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Engenharia Mecânica ·

Álgebra Linear

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Gabarito do Teste de revisão 7 1) Escreva equações nas formas paramétricas e simétrica da reta r que contém o ponto A2,0  3 e é paralela à reta descrita pelas equações 1x 5  3y 4  z3 6 . Resolução: Vamos colocar a equação na forma tradicional. Multiplicando a equação toda por 1 3 1x 5 1 3  3y 4 1 3  z3 6 1 3  x1 15  y 4  z3 18 Como a reta r é paralela a reta descrita, então r tem o mesmo vetor direção, isto é, v  15,4,18. Equação paramétrica : x  2  15t y  4t z  3  18t ,em que t  . Resposta: x  2  15t y  4t z  3  18t ,em que t   2) Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto 1,4,2 e pelo ponto médio do segmento de extremidades 1,3,5 e 3,3,1. Resolução: O ponto médio entre os pontos 1,3,5 e 3,3,1 é dado por P 13 2 , 33 2 , 51 2  P2,0,3 Logo o vetor direção é dado por v  AP  2,0,3  1,4,2  3,4,5 Equação simétrica: x1 3  y4 4  z2 5 Resposta: x1 3  y4 4  z2 5 3) O ponto (4,3,9) pertence a reta dada? r : 8x 2  y5 4  z4 3 Resolução: 84 2  35 4  94 3  4 2  8 4  5 3 . Portanto o ponto não pertence a reta r. Resposta: Não 4) Assinale a alternativa que contém dois pontos que pertençam a reta s, s : x  5  4t y  2  8t z  7  6t t   Resolução: Verificando os pontos: 5,2,7 5  5  4t 2  2  8t 7  7  6t  t  0 t  0 t  0 . Como encontramos um único t para as 3 coordenadas. 5,2,7  s. 5,2,7 5  5  4t 2  2  8t 7  7  6t  t  10 4  5 2 t  4 8   1 2 t  14 6  7 3 .Como achamos diferentes valores para t e não um único, 5,2,7  s. 7,26,18 7  5  4t 26  2  8t 18  7  6t  t  3 t  3 t  11 6 . Como não encontrarmos um único valor para t, 7,26,18  s 0,0,0 0  5  4t 0  2  8t 0  7  6t  t  5 4 t  2 8 t  7 6 .Como não encontrarmos um único valor para t,0,0,0  s Outra forma de encontrar pontos, seria substituir valores para t: Fazendo t  1  x  5  4.1 y  2  8.1 z  7  6.1  x  1 y  10 z  13 . Ponto 1,10,13  s. Fazendo t  1  x  5  4.1 y  2  8.1 z  7  6.1  x  9 y  6 z  1 . Ponto 9,6,1  s. Resposta: 1,10,13 e 9,6,1 5) Estude a posição relativa entre as retas r e s. No caso delas serem concorrentes, determine o ponto de interseção entre elas. r : 8x 2  y5 4  z4 3 e s : x  5  4t y  2  8t z  7  6t t   Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r : A8,5,4 e v r  2,4,3 Identificando um ponto e o vetor direção da reta s : B5,2,7 e v s  4,8,6 Comov s  2 v r, isto é, os vetores são colineares, as retas são parelelas ou coincidentes. Então substituindo o ponto B na equação da reta r, tem-se: 85 2  25 4  74 3  3 2  7 4  3 3 . Portanto as retas são paralelas. Resposta: Paralelas. 6) Determine a equação da reta paralela ao eixo y e que passa pelo ponto A(-1,1,4). Resolução: Como o vetor diretor da reta é paralelo ao eixo y, temos que v  0,b,0 para b    0. Vamos considerar b  1, então a equação da reta é: X  1,1,4  0,1,0t ou x  1 z  4 Resposta: x  1 z  4 7) Estude a posição relativa das retas : r1 : y  2 x1 1  z3 2 ; r2 : x  1  3t y  2  5t z  3  4t Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r1 : A11,2,3 e v 1  1,0,2 Identificando um ponto e o vetor direção da reta r2 : A21,2,3 e v 2  3,5,4 Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes porque tem um ponto em comum: r1  r2  1,2,3. Este ponto será chamado de A1,2,3. Confirmando que as retas são coplanares concorrentes: v 1, v 2,A1A2  det 1 0 2 3 5 4 0 0 0  0 em que A1A3  1,0,2. Resposta: Concorrentes e o ponto de interseção é 1,2,3. 8) Estude a posição relativa das retas : r2 : x  1  3t y  2  5t z  3  4t e r3 : y  2  5x 2 z  1  x Resolução: Identificando um ponto e o vetor direção da reta r2 : A21,2,3 e v 2  3,5,4 Identificando um ponto e o vetor direção da reta r3 : A30,2,1 e v 3  1, 5 2 ,1 Verificando se as retas são coplanares ou não. Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes ou reversas. v 2, v 3,A2A3  det 3 5 4 1  5 2 1 1 0 2  0. em que A2A3  1,0,2. Portanto, as retas são concorrentes. Para encontrar o ponto de interseção entre as retas, temos que resolver o sistema linear: x  1  3t y  2  5t z  3  4t y  2  5x 2 z  1  x  t  x1 3 y  2  5t z  3  4t y  2  5x 2 z  1  x  t  x1 3 y  2  5x5 3 z  3  4x4 3 y  2  5x 2 z  1  x  y  5x56 3 z  4x49 3 y  2  5x 2 z  1  x  y  1 3  5x 3 z  5 3  4x 3 y  2  5x 2 z  1  x . Como z  1  x. Fazemosx  z  1 e substituimos na segunda equação, obtendo z  1. Então x  2. Substituindo x  2 na primeira equação, temos y  3. Portanto r2  r3  2,3,1. Este ponto será chamado de C2,3,1. Resposta: Concorrentes e o ponto de interseção é2,3,1 9) Encontre a área do triângulo formado pelos pontos de interseção das retas dadas: r1 : y  2 x1 1  z3 2 ; r2 : x  1  3t y  2  5t z  3  4t e r3 : y  2  5x 2 z  1  x Resolução: Já sabemos que as retas r1 e r2 são concorrentes e r2 e r3 também são concorrentes. Agora precisamos verificar as retas r1 e r3. Como os vetores diretores não são colineares, as retas são coplanares concorrentes ou reversas. Mas o valor de y é constante em r1 y  2. Para termos y  2 em r3,x  0. Se x  0 em r1,então z  1. Se x  0 em r3,então z  1.Portanto, as retas são concorrentes e r1  r3  0,2,1.Este ponto será chamado de B0,2,1. Confirmando que as retas são coplanares concorrentes: v 1, v 3,A1A3  det 1 0 2 1  5 5 1 1 0 2  0 em que A1A3  1,0,2. Para encontrar a área do triângulo formado pelos pontos A1,2,3, B0,2,1 e C2,3,1, devemos calcular A  1 2 AB  AC  1 2 det i j k 1 0 2 3 5 4  1 2 |2j  5k  10i|  1 2 4  25  100  1 2 129  5,68 unidades, em que AB  B  A  0,2,1  1,2,3  1,0,2 e AC  C  A  2,3,1  1,2,3  3,5,4. Portanto, a área do triângulo é 1 2 129  5,68 unidades. Resposta: 1 2 129 10)Determine o ponto P que divide o segmento formado entre os pontos A7,1,3 e B3,0,12 na razão 2 3 . Resolução: Estamos procurando o ponto Px,y,z que AP  2 3 BP  3P  3A  2P  B  2P  2B  P  3A  2B  37,1,3  23,0,12  Resposta: (15,-3,33)