Slide - Radiação do Corpo Negro 2022-2

INTRODUÇÃO AOS CONCEITOS DA MECÂNICA QUÂNTICA Física 3 – Engenharia Elétrica – UNESP de Ilha Solteira O espectro contínuo ­ Espectros de linha são obtidos pela emissão de luz da matéria em estado gasoso, onde as moléculas e átomos estão tão afastados que podemos desprezar a interação entre eles. Já a matéria condensada (no estado sólido ou líquido) emite luz cujo o espectro é uma distribuição contínua de comprimentos de onda. ­ Uma superfície que absorve todos os comprimentos de onda que incidem sobre ela também é o melhor emissor de ondas EMs para qualquer frequência. ­ Essa superfície ideal é chamada e corpo negro e a radiação EM com espectro contínuo é chamada de radiação de corpo negro. RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO Continuous spectrum Absorption spectrum of sodium (Na) Absorption spectrum of mercury (Hg) Absorption spectrum of lithium (Li) Emission spectrum of lithium (Li) 2 No início do século XX essa radiação foi estudada exaustivamente. ­ 1º- A intensidade média de radiação da superfície do corpo negro ideal, I, é conhecida por lei de Stefan-Boltzmann 𝜎 = 5,670400(40)×10!"𝑊/𝑚#𝐾$ é a constante de Stefan-Boltzmann. ­ 2º- I não é distribuída uniformemente (constante) ao longo de todos os comprimentos de onda. Sua distribuição pode ser medida por uma intensidade por intervalo de comprimento de onda 𝐼(𝜆), a chamada emitância espectral. A intensidade total I, é dada pela integral de 𝐼(𝜆) sobre todos os 𝜆. 𝐼 = ∫% &𝐼 𝜆 𝑑𝜆. (2) RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO 𝐼 = 𝜎𝑇$. (1) 3 RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO • Uma caixa oca com uma pequena abertura se comporta como um corpo negro • Estes gráficos mostram a emissão espectral 𝐼 𝜆 para a radiação a partir de um corpo negro em três temperaturas diferentes. • 𝜆' ∝ 𝑇!( e o produto dessas duas grandezas permanece constante. Esse resultado é a lei de deslocamento de Wien. Seu valor experimental é 𝜆'𝑇 = 2,9×10!) 𝑚. 𝐾 (3) Experimentos mostram que a forma da função distribuição é a mesma para todas as temperaturas. 𝜆! 4 RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO • As estrelas (com radiação muito semelhante à de um corpo negro) possuem uma ampla faixa de temperaturas na superfície, desde 2.500 K até 30.000 K. 5 RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO E A CATÁSTROFE DO ULTRAVIOLETA Sugiro o vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=LKoqBFot_H4 Na última década do século XIX, Lord Rayleigh e Sir James Jeans, usando da física clássica, propuseram que a função distribuição do espectro EM era dada por, 𝐼 𝜆 = 2𝜋𝑐𝑘𝑇 𝜆$ , (4) e ficou conhecida por distribuição (ou lei) de Rayleigh-Jeans. Mas 𝐼 𝜆 → ∞ quando 𝜆 → 0, assim como a intensidade para baixos comprimentos de onda (altas frequências), o que ficou conhecido por catástrofe do ultravioleta. 6 Em 1900, o físico alemão Max Planck desenvolveu uma fórmula que se adequava aos dados experimentais e ficou conhecida por lei da radiação de Planck. Planck propôs que os osciladores (elétrons) nas paredes internas de um corpo negro poderiam possuir somente certos valores de energia dados por nhf com n = 0, 1, 2, ... e h uma constante hoje conhecida por constante de Planck. ­ Essa hipótese previa níveis de energia quantizados para os osciladores, contrário ao considerado por Rayleigh-Jeans onde cada modo normal de vibração poderia assumir qualquer quantidade de energia. Planck é tido como um dos avós da mecânica quântica e foi ele quem inventou o conceito de quantização da energia. A expressão resultante das considerações de Planck é, 𝐼 𝜆 = #+,-! ."(0#$/&'( !() . (5) RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO – PLANCK E A HIPÓTESE DO QUANTUM DE ENERGIA ℎ = 6,626×10!)$𝐽. 𝑠 = 4,136×10!(2𝑒𝑉. 𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 1𝑒𝑉 = 1,602×10!(3 𝐽, temos que 7 A lei de Planck permite chegar à lei de deslocamento de Wien e à lei de Stefan-Boltzmann. ­ Para deduzir a lei de Wien, deriva-se a eq. (5) igualando-a a zero para obter o 𝜆 para o qual 𝐼 𝜆 é máximo. Chegar-se-á a uma expressão do tipo, (façam isso!) 5 − 𝑥 = 5𝑒!4 . (6) ­ Resolvendo-a numericamente, obtém-se , então temos 𝜆'á4 = ℎ𝑐 4,965𝑘𝑇 . (7) Para chegar à lei de Stefan-Boltzmann para um corpo negro, integramos a eq. (5) sobre todos os valores de 𝜆 para determinar a intensidade total irradiada. 𝐼 = H % & 𝐼 𝜆 𝑑𝜆 = 2𝜋2𝑘$ 15𝑐#ℎ) 𝑇$ = 𝜎𝑇$. (8) Ainda, aplicando a eq. (5) para altos valores de lambda, obtém-se a eq. (4). Façam como exercício! RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO – PLANCK E A HIPÓTESE DO QUANTUM DE ENERGIA 8 EFEITO FOTOELÉTRICO • Um fenômeno que nos ajuda a esclarecer a natureza da luz é o efeito fotoelétrico, no qual um material emite elétrons de sua superfície quando iluminado: A energia mínima necessária para ejetar um elétron de uma dada superfície é chamada função trabalho,𝜙. 9 EFEITO FOTOELÉTRICO • Uma experiência testando se o efeito fotoelétrico é consistente com o modelo ondulatório da luz: Os físicos alemães Wilhem Hallwachs e Philipp Lenard entre 1886-1900, estudaram sistematicamente o efeito fotoelétrico. Estudaram como a fotocorrente varia com a voltagem, frequência e intensidade da luz incidente. Pressão da câmara de 0,01 Pa (10-7atm) ou menor. Frequência de corte, f0, é a frequência da luz abaixo da qual nenhum fotoelétron é emitido. 10 EFEITO FOTOELÉTRICO • Com 𝑓 > 𝑓-6780 alguns elétrons são emitidos do catodo com velocidades elevadas. Invertendo a polaridade da bateria, com campos elétricos não muito altos, ainda se detecta elétrons atingindo o anodo. Ajustando-se a ddp com relação ao catodo, VAC, verifica-se que o potencial de corte ocorre para 𝑉9: = −𝑉%. Conforme o e se desloca do catodo para o anodo, o potencial diminui de V0 e o trabalho −𝑒𝑉% é realizado o mesmo. Assim temos que 𝑊868;< = −𝑒𝑉% = Δ𝐾 = 0 − 𝐾'á4 = 1 2 𝑚𝑣'á4 # 𝐾'á4 = 1 2 𝑚𝑣'á4 # = 𝑒𝑉%. (9) Para uma f fixa... Todos os elétrons emitidos são coletados. 11 EFEITO FOTOELÉTRICO • 𝑉% aumenta com a frequência da luz incidente, sendo uma função linear com esta variável. 12 EFEITO FOTOELÉTRICO Com base na visão de Maxwell a respeito da luz como uma onda eletromagnética, podemos prever o seguinte: • Modelo ondulatório – previsão 1: o efeito fotoelétrico deve ocorrer para luz de qualquer frequência e a magnitude da corrente fotoelétrica não deve depender da frequência da luz. • Modelo ondulatório – previsão 2: para uma iluminação fraca, esperamos um atraso de tempo entre o momento em que a luz é ligada e quando os fotoelétrons aparecem (uma fotocorrente é estabelecida). • Modelo ondulatório – previsão 3: uma vez que a intensidade da onda EM não depende da frequência, esperamos que o potencial de corte não dependa da frequência da luz. 13 EFEITO FOTOELÉTRICO O resultado experimental mostra-se muito diferente dessas previsões: • Resultado experimental 1: a corrente fotoelétrica depende da frequência da luz. • Resultado experimental 2: não existe um intervalo de tempo mensurável entre o instante em que a luz é ligada e aquele em que o catodo emite fotoelétrons. • Resultado experimental 3: o potencial de corte não depende da intensidade, mas da frequência. • Esses resultados contradizem diretamente a descrição da luz feita por Maxwell, como uma onda eletromagnética. • Uma solução para esse dilema foi fornecida por Albert Einstein em 1905. • Sua proposta consistia em nada menos que uma nova teoria para a natureza da luz. 14 EFEITO FOTOELÉTRICO • Discutindo uma hipótese apresentada 5 anos antes por Max Planck, Einstein fez um postulado radical de que um feixe de luz era constituído por pequenos pacotes de energia, chamados fótons ou quanta. (10) Com ℎ = 6,6260693 11 ×10!)$𝐽. 𝑠 Essa transferência de energia é “tudo ou nada”, i.e., ou o e absorve toda a energia do fóton ou não absorve nada. Se E for maior que a função trabalho, o e pode escapar da superfície do catodo. Uma intensidade maior significa um número maior de fótons por segundo absorvidos, com isso, maior a emissão de e’s e maior será a corrente estabelecida. 15 EFEITO FOTOELÉTRICO • Einstein aplicando a lei da conservação da energia mostrou que, • Substituindo (3) na (1) vem, 𝐾'á4 = 1 2 𝑚𝑣'á4 # = ℎ𝑓 − 𝜙. (11) .(12) Medindo V0 em função de f obtém-se 𝜙 e a razão ℎ/𝑒 que, quando o elétron foi medido em 1887, obteve-se o valor da constante de Planck. Sendo o eV definido por ℎ = 6,626×10!)$𝐽. 𝑠 = 4,136×10!(2𝑒𝑉. 𝑠 1𝑒𝑉 = 1,602×10!(3 𝐽, temos que 16 EFEITO FOTOELÉTRICO Tabela 38.1 Função trabalho de diversos elementos. Elemento Função trabalho (eV) Alumínio 4,3 Carbono 5,0 Cobre 4,7 Níquel 5,1 Ouro 5,1 Prata 4,3 Silício 4,8 Sódio 2,7 Um fóton de qualquer radiação com 𝑓 e 𝜆 possui energia dada pela eq. (10) [E = ℎ𝑓]. De acordo com a teoria da Relatividade especial, toda partícula que possui energia deve, também, possuir um momento linear, mesmo quando ela não apresenta massa de repouso, tal que E = pc. Assim o momento linear do fóton é dado por, 𝑝 = = - = ,> - = , . . (13) A direção e o sentido do momento são os mesmos dos da onda EM. MOMENTO LINEAR DO FÓTON 18 ESPALHAMENTO E PRODUÇÃO DE RAIOS-X OUTRA CARACTERÍSTICA QUÂNTICA DAS ONDAS EM • Raios X foram produzidos pela primeira vez em 1895, pelo físico alemão Wilhelm Röntgen, que empregou um aparelho semelhante ao da figura. Os elétrons produzidos são acelerados a altíssimas velocidades por potenciais da ordem de 103 V a 106 V. • Comprimentos de onda típicos de raios-X são de 0,001 nm até 1 nm. • É um fenômeno inverso ao do efeito fotoelétrico. Nesse, há a transformação da energia de um fóton na energia cinética de um elétron; na produção de raios-X, a energia cinética de um elétron se transforma na energia de um fóton. • Há dois processos na produção de raios-X, mas focaremos naquele onde alguns elétrons são freados (ou parados) pela ação do alvo e uma parte ou a totalidade da sua energia é convertida em um espectro contínuo de fótons, dentre eles, os raio-X. Esse processo é chamado de bremsstrahlung. 19 ESPALHAMENTO E PRODUÇÃO DE RAIOS-X • Bremsstrahlung é uma palavra alemã que significa “freio da radiação”. A física clássica não é capaz de explicar o porquê na geração de raios-X por processo bremsstrahlung há uma frequência máxima, fmáx (ou 𝜆'?@). • Vamos comparar o que a teoria de ondas de Maxwell para radiação eletromagnética prevê a respeito da radiação, com o que é observado experimentalmente. • Modelo ondulatório – previsão: as ondas eletromagnéticas produzidas quando um elétron colide com o anodo podem ser análogas às ondas sonoras produzidas com o bater de dois pratos. • Resultado experimental: a figura a seguir mostra os espectros bremsstrahlung obtidos quando o mesmo catodo e anodo são usados com quatro velocidades de aceleração diferentes VAC. 20 ESPALHAMENTO E PRODUÇÃO DE RAIOS-X (14) 21 ESPALHAMENTO E PRODUÇÃO DE RAIOS-X 22 ESPALHAMENTO COMPTON E PRODUÇÃO DE PAR • O espalhamento Compton fornece uma confirmação adicional da natureza quântica dos raios X. • Vamos ver o que o modelo de ondas de Maxwell e o modelo de fóton de Einstein preveem sobre o comportamento da luz quando ocorre o espalhamento de um único elétron, como um elétron de um átomo. • Previsão do modelo de onda: a luz espalhada e a luz incidente têm a mesma frequência e o mesmo comprimento de onda. • Previsão do modelo de fóton: a luz espalhada tem uma frequência f menor e comprimento de onda 𝜆 maior que a luz incidente. 23 ESPALHAMENTO COMPTON E PRODUÇÃO DE PAR • Experiência do efeito Compton: ℎ 𝑚𝑐 = 2,426×10!(#𝑚 (15) 24 ESPALHAMENTO COMPTON E PRODUÇÃO DE PAR • Diagrama de vetores mostrando a conservação do momento linear no espalhamento Compton: 𝑝𝑐 + 𝑚𝑐 = 𝑝’𝑐 + 𝐸0 𝐸0# = 𝑝𝑐 + 𝑚𝑐 − 𝑝’𝑐 # = 𝑚𝑐# # + 𝑃0𝑐 # (16) Aplicando o princípio da conservação da energia nesta colisão, temos. Pela conservação do momento, ⃗𝑝 = 𝑝’ + 𝑃0 𝑜𝑢 𝑃0 = ⃗𝑝 − 𝑝’. (17) Com isso, obtemos, 𝑃0# = 𝑝# + 𝑝’# − 2𝑝𝑝’𝑐𝑜𝑠𝜙. (18) Substituindo (18) na (16), fazendo as simplificações e dividindo por 𝑝𝑝’, vem 𝑚𝑐 𝑝’ − 𝑚𝑐 𝑝 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜙. (19) 25 ESPALHAMENTO COMPTON E PRODUÇÃO DE PAR Substituindo 𝑝 = ℎ/𝜆 e 𝑝’ = ℎ/𝜆’, e multiplicando por ℎ/𝑚𝑐, obtemos a expressão (15)! Ao medir os comprimentos de onda espalhados para um determinado ângulo fixo em função do comprimento de onda, tem-se dois picos, o primeiro corresponde ao comprimento de onda do raio-X incidente devido a elétrons fortemente ligados. Nesse processo todo o átomo deve recuar e, assim, o m empregado nas equações deverá ser a massa do átomo. 26 ESPALHAMENTO COMPTON E PRODUÇÃO DE PAR • O processo chamado de produção de par foi observado pela primeira vez pelos físicos Patrick Blackett e Giuseppe Occhialini em 1933. • A formação de pares ocorre quando um fóton com energia mínima de 1,022 MeV (frequência a partir de 2,5 x 1020 Hz) colide com um núcleo, cedendo toda sua energia para o núcleo e dando origem a um par de partículas elétron-pósitron . O pósitron é de fato, uma antipartícula. • O elétron e o pósitron precisam ser produzidos em pares a fim de conservar a carga elétrica: o fóton incidente tem carga zero e o par elétron-pósitron possui carga resultante de (-e) + (+e) = 0. 27 DIFRAÇÃO E INTERFERÊNCIA NA TEORIA DO FÓTON • Vimos até aqui que ora radiação eletromagnética tem comportamento de onda, ora de particular. Essa aparente contradição é explicada pelo princípio da complementaridade, enunciado por Bohr em 1928. Quer dizer que a descrição ondulatória é complementar à descrição corpuscular. • Precisamos das duas descrições para completar o nosso modelo da natureza, mas nunca precisaremos usar ambas as descrições simultaneamente. 28 DIFRAÇÃO E INTERFERÊNCIA NA TEORIA DO FÓTON • Em vez de registrar a imagem da figura de difração em uma placa fotográfica, podemos usar um tubo fotomultiplicador que serve, na verdade, para detectar até um único elétron: 29 DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA (FÓTON-PARTÍCULA) DR. QUANTUM: DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA HTTPS://WWW.YOUTUBE.COM/WATCH?V=UTPF0XYQZFI • As imagens registram as posições em que fótons individuais incidem na tela em uma experiência de interferência de fenda dupla. • A descrição ondulatória explica o comportamento verificado. Contudo, o sensor fotomultiplicador faz detecção corpuscular. Aqui temos novamente o princípio da complementaridade. • Se perguntarmos “como o fóton sabia para onde ir?”. Essa é uma pergunta que pré-considera o fóton como uma partícula, mas é a natureza ondulatória que determina o padrão de distribuição dos fótons. 30 DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA (ONDAS DE ELÉTRONS) • Em 1924, o príncipe Louis De Broglie, com o pensamento “a natureza ama as simetrias”. Então, se a luz possui uma natureza dual, ora se comporta como onda, ora como partícula, a natureza sendo simétrica, essa dualidade deve valer para elétrons e prótons que geralmente são consideradas como partículas. 31 DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA (ONDAS DE ELÉTRONS) • O comprimento de onda de De Broglie de uma partícula com velocidade não relativística é: • A frequência f, de acordo com De Broglie, também é relacionada com a energia da partícula E da mesma forma que ocorre com um fóton, ou seja, (20) (21) 32 DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA (ONDAS DE ELÉTRONS) • A descoberta acidental da difração de elétrons foi a primeira evidência experimental direta a confirmar a hipótese feita por De Broglie. • Em 1928, apenas um ano após a descoberta de Davisson e Germer, o físico inglês G. P. Thomson fez experiências de difração de elétrons usando como alvo uma fina folha metálica policristalina. Usando 𝐾 = 𝑝#/2𝑚 e a eq. (20), obtemos, 𝑒𝑉A; = 𝑝# 2𝑚 → 𝑝 = 2𝑚𝑒𝑉A; , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉A; = 𝑉A − 𝑉; 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑑𝑝 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑎 𝑎𝑡é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑏. (22) 33 DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA (ONDAS DE ELÉTRONS) 34 PROBABILIDADE E INCERTEZA • Interpretando a difração de fenda única em termos do momento linear do fóton. Das equações que já estudamos sobre interferência e difração, temos que 𝜃( = . ; (23) (antepara distante) O resultado do experimento com luz é que a sua maior parte, 85%, está contida no máximo central. Fazendo o mesmo experimento com elétrons possuindo a mesma velocidade e direção, ou seja, o mesmo comprimento de onda de De Broglie, teremos o mesmo resultado ondulatório. Se imaginarmos os elétrons como partículas, embora todos possuam as mesmas condições iniciais, não podemos prever a trajetória exata de nenhum elétrons individual. O máximo que podemos dizer é sobre a probabilidade de um elétron atingir uma determinada região da placa.35 PROBABILIDADE E INCERTEZA • Outra questão é que há incertezas fundamentais quanto à posição e o momento (velocidade) de uma partícula individual. • Por exemplo, na figura, o elétron que atinge a borda externa do máximo central num ângulo 𝜃( deve ter um componente vertical do momento, 𝑝B e um 𝑝4, onde tg𝜃( = C) C* ≈ 𝜃( ou seja, 𝑝B = 𝑝4𝜃( (24). • Combinando a eq. (23) e a (24), obtemos 𝑝B = 𝑝4 𝜆 𝑎 . (25) Para os 85% de elétrons que atingem a placa dentro do máximo central (−𝜆/𝑎 < 𝜃 < 𝜆/𝑎), tem-se que −𝑝4𝜆/𝑎 < 𝑝B < 𝑝4𝜆/𝑎. Supondo que todos os elétrons passam pela fenda e atinjam a placa, 𝑝B pode ser positivo ou negativo e 𝑝B 'éE?6 = 0. Deverá haver uma incerteza Δ𝑝B igual a 𝑝4𝜆/𝑎, ou seja, Δ𝑝B ≥ 𝑝4 𝜆 𝑎 . (26) 36 PROBABILIDADE E INCERTEZA Δ𝑝B ≥ 𝑝4 𝜆 𝑎 . 26 Quanto menor for a, mais larga será a figura de difração e maior a incerteza Δ𝑝B. O comprimento de onda do elétron depende de 𝑝4 = 𝑚𝑣4 que, pela fórmula de De Broglie, é 𝜆 = ℎ/𝑝4. Usando isso na eq. (26) temos, Δ𝑝B ≥ 𝑝4 ℎ 𝑝4𝑎 = ℎ 𝑎 , 𝑜𝑢 Δ𝑝B𝑎 ≥ ℎ. 27 O resultado da eq. (27) significa que a largura da fenda a é a incerteza da posição y do elétron quando ele passa pela fenda, ou seja, não podemos saber exatamente onde cada elétron passa através fenda. Portanto a posição y e o componente y do momento possuem incertezas que estão correlacionadas. Nota: na equação (27) nem a e nem Δ𝑝! são desvios padrão. 37 PROBABILIDADE E INCERTEZA • A incerteza de uma grandeza geralmente é descrita com base em um conceito estatístico chamado de desvio-padrão, que fornece uma medida de afastamento dos valores de um conjunto de números em relação ao valor médio desses números: 38 Obs: No modelo atômico de Bohr, os elétrons se movem em uma circunferência exatamente igual a r, assim, Δ𝑟 = 0 e Δ𝑝7 = 0. Logo, o modelo viola o princípio da incerteza de Heisenberg. 28 Δ𝑥Δ𝑝 ≥ ℏ/2 PROBABILIDADE E INCERTEZA • Princípio da incerteza de Heisenberg para componentes de posição e momento linear: https://steemit.com/pt/@fisicanaveia/piadas-nerds https://digichem.org/2012/01/31/p iada-fan-tas-ti-ca-do-science-cat/ 39 PROBABILIDADE E INCERTEZA • Assim como para o princípio da incerteza da posição e do momento linear, podemos escrever uma expressão matemática para o princípio da incerteza que relaciona energia e tempo, ou seja, a incerteza Δ𝐸 depende do intervalo de tempo Δ𝑡 durante o qual o sistema permanece em um dado estado. 40 29 Δ𝑡Δ𝐸 ≥ ℏ/2