Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear - Espaços e Subespaços Vetoriais

UNESPUniversidade Estadual Paulista Faculdade de Engenharia e Ciˆencias Cˆampus de Guaratingueta AL Algebra Linear Profª Rosana Araujo 2º semestre de 2024 Lista 1 para P1 Atualizada em 27082024 Espaco Vetorial Subespaco Vetorial Combinacao Linear 1 Nos problemas de a a d sao dados conjuntos com as operacoes de adicao e multiplicacao por escalar nele definidas Verifique quais deles sao espacos vetoriais Nos casos que nao sao diga quais axıomas nao se verificam a V R3 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 x2 y1 y2 z1 z2 kx1 y1 z1 kx1 ky1 kz1 k ℜ b V R3 x y z x y z x x y y z z kx y z kx y z k ℜ c V R2 x y x y x x y y kx y 2kx 2ky k ℜ d V R2 a b c d a b ka b ka kb k ℜ 2 Nos problemas de a a g sao apresentados subconjuntos de R2 e de R3 Verificar quais sao seus subespacos em relacao as operacoes de adicao e multiplicacao por escalar usuais a S x yy x b S x x2x R c S x yx 3y 0 d S x yx 0 e S x y zx 4y z 0 f S x y zz 2x y g S x y zx z2 3 Quais dos subconjuntos de R3 a seguir sao subespacos de R3 O conjunto de todos os vetores da forma a x y 2 b x y z onde z x y c x y z onde z 0 4 Quais dos subconjuntos de R4 a seguir sao subespacos de R4 O conjunto de todos os vetores da forma a x y z t onde x y 2 b x y z t onde z x 2y e t x 3y c x y z t onde x 0 e y t 5 Quais dos subconjuntos de P2 a seguir são subespaços de P2 O conjunto de todos os polinômios da forma a a2 t2 a1 t a0 onde a0 0 b a2 t2 a1 t a0 onde a0 2 c a2 t2 a1 t a0 onde a2 a1 a0 6 Verificar se os conjuntos abaixo são subespaços de M22 a S a 1a b ab in mathbbR b S a abab b ab in mathbb R c S a bc d c a b d 0 7 Seja o subespaço de M22 S ab 2aab b ab in mathbbR Perguntase a 5 61 2 in S Justifique b Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4 k2 3 in S 8 Sejam os vetores vecv1 121 vecv2 102 e vecv3 210 em mathbbR3 Expressar cada um dos vetores a vecu 841 b vecv 023 c vecw 000 como combinação linear de vecv1 vecv2 vecv3 9 Expressar o vetor vecu 1446 in mathbbR4 como combinação linear dos vetores vecv1 3310 vecv2 0112 e vecv3 1100 10 Sejam os vetores vecu 232 e vecv 124 em mathbbR3 a Escrever o vetor vecw 7112 como combinação linear de vecu e vecv b Para que valor de k o vetor 814k é combinação linear de vecu e vecv c Determinar uma condição entre a b e c para que o vetor abc seja uma combinação linear de vecu e vecv 11 Seja o espaço vetorial M22 e os vetores v1 1 01 1 v2 1 20 1 v3 0 12 1 Escreva o vetor v 1 80 5 como combinação linear dos vetores v1 v2 v3 RESPOSTAS 1 a E espaco vetorial b Nao e espaco vetorial Falha o axıoma M2 distributiva com relacao a soma de escalares c Nao e espaco vetorial Falham os axiomas M3 e M4 distributiva com relacao a soma de vetores e identidade d Nao e espaco vetorial Falham os axiomas A1 A3 e A4 comutativa elemento nulo e elemento oposto 2 a S e subespaco vetorial b S nao e subespaco vetorial c S e subespaco vetorial d S nao e subespaco vetorial e S e subespaco vetorial f S e subespaco vetorial g S nao e subespaco vetorial 3 O conjunto de todos os vetores da forma de b 4 O conjunto de todos os vetores da forma de b e c 5 O conjunto de todos os polinˆomios da forma de a e c 6 a S nao e subespaco vetorial b S e subespaco vetorial c S e subespaco vetorial 7 a Sim b k 2 8 a u 3v1 v2 2v3 b v v1 v2 c w 0v1 0v2 0v3 9 a u v1 3v2 2v3 10 a w 3u v b k 12 c 16a 10b c 0 11 v 4v1 3v2 2v3 3