Slide - Lei de Gauss - Física 3 2021-2

LEI DE GAUSS FÍSICA III © 2016 Pearson. Todos os direitos reservados. Halliday, vol.3, ed. 8 CARGA ELÉTRICA E FLUXO • Como medir a carga no interior de uma caixa sem abri-la? Caixa com uma quantidade de carga desconhecida: 2 • A carga elétrica no interior da caixa pode ser detectada usando-se uma carga de teste fora dela para medir o campo elétrico 3 • Campo elétrico sobre a superfície de caixas contendo (a) uma única carga puntiforme positiva, (b) duas cargas puntiformes positivas: 4 • Campo elétrico sobre a superfície de caixas contendo (c) uma única carga puntiforme negativa ou (d) duas cargas puntiformes negativas: 5 • Três casos nos quais a carga líquida é igual a zero dentro da caixa e o fluxo elétrico através da superfície da caixa é igual a zero: 6 • Três casos nos quais a carga líquida é igual a zero dentro da caixa e o fluxo elétrico através da superfície da caixa é igual a zero: 7 • Três casos nos quais a carga líquida é igual a zero dentro da caixa e o fluxo elétrico através da superfície da caixa é igual a zero: 8 • Três caixas, cada qual com uma carga positiva em seu interior: 9 • Três caixas, cada qual com uma carga positiva em seu interior: 10 • Para os casos especiais de uma superfície fechada em forma de caixa retangular e para distribuições de cargas que envolvam cargas puntiformes ou planos infinitos com uma distribuição de cargas uniformes, verificamos o seguinte: 1. O sinal de carga existente no interior de uma superfície fechada determina se o fluxo elétrico está entrando ou saindo da superfície considerada. 2. Cargas situadas no exterior da superfície não fornecem fluxo elétrico líquido através da superfície fechada. 3. O fluxo elétrico líquido é diretamente proporcional à carga líquida existente no interior da superfície fechada, porém ele não depende do tamanho da superfície fechada escolhida. 11 DETERMINAÇÃO DO FLUXO ELÉTRICO • A vazão volumétrica de um fluido através da área da espira retangular de arame é dada por (a) vA quando a área do retângulo é perpendicular a : 12 • A vazão volumétrica de um fluido através da área da espira retangular de arame é dada por (b) vA cos f quando a área do retângulo está inclinada a um ângulo f: 13 • Uma superfície plana em um campo elétrico uniforme: !" !" !" 14 Gaussian surface \(\Delta \vec{A}\) \(\vec{E}\) 1 \(\Phi < 0\) \(\vec{n}\) \(\theta\) 2 \(\Delta \vec{A}\) \(\Phi = 0\) \(\vec{n}\) 3 \(\Delta \vec{A}\) \(\vec{E}\) \(\theta\) \(\vec{n}\) \(\Phi > 0\) • Generalizamos a definição de fluxo elétrico para um campo elétrico uniforme por meio da relação • Como E cos f é o componente de perpendicular à área, podemos reescrever na forma • Com base no vetor da área perpendicular à área, podemos escrever o fluxo elétrico como o produto escalar entre os vetores e : 16 • O que ocorre quando o campo elétrico não é uniforme, e sim varia de um ponto para outro ao longo da superfície de área A? • Ou o que ocorre quando A é parte de uma superfície curva? • Essa integral é chamada integral de superfície do componente sobre a área considerada ou a integral de superfície de . = " # $ %& '( 17 LEI DE GAUSS • A lei de Gauss é uma alternativa à lei de Coulomb. • A lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada (a superfície interna de um volume definido) é proporcional à carga elétrica total (líquida) existente no interior da superfície. • O módulo do campo elétrico E em qualquer ponto sobre a superfície é dado por: 18 • O fluxo elétrico resultante é dado pelo produto do módulo do campo elétrico E pela área total A = 4pR2 da superfície da esfera: • O fluxo elétrico é independente do raio R da esfera. • Ele depende apenas da carga q existente no interior da esfera. 19 • Projeção de um elemento de área dA de uma esfera de raio R sobre uma esfera concêntrica de raio 2R: 20 • Cálculo do fluxo elétrico através de uma superfície não esférica: 21 • Uma carga puntiforme no exterior de uma superfície fechada que não engloba nenhuma carga. • Se uma linha do campo elétrico da carga externa entra na superfície em um ponto, ela deve sair em outro ponto. 22 • O fluxo elétrico total através de qualquer superfície fechada é igual à carga elétrica total (líquida) existente no interior da superfície dividida por ϵ0. ! " # $% &' = 1 *+ , - . &/ 23 • Superfícies gaussianas esféricas em torno de (a) uma carga puntiforme positiva e (b) uma carga puntiforme negativa. 24 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS • A lei de Gauss é válida para qualquer distribuição de cargas e qualquer superfície fechada. • Ela pode ser usada de dois modos: • Quando conhecemos a distribuição de cargas e a integral na lei de Gauss possui simetria suficiente, podemos determinar o campo elétrico. • Ou, quando conhecemos o campo, podemos usar a lei de Gauss para definirmos a distribuição de cargas, como as cargas sobre uma superfície condutora. 25 • Cálculo do campo elétrico no interior de um condutor carregado: 26 • Cálculo do campo elétrico no interior de um condutor carregado: 27 Gaussian surface R R/2 (a) (b) TESTE EXPERIMENTAL DA LEI DE GAUSS • (a) Com um fio isolante, suspendemos uma esfera condutora carregada sobre um recipiente condutor, apoiado sobre uma base isolante. (b) Introduzimos a esfera no recipiente e o fechamos com a tampa. (c) A esfera toca a superfície interna do recipiente. 29 • O mesmo princípio do experimento do balde de gelo de Faraday é usado em um gerador eletrostático deVan de Graaff: 30 • Esse princípio também é a base para entender a blindagem eletrostática. • Nas figuras que seguem: • Uma caixa condutora (uma gaiola de Faraday) imersa em um campo elétrico uniforme. O campo das cargas induzidas sobre a caixa junta-se ao campo uniforme para produzir um campo total nulo no interior da caixa. • Esta pessoa está dentro de uma gaiola de Faraday, portanto, está protegida de uma descarga elétrica poderosa. 31 Para proteger um experimento de campos externos: 32 S1 1ˆn 2ˆn S2 S3 3ˆn Consider the long rod shown in the figure. It is uniformly charged with linera charge density . Using symmetry arguments we can show that th l Electric field generated by a long, uniformly charged rod e electric field vector points radially outwards and has the same magnitude for points at the same distance from the rod. We use a Gaussian surface S that has the same symmetry. It is a cylinder of r r adius and height whose axis coincides with the charged rod. r h 1 2 3 1 2 3 1 2 We divide S into three sections: Top flat section S . Middle curved section S . Bottom flat section S . The net flux through S is . Fluxes and vanish because the electric field is F = F + F + F F F 3 at right angles with the normal to the surface. 2 cos0 2 2 From Gauss's law we have: If we compare these two equations we get: 2 2 o enc o o o q h rhE rhE rhE h rhE E r l p p p e e l p e l pe F = = ® F = F = = = = ® 33 1ˆn 3ˆn 2ˆn S1 S2 S3 The electric field inside a conductor is zero. This is not the case for the electric field outside. The elecric field vector is perpendicular to the E The electric field outside a charged conductor ! conductor surface. If it were not then would have a component parallel to the conductor surface. E E" ! Since charges are free to move in the conductor would cause the free electrons to move which is a contradiction to the assumption that we have stationary charges. We will apply Gauss' law using th E! 1 2 3 1 2 3 1 e cylindrical closed surface shown in the figure. The surface is further divided into three sections , , and as shown in the figure. The net flux . cos0 . S S S EA EA F = F + F + F F = = 2 3 cos90 0 0 (because the electric field inside the conductor is zero). 1 The ratio is known as surface charge density enc o enc enc o o EA q EA q E A E q A e s s e e ¢ F = ° = F = F = = ® = ® = = 34 S S' A A' 1 1 The electric field generated by two parallel conducting infinite planes charged with surface densities and - . In fig.a and b we shown the two plates isolated so that one does not influence the cha s s rge distribution of the other. The charge speads out equally on both faces of each sheet. When the two plates are moved close to each other as shown in fig.c, then the charges one one plate attract those on the other. As a result the charges move on the inner faces of each plate. To find the field between the plates we apply Gauss' law for the cylindrical surface S which has caps of area . The iE A 1 1 1 1 2 net flux To find the field outside the plates we apply Gauss' law for the cylindrical surface S which has caps of area . The net flux 0 2 enc i o o o i enc o o o o o q A E A E A q E E E A s e e s s e s e e F = = = ® ¢ - F = = = = ® = = 0 35 1 Consider a Gaussian surface S which is a sphere with radius and whose center coincides with that of the r R < The electric field generated by a spherical shell of charge q and radius R. Inside the shell : 2 2 charge shell. The electric field flux 4 0 Thus Consider a Gaussian surface S which is a sphere with radius and whose center coincides with that of the char 0 g enc i o i q r E r R E p e F = = = > = Outside the shell : 2 2 e shell. The electric field flux 4 Thus Outside the shell the electric field is the same as if all the charge of the shell were co 4 ncentrated at the shell center. enc o o o o o q r q r E q E p p e e e F = = = = Note : 1ˆn iE ! 2ˆn Eo ! R r E O E0 36 S2 S1 iE ! 2ˆn Eo ! 1ˆn 1 Consider a Gaussian surface S which is a sphere with radius and whose center coincides with that r R > Electric field generated by a uniformly charged sphere of radius R and charge q Outside the sphere : 2 2 2 of the charge shell. The electric field flux 4 / / Thus Consider a Gaussian surface S which is a sphere with radius and whose center coincides w 4 ith o enc o o o o r E q r R q E r q p p e e e F = = = < = Inside the sphere : 2 3 3 3 2 3 3 3 3 that of the charge shell. The electric field flux 4 4 / 4 4 / T 4 hus enc i o enc i o i o q r E r R R q q E q q q r r R R r E r p e p p p pe e F = = = = ® æ ö = ç ÷ è ø = 37 2 4 o o q E pe r = 3 4 i o q E r R pe æ ö = ç ÷ è ø R 3 4 o q R pe r E O S2 S1 iE ! 2ˆn Eo ! 1ˆn Electric field generated by a uniformly charged sphere of radius R and charge q. Summary R 38 EXERCÍCIOS •50 A Fig. 23-51 mostra uma casca esférica com uma den- sidade volumétrica de cargas uniforme \(\rho = 1,84 \, \mathrm{nC/m^3}\), raio interno \(a = 10,0 \, \mathrm{cm}\) e raio externo \(b = 2,00a\). Determine o módulo do campo elétrico (a) em \(r = 0\); (b) em \(r = a/2,00\); (c) em \(r = a\); (d) em \(r = 1,50a\); (e) em \(r = b\); (f) em \(r = 3,00b\). 50- Halliday 3ed. ρ constante β = 1,84 nC/m³ a = 10,0 cm b = 2a E = ? (a) a (c) ρ r ≤ a ou 0 ≤ r ≤ a E = 0 superfície gaussiana ∮E⃗ ⋅n̂ da = 1/ε₀ ∫ρ dV qint = 0, para 0 ≤ r < a Assim, ∮E⃗ ⋅n̂ da = 0 ⇒ E⃗ = 0 (a), (b) e (c) Tendo simetria esférica e ρ = dq/σ, E⃗ é constante ao longo da gaussiana. Assim vem: ∮E⃗ ⋅n̂ da = q/ε₀ ∫ₐ^{r'}4π r² dr' = ρ/ε₀ ∫ₐ^{r'} r'² dr' E ∮ da = 4πρ/ε₀ (r³ - a³) = 4πρ/3ε₀ (r³ - a³) E 4π r² = 4πρ/ε₀ (r³ - a³)/3ε₀ ∴ E = ρ/3ε₀ (r³-a³)/r² b) ρ r = 1,5 a E = 7,82 N/C c) ρ r = b = 2a E = 12,1 N/C d) ρ r > 6 (Lemos que ∫dV' = 4/3π (r³-a³)) e Ê(r = 3b) = 1,35 N/C ∴ Σ= ρ/3ε₀ (b³-a³)/r² (b) e (e) ou a ≤ r ≤ b superfície gaussiana ∮E⃗ ⋅n̂ da = 1/ε₀ ∫ρ dV 22.62 Um cilindro isolante muito longo, de raio R, possui um buraco cilíndrico, com raio a, perfurado ao longo de toda a extensão do eixo paralelo ao eixo do cilindro. O eixo do buraco está a uma distância b do eixo do cilindro, em que a < b < R (Figura 22.43). A parte maciça do cilindro possui uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ. Encontre o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico \( \vec{E} \) no interior do buraco e mostre que \( \vec{E} \) é uniforme em todos os pontos do volume do buraco. (Sugestão: Veja o Problema 22.61.) c) \( \sigma = ? \) sobre a sup. externa da esfera oca? Como a casca tem -3Q e há -Q na sup. interna, deverá ter -2Q na sup. externa. \[ \sigma = \frac{-2Q}{4 \pi b^2} \] e) \( E \) \[ \frac{10}{4 \pi \varepsilon_0 a^2} \] \[ \frac{10}{4 \pi \varepsilon_0 b^2} \] 22.62 S e Z ed. 14 ρ = \( \frac{Q}{V} \) O \( \vec{E} \) em um cilindro c/ ρ homogêneo \( \oiint \vec{E} \cdot \vec{n} da = \frac{1}{\varepsilon_0} \int \rho' dV' \) \( E 2 \pi x L = \frac{1}{\varepsilon_0} \rho \pi r^2 L \) \( \therefore E = \frac{\rho}{2 \varepsilon_0} r \) ou \( E = \frac{\rho}{2 \varepsilon_0} \vec{r} \) Para um cilindro fora do eixo: Assim, \( \vec{E}_{\text{fora}} = \frac{\rho}{2 \varepsilon_0} (\vec{r} - \vec{b}) \) \( \vec{E}_{\text{buraco}} = \vec{E}_{\text{cilindro}} - \vec{E}_{\text{fora}} \) \( \vec{E}_{\text{buraco}} = \frac{\rho}{2 \varepsilon_0} \vec{r} - \frac{\rho}{2 \varepsilon_0} (\vec{r} - \vec{b}) = \frac{\rho \vec{b}}{2 \varepsilon_0} \) Note que \( \vec{E}_{\text{buraco}} \) é uniforme! Se o buraco é coaxial c/ o cilindro, b = 0 e \( \vec{E}_{\text{buraco}} = 0 \)