Slide - Autovalores e Autovetores em Op Lineares - 2022-2

Profa Dra Emília Marques Depto de Matemática Diagonalização de Operadores Lineares Dado um espaço vetorial real temos que um vetor 𝑢 ∈ 𝕌, 𝑢 ≠ 0 é um autovetor de T se existe um escalar 𝜆 ∈ ℝ tal que 𝑇 𝑢 = 𝜆𝑢. O escalar é chamado de autovalor de T. Diagonalização de Operadores Lineares Obs: Os autovalores de um operador linear e seus respectivos autovetores associados aos autovalores existentes são também chamados de valores próprios e vetores próprios. Eles são os invariantes do operador linear. Interpretação Geométrica • u é autovetor de T então   ℝ / T(u) = u. • v não é autovetor de T então não   ℝ / T(v) = v. Subespaços de Autovetores  Os conjuntos de autovetores associados ao autovalor 𝜆 são subespaços vetoriais, assim eles possuem bases e dimensão.  Notação: 𝑉𝑇 𝜆 = 𝑢 ∈ 𝑈ȁ𝑇 𝑢 = 𝜆𝑢  A dimensão do subespaço de autovetores associados ao autovalor 𝜆 , dim 𝑉𝑇 𝜆 , é chamada de multiplicidade geométrica de 𝜆. 𝑚. 𝑔. 𝜆 = dim 𝑉𝑇 𝜆 Exemplo 1: Considere o operador linear abaixo: Determine os autovalores e seus respectivos autovetores associados. 𝑇: ℝ2 → ℝ2 𝑥, 𝑦 → 𝑦, 𝑥 Exemplo 2: Considere o operador linear abaixo: Determine os autovalores e seus respectivos autovetores associados. 𝑇: ℝ3 → ℝ3 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 3𝑥 − 4𝑧, 3𝑦 + 5𝑧, −𝑧