento de onda de De Broglie seja igual a 1,0 x 10^-15 m, comparável ao diâmetro de um próton? Expresse sua resposta na forma v = (1 - Δ)c, dizendo quanto vale Δ. 39.46 λ = h / p (1) p = mv / (1 - v^2/c^2)^1/2 (2) α) v do e com λ ? λ = h / p = h / mv x (1 - v^2/c^2)^1/2 ⇒ λ^2 m^2 v^2 = h^2 (1 - v^2/c^2) (λ^2 m^2 + h^2 / c^2) v^2 = h^2 ⇒ v^2 = h^2 / (λ^2 m^2 + h^2/c^2) v^2 = p^2 c^2 / (p^2 c^2 / h^2) (λ^2 m^2 c^2/h^2 + 1) v = c / [1 + (m0cλ/h)^2]^1/2 (1) b) para λ ≪ h/mc vem de série de Taylor [1 + λ /(ħ/mc)]^2^1/2 ≈ 1 - 1/2 (λ / ħ/mc)^2 (2) como v = (1 - Δ)c (3) e, comparando c/2) e (1) temos que Δ^2 = λ^2 m^2 c^2 / 2h^2 (4) c) p/λ = 10^-15 m ≪ ħ/mc vem, v = (1 - Δ)c = (1 - 1,850 x 10^8) c 39.51 Energia do elétron em um núcleo. Os raios dos núcleos dos átomos são da ordem de 5,0 x 10^-15 m. a) Estime a incerteza mínima no momento linear de um elétron quando ele está confina- do no núcleo. b) Considere o valor da incerteza no momento linear como uma estimativa do módulo do momento linear. Use a expres- são relativística entre a energia e o momento linear, Equação (37.39), para obter uma estimativa da energia cinética de um elé- tron confinado em um núcleo. c) Compare a energia calculada no item (b) com a energia potencial coulombiana entre um elétron e um próton separados por uma distância igual a 5,0 x 10^-15 m. Com base em seu resultado, você acha que seria possível existir elétrons no interior de um núcleo? (Nota: é interessante comparar esse resultado com aquele obtido no Problema 39.50.) 39.51 r núc ≈ 5 x 10^-15 m a) Δp mín = ? Sendo o raio nuclear a menor dimensão de um átomo, vamos considerar Δx ≈ 5 x 10^-15 m Do princípio de incerteza de Heisenberg tem-se, ΔxΔpx ≳ ħ ⇒ 1px ≈ h / 2π Δx ≈ 6,626 x 10^-34 Js / 2π x 5 x 10^-15 m Δpx ≈ 2,1 x 10^-20 kg m/s (1) b) Como E = √[(m0c^2)^2 + (pc)^2] (2) vem. m0c^2 = 9 x 10^-31 kg x (3 x 10^8 m/s)^2 = 8,187 x 10^-14 J pc = 2,1 x 10^-20 kg m/s x 3 x 10^8 m/s ≈ 6,3 x 10^-12 J E = 6,297 x 10^-12 J Como K = E - m0c^2 = 6,215 x 10^-12 J / (1eV / 1,602 x 10^-19 J) K ≈ 39 MeV c) U = ke^2 = (8,988 x 10^9 Nm^2/C^2) x (1,602 x 10^-19 C)^2 / 5 x 10^-15 m ≈ -4,6 x 10^-13 J U ≈ -0,29 eV Com módulo K ≫ U, além disso a energia total do elétron o que impede um estado ligado com o núcleo. fig.72 Impulso: Ft = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \Delta p Basta trabalharmos como o momento. \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i \ (1) |\Delta \vec{p}| = \hbar k = \frac{\hbar n \pi}{L} = \frac{hn}{2L} \ (2) * Para x = 0, \vec{p}_i = -\frac{hn}{2L} \hat{i} \ e \ \vec{p}_f = \frac{hn}{L} \hat{i} Então, \Delta p = \frac{hn}{L} \hat{i} - \left(\frac{-hn}{2L} \hat{i}\right) = \frac{hn}{L} \hat{i} * Para x = L, \vec{p}_i = \frac{hn}{L} \hat{i} \ e \ \vec{p}_f = -\frac{hn}{2L} \hat{i} Então, \Delta p = -\frac{hn}{2L} \hat{i} - \frac{hn}{L} \hat{i} = -\frac{hn}{L} \hat{i} 40.42 Uma partícula está confinada em uma caixa com paredes rígidas entre x = 0 até x = L. Embora o módulo da força instantânea que a parede exerce sobre a partícula seja igual a infinito e o tempo da atuação dessa força seja nulo, o impulso (que envolve o produto da força pelo tempo) é finito e quantizado. Mostre que o impulso exercido pela parede em x = 0 é (nh/L)î e que o impulso exercido pela parede em x = L é igual a − (nh/L)î. (Sugestão: talvez seja útil uma revisão da Seção 8.1, volume 1.) 40.43 Um estudante universitário propôs a seguinte expressão para a função de onda de uma partícula livre de massa m (uma partícula para a qual a função energia potencial U(x) é igual a zero): ψ(x) = \left\{\begin{array}{ll} e^{+\kappa x}, & x < 0 \e^{-\kappa x}, & x \geq 0 \end{array}\right. onde κ é uma constante positiva. a) Faça um gráfico da função de onda proposta. b) Mostre que a função de onda proposta satisfaz a equação de Schrödinger para x < 0 se a energia for dada por E = - ℏ²κ²/2m, ou seja, quando a energia da partícula for negativa. c) Mostre que a função de onda proposta também satisfaz a equação de Schrödinger para x ≥ 0 com a mesma energia do item (b). d) Explique por que, embora ela preencha essas condições, ela não é uma solução aceitável para a equação de Schrödinger de uma partícula livre. (Sugestão: qual é o comportamento da função no ponto x = 0?) Sabemos que é impossível uma partícula livre (aquela cuja energia potencial U(x) = 0) possuir energia negativa. fÓ <3 U(x) = 0 (partícula livre) Ψ(x) = { e⁺ᵏˣ x < 0 (1) { e⁻ᵏˣ x > 0 (2) sendo k uma cte > 0, a) [gráfico] x/κ b) eq. de Schrödinger p/ partícula livre. -ℏ²/2m d²Ψ/dx² = E Ψ ou d²Ψ/dx² = -2mEΨ/ℏ² (3) p/ x < 0 Ψ = e⁺ᵏˣ, dΨ/dx , d²Ψ/dx² (4) no (3) e teremos κ² = -2mE/ℏ² ⇒ E = -κ²ℏ²/2m c) para x ≥ 0, Ψ = e⁻ᵏˣ ⇒ dΨ/dx (5) no (3) e teremos ο κ² = -2mE/ℏ² ⇒ E = -κ²ℏ²/2m As exp. (1) e (2) satisfezem a eq. de Schrödinger. d) Veja que dΨ/dx é descontínua em x = 0 (temos um "bico", tendo (dΨ/dx) > 0 p/ x < 0 e (dΨ/dx) < 0 p/ x > 0