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Engenharia Mecânica ·

Álgebra Linear

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Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 GABARITO DO TESTE 5 Questão1: Determine a equação vetorial da reta r1 que passa pelos pontos A2,3,0 e é paralela ao eixo z. Resolução: Se a reta é paralela ao eixo z, o seu vetor diretor é paralelo ao vetor k. Então vetor diretor da reta é um vetor da forma 0,0,c, c   Equação vetorial: X  2,3,0  0,0,1t, em que t  . Resposta: r1 : X  2,3,0  0,0,1t, em que t  . Questão 2) Determine a equação paramétrica da reta r2 que passa pelo ponto B2,1,3 e paralela ao vetor ortogonal aos v  1,0,1 e u  0,1,1. Resolução: Se a reta é paralela ao vetor ortogonal aos vetores v  1,0,1 e u  0,1,1, precisamos encontrar o vetor ortogonal a eles, que chamaremos de v2: v2  v  u  i j k 1 0 1 0 1 1  i  j  k  1,1,1 ou 1,1,1 Então oo vetor diretor da reta é qualquer múltiplo do vetor 1,1,1 ou o próprio vetor. Equação paramétrica : x  2  t y  1  t z  3  t ,em que t  . Resposta:r2 x  2  t y  1  t z  3  t ,em que t  . Questão 3: Determine a equação simétrica da reta r3 que passa pelo ponto C0,2,1 e é perpendicular ao eixo x. Resolução: Se a reta é perpendicular ao eixo x, então o produto escalar do seu diretor com o vetor diretor do eixo x é zero: vetor diretor da reta: v  a,b,c vetor diretor do eixo x: vx  x,0,0 com x  0 1 Gabarito da 1ª prova de ALCV - Turma 151 Logo v.vx  0  a,b,c.x,0,0  0  ax  b0  c0  0  ax  0  a  0 pois x  0. Portanto o vetor diretor da reta é um vetor da forma: v  0,b,c com b,c  , não podendo ser simultaneamente nulos. Escolhemos o mais simples v  0,1,1 A equação simétrica da reta será x  0 y  2 1  z  1 1 (pode ser uma das respostas) Resposta: r3 : x  0 y  2 1  z  1 1 Questão 4) Determine a equação reduzida da reta r4 que passa pelo ponto D1,1,1 na direção do vetor w  2,1,2 Resolução: Primeiramente vamos escrever a equação simétrica da reta: r4 : x  1 2  y1 1  z1 2 Vamos escrever esta equação na forma reduzida em x: y1 1  x  1 2 z1 2  x  1 2  y  1  x  1 2 z  1  x  1  y  x  1 2  1 z  x  1  1  y  x 2  1 2 z  x  2 Fazendo o mesmo só que na variável y : x  1 2  y1 1 z1 2  y1 1  x  1 2  y1 1 z1 2  y1 1  x  1  2y  2 z  1  2y  1  x  2y  1 z  2y  3 Fazendo o mesmo só que na variável z : x  1 2  z1 2 y1 1  z1 2  x  1  z  1 y  1  z1 2  x  z  2 y  z1 2  1  x  z  2 y   z 2  3 2 Resposta: y  x 2  1 2 z  x  2 ou x  2y  3 z  2y  3 ou x  z  2 y   z 2  3 2 Questão 5) Determine a equação simétrica da reta r5 que passa pelos pontos A2,1,0, B1,2,2 e C0,2,1 Resolução: Precisamos verificar se os pontos colineares AB//BC AB  1,1,2 BC  1,0,1 Não são colineares, não há uma reta que passa pelos 3 pontos. 2