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Gabarito do Teste de revisão 7 1) Escreva equações nas formas paramétricas e simétrica da reta r que contém o ponto A2,0 3 e é paralela à reta descrita pelas equações 1x 5 3y 4 z3 6 . Resolução: Vamos colocar a equação na forma tradicional. Multiplicando a equação toda por 1 3 1x 5 1 3 3y 4 1 3 z3 6 1 3 x1 15 y 4 z3 18 Como a reta r é paralela a reta descrita, então r tem o mesmo vetor direção, isto é, v 15,4,18. Equação paramétrica : x 2 15t y 4t z 3 18t ,em que t . Resposta: x 2 15t y 4t z 3 18t ,em que t 2) Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto 1,4,2 e pelo ponto médio do segmento de extremidades 1,3,5 e 3,3,1. Resolução: O ponto médio entre os pontos 1,3,5 e 3,3,1 é dado por P 13 2 , 33 2 , 51 2 P2,0,3 Logo o vetor direção é dado por v AP 2,0,3 1,4,2 3,4,5 Equação simétrica: x1 3 y4 4 z2 5 Resposta: x1 3 y4 4 z2 5 3) O ponto (4,3,9) pertence a reta dada? r : 8x 2 y5 4 z4 3 Resolução: 84 2 35 4 94 3 4 2 8 4 5 3 . Portanto o ponto não pertence a reta r. Resposta: Não 4) Assinale a alternativa que contém dois pontos que pertençam a reta s, s : x 5 4t y 2 8t z 7 6t t Resolução: Verificando os pontos: 5,2,7 5 5 4t 2 2 8t 7 7 6t t 0 t 0 t 0 . Como encontramos um único t para as 3 coordenadas. 5,2,7 s. 5,2,7 5 5 4t 2 2 8t 7 7 6t t 10 4 5 2 t 4 8 1 2 t 14 6 7 3 .Como achamos diferentes valores para t e não um único, 5,2,7 s. 7,26,18 7 5 4t 26 2 8t 18 7 6t t 3 t 3 t 11 6 . Como não encontrarmos um único valor para t, 7,26,18 s 0,0,0 0 5 4t 0 2 8t 0 7 6t t 5 4 t 2 8 t 7 6 .Como não encontrarmos um único valor para t,0,0,0 s Outra forma de encontrar pontos, seria substituir valores para t: Fazendo t 1 x 5 4.1 y 2 8.1 z 7 6.1 x 1 y 10 z 13 . Ponto 1,10,13 s. Fazendo t 1 x 5 4.1 y 2 8.1 z 7 6.1 x 9 y 6 z 1 . Ponto 9,6,1 s. Resposta: 1,10,13 e 9,6,1 5) Estude a posição relativa entre as retas r e s. No caso delas serem concorrentes, determine o ponto de interseção entre elas. r : 8x 2 y5 4 z4 3 e s : x 5 4t y 2 8t z 7 6t t Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r : A8,5,4 e v r 2,4,3 Identificando um ponto e o vetor direção da reta s : B5,2,7 e v s 4,8,6 Comov s 2 v r, isto é, os vetores são colineares, as retas são parelelas ou coincidentes. Então substituindo o ponto B na equação da reta r, tem-se: 85 2 25 4 74 3 3 2 7 4 3 3 . Portanto as retas são paralelas. Resposta: Paralelas. 6) Determine a equação da reta paralela ao eixo y e que passa pelo ponto A(-1,1,4). Resolução: Como o vetor diretor da reta é paralelo ao eixo y, temos que v 0,b,0 para b 0. Vamos considerar b 1, então a equação da reta é: X 1,1,4 0,1,0t ou x 1 z 4 Resposta: x 1 z 4 7) Estude a posição relativa das retas : r1 : y 2 x1 1 z3 2 ; r2 : x 1 3t y 2 5t z 3 4t Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r1 : A11,2,3 e v 1 1,0,2 Identificando um ponto e o vetor direção da reta r2 : A21,2,3 e v 2 3,5,4 Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes porque tem um ponto em comum: r1 r2 1,2,3. Este ponto será chamado de A1,2,3. Confirmando que as retas são coplanares concorrentes: v 1, v 2,A1A2 det 1 0 2 3 5 4 0 0 0 0 em que A1A3 1,0,2. Resposta: Concorrentes e o ponto de interseção é 1,2,3. 8) Estude a posição relativa das retas : r2 : x 1 3t y 2 5t z 3 4t e r3 : y 2 5x 2 z 1 x Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r2 : A21,2,3 e v 2 3,5,4 Identificando um ponto e o vetor direção da reta r3 : A30,2,1 e v 3 1, 5 2 ,1 Verificando se as retas são coplanares ou não. Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes ou reversas. v 2, v 3,A2A3 det 3 5 4 1 5 2 1 1 0 2 0. em que A2A3 1,0,2. Portanto, as retas são concorrentes. Para encontrar o ponto de interseção entre as retas, temos que resolver o sistema linear: x 1 3t y 2 5t z 3 4t y 2 5x 2 z 1 x t x1 3 y 2 5t z 3 4t y 2 5x 2 z 1 x t x1 3 y 2 5x5 3 z 3 4x4 3 y 2 5x 2 z 1 x y 5x56 3 z 4x49 3 y 2 5x 2 z 1 x y 1 3 5x 3 z 5 3 4x 3 y 2 5x 2 z 1 x . Como z 1 x. Fazemosx z 1 e substituimos na segunda equação, obtendo z 1. Então x 2. Substituindo x 2 na primeira equação, temos y 3. Portanto r2 r3 2,3,1. Este ponto será chamado de C2,3,1. Resposta: Concorrentes e o ponto de interseção é2,3,1 9) Encontre a área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas dadas: r1 : y 2 x1 1 z3 2 ; r2 : x 1 3t y 2 5t z 3 4t e r3 : y 2 5x 2 z 1 x Resolução: Já sabemos que as retas r1 e r2 são concorrentes e r2 e r3 também são concorrentes. Agora precisamos verificar as retas r1 e r3. Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes ou reversas. Mas o valor de y é constante em r1 y 2. Para termos y 2 em r3,x 0. Se x 0 em r1,então z 1. Se x 0 em r3,então z 1.Portanto, as retas são concorrentes e r1 r3 0,2,1.Este ponto será chamado de B0,2,1. Confirmando que as retas são coplanares concorrentes: v 1, v 3,A1A3 det 1 0 2 1 5 5 1 1 0 2 0 em que A1A3 1,0,2. Para encontrar a área do triângulo formado pelos pontos A1,2,3, B0,2,1 e C2,3,1, devemos calcular A 1 2 AB AC 1 2 det i j k 1 0 2 3 5 4 1 2 |2j 5k 10i| 1 2 4 25 100 1 2 129 5,68 unidades, em que AB B A 0,2,1 1,2,3 1,0,2 e AC C A 2,3,1 1,2,3 3,5,4. Portanto, a área do triângulo é 1 2 129 5,68 unidades. Resposta: 1 2 129 10)Determine o ponto P que divide o segmento formado entre os pontos A7,1,3 e B3,0,12 na razão 2 3 . Resolução: Estamos procurando o ponto Px,y,z que AP 2 3 BP 3P 3A 2P B 2P 2B P 3A 2B 37,1,3 23,0,12 Resposta: (15,-3,33)
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Gabarito do Teste de revisão 7 1) Escreva equações nas formas paramétricas e simétrica da reta r que contém o ponto A2,0 3 e é paralela à reta descrita pelas equações 1x 5 3y 4 z3 6 . Resolução: Vamos colocar a equação na forma tradicional. Multiplicando a equação toda por 1 3 1x 5 1 3 3y 4 1 3 z3 6 1 3 x1 15 y 4 z3 18 Como a reta r é paralela a reta descrita, então r tem o mesmo vetor direção, isto é, v 15,4,18. Equação paramétrica : x 2 15t y 4t z 3 18t ,em que t . Resposta: x 2 15t y 4t z 3 18t ,em que t 2) Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto 1,4,2 e pelo ponto médio do segmento de extremidades 1,3,5 e 3,3,1. Resolução: O ponto médio entre os pontos 1,3,5 e 3,3,1 é dado por P 13 2 , 33 2 , 51 2 P2,0,3 Logo o vetor direção é dado por v AP 2,0,3 1,4,2 3,4,5 Equação simétrica: x1 3 y4 4 z2 5 Resposta: x1 3 y4 4 z2 5 3) O ponto (4,3,9) pertence a reta dada? r : 8x 2 y5 4 z4 3 Resolução: 84 2 35 4 94 3 4 2 8 4 5 3 . Portanto o ponto não pertence a reta r. Resposta: Não 4) Assinale a alternativa que contém dois pontos que pertençam a reta s, s : x 5 4t y 2 8t z 7 6t t Resolução: Verificando os pontos: 5,2,7 5 5 4t 2 2 8t 7 7 6t t 0 t 0 t 0 . Como encontramos um único t para as 3 coordenadas. 5,2,7 s. 5,2,7 5 5 4t 2 2 8t 7 7 6t t 10 4 5 2 t 4 8 1 2 t 14 6 7 3 .Como achamos diferentes valores para t e não um único, 5,2,7 s. 7,26,18 7 5 4t 26 2 8t 18 7 6t t 3 t 3 t 11 6 . Como não encontrarmos um único valor para t, 7,26,18 s 0,0,0 0 5 4t 0 2 8t 0 7 6t t 5 4 t 2 8 t 7 6 .Como não encontrarmos um único valor para t,0,0,0 s Outra forma de encontrar pontos, seria substituir valores para t: Fazendo t 1 x 5 4.1 y 2 8.1 z 7 6.1 x 1 y 10 z 13 . Ponto 1,10,13 s. Fazendo t 1 x 5 4.1 y 2 8.1 z 7 6.1 x 9 y 6 z 1 . Ponto 9,6,1 s. Resposta: 1,10,13 e 9,6,1 5) Estude a posição relativa entre as retas r e s. No caso delas serem concorrentes, determine o ponto de interseção entre elas. r : 8x 2 y5 4 z4 3 e s : x 5 4t y 2 8t z 7 6t t Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r : A8,5,4 e v r 2,4,3 Identificando um ponto e o vetor direção da reta s : B5,2,7 e v s 4,8,6 Comov s 2 v r, isto é, os vetores são colineares, as retas são parelelas ou coincidentes. Então substituindo o ponto B na equação da reta r, tem-se: 85 2 25 4 74 3 3 2 7 4 3 3 . Portanto as retas são paralelas. Resposta: Paralelas. 6) Determine a equação da reta paralela ao eixo y e que passa pelo ponto A(-1,1,4). Resolução: Como o vetor diretor da reta é paralelo ao eixo y, temos que v 0,b,0 para b 0. Vamos considerar b 1, então a equação da reta é: X 1,1,4 0,1,0t ou x 1 z 4 Resposta: x 1 z 4 7) Estude a posição relativa das retas : r1 : y 2 x1 1 z3 2 ; r2 : x 1 3t y 2 5t z 3 4t Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r1 : A11,2,3 e v 1 1,0,2 Identificando um ponto e o vetor direção da reta r2 : A21,2,3 e v 2 3,5,4 Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes porque tem um ponto em comum: r1 r2 1,2,3. Este ponto será chamado de A1,2,3. Confirmando que as retas são coplanares concorrentes: v 1, v 2,A1A2 det 1 0 2 3 5 4 0 0 0 0 em que A1A3 1,0,2. Resposta: Concorrentes e o ponto de interseção é 1,2,3. 8) Estude a posição relativa das retas : r2 : x 1 3t y 2 5t z 3 4t e r3 : y 2 5x 2 z 1 x Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r2 : A21,2,3 e v 2 3,5,4 Identificando um ponto e o vetor direção da reta r3 : A30,2,1 e v 3 1, 5 2 ,1 Verificando se as retas são coplanares ou não. Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes ou reversas. v 2, v 3,A2A3 det 3 5 4 1 5 2 1 1 0 2 0. em que A2A3 1,0,2. Portanto, as retas são concorrentes. Para encontrar o ponto de interseção entre as retas, temos que resolver o sistema linear: x 1 3t y 2 5t z 3 4t y 2 5x 2 z 1 x t x1 3 y 2 5t z 3 4t y 2 5x 2 z 1 x t x1 3 y 2 5x5 3 z 3 4x4 3 y 2 5x 2 z 1 x y 5x56 3 z 4x49 3 y 2 5x 2 z 1 x y 1 3 5x 3 z 5 3 4x 3 y 2 5x 2 z 1 x . Como z 1 x. Fazemosx z 1 e substituimos na segunda equação, obtendo z 1. Então x 2. Substituindo x 2 na primeira equação, temos y 3. Portanto r2 r3 2,3,1. Este ponto será chamado de C2,3,1. Resposta: Concorrentes e o ponto de interseção é2,3,1 9) Encontre a área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas dadas: r1 : y 2 x1 1 z3 2 ; r2 : x 1 3t y 2 5t z 3 4t e r3 : y 2 5x 2 z 1 x Resolução: Já sabemos que as retas r1 e r2 são concorrentes e r2 e r3 também são concorrentes. Agora precisamos verificar as retas r1 e r3. Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes ou reversas. Mas o valor de y é constante em r1 y 2. Para termos y 2 em r3,x 0. Se x 0 em r1,então z 1. Se x 0 em r3,então z 1.Portanto, as retas são concorrentes e r1 r3 0,2,1.Este ponto será chamado de B0,2,1. Confirmando que as retas são coplanares concorrentes: v 1, v 3,A1A3 det 1 0 2 1 5 5 1 1 0 2 0 em que A1A3 1,0,2. Para encontrar a área do triângulo formado pelos pontos A1,2,3, B0,2,1 e C2,3,1, devemos calcular A 1 2 AB AC 1 2 det i j k 1 0 2 3 5 4 1 2 |2j 5k 10i| 1 2 4 25 100 1 2 129 5,68 unidades, em que AB B A 0,2,1 1,2,3 1,0,2 e AC C A 2,3,1 1,2,3 3,5,4. Portanto, a área do triângulo é 1 2 129 5,68 unidades. Resposta: 1 2 129 10)Determine o ponto P que divide o segmento formado entre os pontos A7,1,3 e B3,0,12 na razão 2 3 . Resolução: Estamos procurando o ponto Px,y,z que AP 2 3 BP 3P 3A 2P B 2P 2B P 3A 2B 37,1,3 23,0,12 Resposta: (15,-3,33)