Slide - Relatividade Especial - Física 3 2021-2

RELATIVIDADE ESPECIAL ...pois se refere a referenciais inerciais INTRODUÇÃO • Em 1905, Albert Einstein, com 25 anos, trabalhando no departamento de patentes da Suíça, publicou 3 trabalhos que revolucionaram a ciência; 1. Análise do movimento Browniano: O movimento browniano é o movimento aleatório de partículas num fluido (líquido ou gás) como consequência dos choques entre todas as moléculas ou átomos presentes no fluido. O termo movimento browniano pode ser usado para se referir a uma grande diversidade de movimentos com partículas, com moléculas, e com ambos presentes em estados desde micro até macroscópicos em situações de organização caóticas, semi-caóticas, ou de proporções matemáticas, principalmente em casos de modelagem, todos estes na área denominada Física de partículas. 2. Efeito fotoelétrico: por ele, Einstein foi laureado com o prêmio Nobel em 1921 (vocês ainda estudarão esse efeito). 3. Teoria da relatividade especial: propõe uma drástica revisão dos conceitos newtonianos de espaço e tempo. 2 INVARIÂNCIA DAS LEIS FÍSICAS • O primeiro postulado de Einstein, chamado de princípio da relatividade, afirma que as leis da física são as mesmas em qualquer sistema de referência inercial. 3 Ao observar uma criança jogando bola para outra dentro de um trem, por melhor que seja a medida, não se saberá a velocidade do trem. Na lei de Faraday, a ddp induzida por um ímã se aproximando de uma bobina a v constante ou a bobina se aproximando do ímã com a mesma velocidade, será a mesma. INVARIÂNCIA DAS LEIS FÍSICAS • O segundo postulado de Einstein: a velocidade da luz no vácuo é sempre a mesma em qualquer sistema de referência inercial e não depende da velocidade da fonte. • Durante o séc XX mtos cientistas acreditava que a luz se deslocasse em um meio hipotético chamado éter. Se isso fosse verdade, a velocidade da luz dependeria da velocidade relativa entre observadoras e, portanto, teria diversos valores para posições diferentes. Este postulado elimina a necessidade do éter além de que, no experimento de Michelson e Morley, não houve detecção de algum movimento da Terra com relação a este éter. 4 INVARIÂNCIA DAS LEIS FÍSICAS • O segundo postulado de Einstein implica a seguinte conclusão: é impossível para um observador inercial deslocar-se com a velocidade da luz no vácuo c. • Veja, se a nave S’ da figura anterior estiver à velocidade vs’/s = c com relação a um referencial S na Terra. Pelo segundo postulado, o feixe de luz também se desloca com c. Ou seja, se a nave se desloca com c, a luz deveria ficar no mesmo ponto do espaço onde a nave estiver. Contudo, também de acordo com o segundo postulado, concluímos que o feixe também se desloca com velocidade c com relação à nave e, portanto, o feixe não pode ficar no mesmo ponto do espaço onde está a espaçonave. Esse resultado contraditório só pode ser resolvido afirmando que nenhum observador pode se mover à velocidade da luz no vácuo, c. • Einstein, aos 16 anos fez a pergunta: “o que eu veria se me deslocasse com a velocidade da luz?”. Anos mais tarde ele concluiu que ele não poderia se mover à velocidade da luz! 5 TRANSFORMAÇÃO GALILEANA PARA AS COORDENADAS • Seja S o sistema de referência inercial do observador na Terra e S’ o sistema inercial da nave, tal como mostra a figura. 6 𝑥 = 𝑥’ + 𝑢𝑡, 𝑦 = 𝑦’, 𝑧 = 𝑧’ (1) (transformação galileana para as coordenadas) TRANSFORMAÇÃO GALILEANA PARA AS COORDENADAS • Agora, uma partícula P se deslocando ao longo de Ox. O componente vx é dado por 𝑣! = 𝑑𝑥/𝑑𝑡 para o observador em S. Para o observador em repouso em S’, será 𝑣!’ = 𝑑𝑥’/𝑑𝑡. • A relação entre essas velocidades é obtida derivando temporalmente a eq. (1). 7 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥’ 𝑑𝑡 + 𝑢 𝑣! = 𝑣!’ + 𝑢 (2) (transformação galileana para as velocidades) TRANSFORMAÇÃO GALILEANA PARA AS COORDENADAS • Veja, se aplicarmos a eq. 2 para a luz no vácuo, obtemos contudo, o segundo postulado de Einstein (confirmado por um grande número de experimentos) afirma que c = c’. Com isso, aceitando que o segundo postulado é correto, as eqs. 1 e 2 devem ser modificadas para harmonizar com este postulado. 8 𝑐 = 𝑐’ + 𝑢, • Veremos que cada referencial deve ter sua escala de tempo, abandonando as idéias newtonianas, onde t = t’. Assim, a velocidade no referencial S’ deve ser definida como 𝑣’ = 𝑑𝑥’/𝑑𝑡’. • A dificuldade reside no conceito de simultaneidade. RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE 9 • Quando você diz que se levantou às 7 horas, está afirmando que dois eventos ocorreram simultaneamente (você levantar e o relógio indicar 7 horas). • Uma experiência imaginária sobre simultaneidade: Dentro do trem, Mavis aproxima-se da luz que vem da frente do vagão e afasta-se da luz que vem da traseira do vagão. Como Mavis vê primeiro a luz proveniente da frente do vagão, ela conclui que o raio que atingiu a frente do trem foi o primeiro a cair. RELATIVIDADE DOS INTERVALOS DE TEMPO • Vamos deduzir a relação quantitativa entre os diferentes intervalos de tempo em diferentes sistemas de referência. Para isso, consideremos outra experiência imaginária: 13 RELATIVIDADE DOS INTERVALOS DE TEMPO 14 Δ𝑡# = 2𝑑 𝑐 . (3) No caso (a), tem-se que 𝑙 = 𝑑$ + 𝑢Δ𝑡 2 $ . Mas Stanley mede um Δ𝑡 diferente. Neste intervalo de tempo, a fonte se deslocou 𝑢Δ𝑡 em S’. Assim, em S o percurso de ida e volta será, Sendo c constante e independente do referencial, temos Δ𝑡 = 2𝑙 𝑐 = 2 𝑐 𝑑$ + 𝑢Δ𝑡 2 $ . (4) RELATIVIDADE DOS INTERVALOS DE TEMPO 15 Desejamos obter uma relação entre Δ𝑡 e Δ𝑡#. Assim, explicitando d na eq. 3 e substituindo na 4 tem-se que, Δ𝑡 = 2 𝑐 𝑐Δ𝑡# 2 $ + 𝑢Δ𝑡 2 $ . (5) Δ𝑡 = Δ𝑡# 1 − 𝑢$/𝑐$ . (6) Veja que como u<c o denominador é menor que 1 e, portanto, Δ𝑡 > Δ𝑡#. Como nenhum observador pode se deslocar com u=c, nota-se que 1 − 𝑢$/𝑐$ possui valor imaginário para u>c. Assim, o denominador de (6) é sempre maior do que 1, de modo que sempre teremos Δ𝑡 > Δ𝑡#. Esse efeito é denominado de dilatação do tempo. RELATIVIDADE DOS INTERVALOS DE TEMPO 16 Por exemplo, um relógio de pêndulo em S’ mede 1s entre dois tique-taques. Mavis, em S’ também mediria 1s, mas Stanley, em S mediria um Δ𝑡 maior. Em suma, todo observador que se desloca em relação a um relógio, mede um tempo mais longo do que o tempo medido com este relógio. RELATIVIDADE DOS INTERVALOS DE TEMPO 17 1. Microscopic Clocks. Subatomic particles called muons are unstable and decay (transform into other particles). The average time from when a muon is produced to when it decays (dt) depends on how fast the muon is moving. Muon stationary in lab (production and decay in same place, at muon itself) dt0=2.200 𝜇s If muon is moving at speed 0.9994c with respect to the lab (production and decay in different places in the lab frame) the lifetime measured by laboratory clocks will be dilated ( ) 2 2 1 1 if 0.9994 28.87 1 1 0.9994 b g b = ® = = = - - ( )( ) 0 28.87 2.200 s 63.51 s t g t µ µ D = D = = RELATIVIDADE DOS INTERVALOS DE TEMPO 18 Ainda para simplificarmos, usamos muitas vezes a notação, 𝛾 = % %&'! , 𝑐𝑜𝑚 𝛽 = 𝑢/𝑐 (7) (8) Quando u<<c, 𝛾 ≈ 1 e Δ𝑡 = Δ𝑡#, recuperando-se a mecânica newtoniana. Se 𝑢 = 6×10!𝑚/𝑠 = 0,2𝑐 → 𝛾 = 1,02 − é 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎! Se 𝑢 = 6×10"𝑚/𝑠 = 0,0002𝑐 → 𝛾 = 1,00000002 − é 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎! RELATIVIDADE DOS INTERVALOS DE TEMPO 19 O PARADOXO DOS GÊMEOS As equações (37.6) e (37.8) para a dilatação do tempo sugerem um paradoxo aparente chamado de paradoxo dos gêmeos. Considere duas astronautas gêmeas, Terrana e Astrina. A astronauta Terrana permanece na Terra enquanto sua irmã gêmea Astrina faz uma viagem com velocidade muito elevada percorrendo diversos astros. Por causa da dilatação do tempo, Terrana observa um ritmo mais lento para o batimento do coração e os demais processos biológicos de Astrina. Portanto, para Terrana, Astrina envelhece mais devagar; ao retornar para a Terra, Astrina está mais nova (envelheceu menos) do que Terrana. Agora surge o paradoxo: todos os sistemas de referência inerciais são equivalentes. Astrina não poderia partir dos mesmos argumentos e concluir que Terrana é, na verdade, a mais jovem? Então cada irmã concluiria que a outra é a mais jovem quando as duas se reencontrassem depois da viagem de Astrina, o que seria um paradoxo. Para resolvermos o paradoxo, devemos reconhecer que as duas irmãs não são idênticas em todos os aspectos. Enquanto Terrana permanece sempre em um sistema de referência aproximadamente inercial, Astrina sofre diversas acelerações em relação à Terra para atingir a velocidade elevada, fazer uma volta no espaço e, a seguir, retornar para a Terra. O sistema de referência de Terrana permanece sempre aproximadamente inercial; Astrina está grande parte do tempo em um sistema de referência não-inercial. Portanto, existe uma diferença física real entre os dois sistemas das gêmeas e elas não são equivalentes. Uma análise cuidadosa mostra que a interpretação de Terrana está correta: ao retornar, Astrina estará realmente mais jovem do que Terrana. RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO 22 • A distância entre dois pontos também pode depender do sistema de referência onde o observador se encontra. • Uma régua está em repouso no sistema de referência de Mavis, S’: O intervalo de tempo para a luz sair da fonte, refletir no espelho e retornar ao ponto inicial é, Δ𝑡# = 2𝑙# 𝑐 . (9) Esse é um tempo próprio pois a ida e a volta ocorrem no mesmo ponto de S’. RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO 23 • Movimento do pulso de luz observado por Stanley em S: O comprimento da régua em S é l e o intervalo de tempo para a luz ir da fonte até o espelho é Δ𝑡%. Durante este intervalo de tempo, a régua juntamente com a fonte e o espelho andaram 𝑢Δ𝑡%. Portanto, a distância total d entre a fonte e o espelho não é l, mas sim, 𝑑 = 𝑙 + 𝑢Δ𝑡% (10) RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO 24 • O pulso de luz se desloca com velocidade c, então, podemos afirmar também que, Esse denominador não significa que a luz se move com velocidade c-u, mas que a distância percorrida pela luz em S é maior do que l. 𝑑 = 𝑐Δ𝑡%. (11) • Substituindo (11) na (10) obtemos, 𝑐Δ𝑡% = 𝑙 + 𝑢Δ𝑡% 𝑜𝑢 Δ𝑡% = 𝑙 𝑐 − 𝑢 . (12) • De forma análoga, podemos mostrar que o intervalo de tempo, Δ𝑡$, que a luz leva para volta do espelho até seu ponto de partida é Δ𝑡$ = 𝑙 𝑐 + 𝑢 . (13) RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO 25 • O intervalo total de tempo é Δ𝑡 = Δ𝑡% + Δ𝑡$, ou seja, Δ𝑡 = 𝑙 𝑐 − 𝑢 + 𝑙 𝑐 + 𝑢 = 2𝑙 𝑐(1 − 𝑢$/𝑐$) . (14) Δ𝑡 1 − 𝑢$ 𝑐$ = 2𝑙# 𝑐 . (15) • Da eq. (6) que descreve a relação entre Δ𝑡 𝑒 Δ𝑡#, logo, a eq. (9) para o tempo de ida e volta para a régua em S’, • Combinando (14) e (15) obtemos, 𝑙 = 𝑙# 1 − 𝑢$ 𝑐$ = 𝑙# 𝛾 . (16) • A contração de comprimento é real! A régua observada no sistema S possui comprimento realmente menor que o comprimento no sistema S'. RELATIVIDADE DO COMPRIMENTO – DIREÇÕES PERPENDICULARES AO MOVIMENTO 26 • As duas réguas estão em direções perpendiculares à direção da velocidade relativa, de modo que, para qualquer valor de u, tanto Stanley quanto Mavis concluem que ambas as réguas possuem o mesmo comprimento de um metro: AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ PARA AS COORDENADAS • A transformação de Lorentz para as coordenadas. 27 AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ PARA AS COORDENADAS 28 • Pergunta: quando um evento ocorre em um ponto (x, y, z) de S no instante t, quais são as coordenadas (x’, y’, z’) no instante t’ em S’? Sendo que o sistema S’ se move com velocidade u com relação ao sistema S no sentido +x. • A distância entre S e S’ é ut . A coordenada x’ é um tempo próprio para S’, de modo que para o sistema S ela se contrai de um fator 1/𝛾. Portanto, a distância x entre O e P, observado em S é • Para obter t’ em termos de t e x, notamos que o princípio da relatividade exige que as transformações de S para S’ tenham a mesma forma das transformações de S’ para S. A únia diferença é a mudança do sinal de u. Assim, temos, 𝑥 = 𝑢𝑡 + 𝑥’ 1 − 𝑢$ 𝑐$ (17) 𝑥’ = 𝑥 − 𝑢𝑡 1 − 𝑢$/𝑐$ (18) 𝑥’ = −𝑢𝑡’ + 𝑥 1 − 𝑢$ 𝑐$ (19) AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ PARA AS COORDENADAS 29 • Igualando (18) com a (19) obtemos após alguma álgebra, Assim, 𝑡’ = 𝑡 − 𝑢𝑥/𝑐$ 1 − 𝑢$/𝑐$ (20) (21) O espaço e o tempo tornam-se interligados; não podemos mais dizer que o espaço e o tempo possuem significados absolutos independentes do sistema de referência. Por esse motivo, referimo-nos ao tempo e às três dimensões do espaço coletivamente como um unidade quadridimensional chamada espaço-tempo, e chamamos o conjunto (x, y, z, t) de coordenadas do espaço-tempo. AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ PARA A VELOCIDADE • Diferenciando as eqs 21, temos, 30 𝑑𝑥’ = 𝛾(𝑑𝑥 − 𝑢𝑑𝑡) 𝑑𝑡’ = 𝛾(𝑑𝑡 − 𝑢𝑑𝑥/𝑐$) • Dividindo membro a membro das eqs acima e, depois, dividindo o numerador e o denominador por dt, obtemos 𝑑𝑥’ 𝑑𝑡’ = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 − 𝑢 1 − 𝑢 𝑐$ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 • Sendo 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 𝑣! em S e que 𝑑𝑥’/𝑑𝑡’ = 𝑣!’ em S’, obtemos a generalização relativística 𝑣!’ = 𝑣! − 𝑢 1 − 𝑢𝑣!/𝑐$ (22) AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ PARA A VELOCIDADE • Pelo princípio da relatividade, não há distinção entre S e S’, assim a eq. 22 fica 31 𝑣! = 𝑣!’ + 𝑢 1 + 𝑢𝑣!’/𝑐$ (23) AS TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ PARA A VELOCIDADE 32 EFEITO DOPPLER PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 33 • Uma fonte de luz movendo-se com uma velocidade u em relação a Stanley emite uma crista de onda e a seguir desloca-se uma distância uT na direção de um observador e emite nova crista de onda. No sistema de referência S de Stanley, a segunda crista está a uma distância 𝜆 atrás da primeira: EFEITO DOPPLER PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 34 • No sistema de referência da fonte, S’, a frequência emitida é 𝑓# 𝑒 𝑇# = 1/𝑓#. • No referencial S, onde Stanley está parado, enquanto a primeira frente de onda se deslocou cT, a segunda frente de onda é emitida após a fonte te se movido uT. Assim, o comprimento de onda medido por Stanley é 𝜆 = 𝑐 − 𝑢 𝑇. Logo, a frequência será, 𝑓 = 𝑐 𝑐 − 𝑢 𝑇 (24) EFEITO DOPPLER PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 35 • Veja que na relatividade 𝑇# é um tempo próprio, medido no sistema S’ da fonte (onde ela está em repouso). Assim, T e 𝑇# estão relacionados de acordo com as correções relativísticas, 𝑇 = 𝛾𝑇# = 𝑇# 1 − 𝑢$/𝑐$ = 𝑐𝑇# 𝑐$ − 𝑢$ . (25) Como 𝑇# = 1/𝑓#, temos, 1 𝑇 = 𝑐$ − 𝑢$ 𝑐𝑇# = 𝑐$ − 𝑢$ 𝑐 𝑓#. (26) Mas, lembrem-se que 1/𝑇 ≠ 𝑓. Substituindo (24) na (26) obtém-se, 𝑓 = 𝑐 𝑐 − 𝑢 𝑐$ − 𝑢$ 𝑐 𝑓#. EFEITO DOPPLER PARA ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 36 • Usando a identidade 𝑐$ − 𝑢$ = 𝑐 − 𝑢 𝑐 + 𝑢 , obtemos o efeito Doppler para ondas eletromagnéticas (fonte se aproximando do observador), 𝑓 = 𝑐 + 𝑢 𝑐 − 𝑢 𝑓#. (25) Se a fonte se afasta do observador, apenas troca-se 𝑢 por −𝑢, 𝑓 = 𝑐 − 𝑢 𝑐 + 𝑢 𝑓#. (26) Veja que no caso da luz, não há distinção entre o movimento da fonte e o do observador; o que somente importa é a velocidade relativa entre os dois. MOMENTO LINEAR RELATIVÍSTICO 37 • O princípio da conservação do momento linear afirma que, quando dois corpos interagem, o momento linear total permanece constante, desde que a força externa resultante que atua sobre os corpos no sistema de referência inercial seja igual a zero. • Para que a conservação do momento linear seja uma lei física correta, ela deve ser válida em todos os sistemas de referência inerciais. (27) RELATIVIDADE, 2ª LEI DE NEWTON E MASSA RELATIVÍSTICA 38 • E quanto à generalização relativística da segunda lei de Newton? • Na mecânica newtoniana, a forma mais geral dessa lei é: ⃗𝐹 = > ⃗@ >A (28) • Ou seja, a generalização relativística correta da segunda lei de Newton é: • Veja que ⃗𝑝 não é mais diretamente proporcional à velocidade, consequentemente, sua taxa de variação também não é diretamente proporcional à aceleração. Uma força constante NÃO produz uma aceleração constante. Temos da (30) que, ⃗𝐹 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 ⃗𝑣 1 − 𝑣$/𝑐$ . (29) 𝐹 = 𝑚 1 − 𝑣$/𝑐$ (/$ 𝑎 . (30) RELATIVIDADE, 2ª LEI DE NEWTON E MASSA RELATIVÍSTICA 39 • Onde, • Veja que conforme v aumenta, a diminui e, quando v = c, a aceleração é nula, independente do valor da força aplicada sobre o objeto. Portanto, é impossível acelerar uma partícula com massa de repouso diferente de zero até que a mesma atinja uma velocidade igual ou superior a c. • Muitas vezes a eq. (27) ⃗𝑝 = *+ %&+!/,! é interpretada como uma afirmação de que uma partícula que se move com velocidade elevada, sofre um aumento de sua massa. Assim, a diferença entre massa de repouso e massa relativística é, Contudo, essa é uma discussão contraditória e o uso do termo massa relativística pode levar e erros conceituais. Assim, para evitar erros, usemos, 𝑎 = 𝐹 𝑚 1 − 𝑣$ 𝑐$ (/$ . (31) 𝑚!"# = 𝑚 1 − 𝑣$/𝑐$ RELATIVIDADE, 2ª LEI DE NEWTON E MASSA RELATIVÍSTICA 40 ⃗𝑝 = 𝛾𝑚 ⃗𝑣. (31) 𝛾 = 1 1 − 𝑣$/𝑐$ 𝐹 = 𝛾(𝑚𝑎. (𝑐𝑜𝑚 ⃗𝐹 𝑒 ⃗𝑣 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎) 32 • Em aceleradores de partículas circulares, as partículas descrevem órbitas com velocidade v de módulo constante. Então a força (que é centrípeta) é perpendicular à v. Logo, F não realiza trabalho sobre a partícula e a energia cinética e a velocidade permanecem constantes. Assim, o denominador da eq. (29) é constante e obtemos, 𝐹 = 𝑚 1 − 𝑣$/𝑐$ %/$ 𝑎 = 𝛾𝑚𝑎. (33) RELATIVIDADE, 2ª LEI DE NEWTON E MASSA RELATIVÍSTICA 41 ENERGIA CINÉTICA RELATIVÍSTICA 42 • Vamos calcular o trabalho para deslocar uma partícula com massa de repouso m de um ponto x1 até um ponto x2. • Considerando que em 𝑥%, 𝑣’ = 0 e em 𝑥$, 𝑣’ = 𝑣 e, aplicando ainda que • Fazendo uma simples mudança de variável, obtemos Q !" !! 𝐹𝑑𝑥 = Q !" !! 𝑚𝑎 1 − 𝑣$/𝑐$ (/$ 𝑑𝑥 (34) 𝑎𝑑𝑥 = 𝑑𝑣! 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣! 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑣! = 𝑣!𝑑𝑣! 𝐾 = 𝑊 = Q # + 𝑚𝑣! 1 − 𝑣!$/𝑐$ (/$ 𝑑𝑣! (35) 𝐾 = 𝑚𝑐$ 1 − 𝑣$/𝑐$ − 𝑚𝑐$ = 𝛾 − 1 𝑚𝑐$. (36) ENERGIA CINÉTICA RELATIVÍSTICA 43 • Veja que quando 𝑣 → 𝑐, 𝐾 → ∞. No limite de 𝑣 ≪ 𝑐, 𝐾 → % $ 𝑚𝑣$. • Para fazer essa demonstração, vamos usar a série binomial dada por 1 + 𝑥 3 = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑛 𝑛 + 1 𝑥$ 2 + ⋯ . Para 𝑛 = − % $ 𝑒 𝑥 = − +! ,!, temos, 𝛾 = 1 − 𝑣$ 𝑐$ &%/$ = 1 + 1 2 𝑣$ 𝑐$ + 3 8 𝑣4 𝑐4 + ⋯ . Combinando esta equação com 𝐾 = 𝛾 − 1 𝑚𝑐$, temos 𝐾 = 1 + 1 2 𝑣$ 𝑐$ + 3 8 𝑣4 𝑐4 + ⋯ − 1 mc$ = 1 2 𝑚v$ + 3 8 𝑚𝑣4 𝑐$ + ⋯ . (37) ENERGIA DE REPOUSO E 𝐸 = 𝑚𝑐 # 44 • A eq. (36) para a K, possui um termo de energia que depende do movimento (𝑚𝑐$/ 1 − 𝑣$/𝑐$) e o termo 𝑚𝑐$ que não depende. Logo nota-se que a energia cinética de uma partícula é a diferença entre uma energia total e uma energia 𝑚𝑐$ que existe sempre, mesmo quando o corpo está em repouso. Assim, podemos escrever a eq. (36) como segue 𝐸 = 𝐾 + 𝑚𝑐$ = 𝑚𝑐$ 1 − 𝑣$/𝑐$ = 𝛾𝑚𝑐$. (38) No repouso, 𝐾 = 0 e temos 𝐸 = 𝑚𝑐$. Esta energia está associada à massa de repouso m sendo chamada de energia de repouso. ENERGIA DE REPOUSO E 𝐸 = 𝑚𝑐 # 45 ENERGIA DE REPOUSO E 𝐸 = 𝑚𝑐 # 46 • Relacionando a energia total de uma partícula com o seu momento linear, temos, 𝐸 𝑚𝑐$ $ = 1 1 − 𝑣$/𝑐$ 𝑒 𝑝 mc $ = 𝑣$/𝑐$ 1 − 𝑣$/𝑐$ Então vem 𝐸$ = 𝑚𝑐$ $ + 𝑝𝑐 $. 39 (𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑢𝑠𝑜 𝑒 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜) Essa equação, além de indicar a energia de repouso, i.e., para 𝑝 = 0, 𝐸 = 𝑚𝑐$, nos mostra que mesmo não tendo massa inercial, uma partícula pode ter energia, i.e., se 𝑚 = 0 𝐸 = 𝑝𝑐. (40) Essas partículas existem! O fóton, “partícula” de luz, ou quantum de radiação eletromagnética, que se desloca à velocidade da luz! REVISÃO Energia cinética relativística K = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 = (\gamma - 1)mc^2 Massa de repouso da partícula Velocidade da luz no vácuo Velocidade da partícula Fator de Lorentz relacionando o sistema de repouso da partícula com o sistema de referência do observador Energia total de uma partícula E = K + mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma mc^2 Energia no repouso Energia cinética Energia total Massa de repouso da partícula Velocidade da luz no vácuo Energia total, energia de repouso e momento linear: E^2 = (mc^2)^2 + (pc)^2 Massa de repouso Velocidade da luz no vácuo Módulo do momento linear MECÂNICA NEWTONIANA E RELATIVIDADE 48 • As leis da mecânica newtoniana não estão erradas; elas são incompletas. • Elas podem ser obtidas como um caso limite de mecânica relativística. • Elas são aproximadamente corretas quando todas as velocidades envolvidas são muito menores que a velocidade da luz c e tornam-se exatas no limite quando as velocidades tendem a zero. • Então não destruímos completamente as leis da mecânica newtoniana; porém, fazemos uma generalização dessas leis. • As leis de Newton possuem uma base experimental muito firme e seria estranho desenvolver uma teoria que fosse inconsistente com essa evidência experimental. • Quando uma teoria nova entra em conflito parcial com uma teoria antiga já estabelecida, a nova deve fazer as mesmas previsões da antiga nas situações nas quais ela seja confirmada pela evidência experimental. • Toda nova teoria da física deve passar por esse teste, conhecido como princípio da correspondência.