Lista 2 - Álgebra Linear - Subespaço Vetorial Dependência e Independência Linear - UNESP

UNESPUniversidade Estadual Paulista Faculdade de Engenharia e Ciências Câmpus de Guaratinguetá AL Álgebra Linear Profª Rosana Araujo 2º semestre de 2024 Lista 2 para P1 Atualizada em 27082024 Subespaço Vetorial Gerado Dependência e Independência Linear Base Dimensão e vetor coordenada componentes 1 Determinar os subespaços de ℝ² gerados pelos conjuntos de vetores A v₁vn a A 1 2 b A 2 1 1 1 c A 1 2 2 4 2 Determinar os subespaços de ℝ³ gerados pelos conjuntos de vetores A v₁vn a A 2 1 3 b A 1 3 2 2 2 1 c A 101 011 110 3 Determinar o subespaço de ℝ⁴ gerado pelos vetores u 2 1 1 4 v 3 3 3 6 e w 0 4 4 0 4 Determinar o subespaço de P₂ espaço vetorial dos polinômios de grau 2 gerado pelos vetores p₁ x² e p₂ x² x 5 Determinar o subespaço de M2 2 espaço vetorial das matrizes 2 2 gerado pelos vetores a v₁ 1 0 0 1 v₂ 1 1 0 0 e v₃ 0 1 1 0 6 Seja o conjunto A v₁ v₂ com v₁ 1 3 1 e v₂ 1 2 4 Perguntase a Qual o subespaço gerado pelo conjunto A b Qual deve ser o valor de k no vetor v 5 k 11 para que ele pertença a GA isto é para que ele pertença ao subespaço gerado pelo conjunto A 7 Para cada um dos itens abaixo determine se o vetor v pertence a v₁ v₂ v₃ isto é ao subespaço gerado por v₁ v₂ e v₃ onde v₁ 1 0 0 1 v₂ 1 1 0 0 v₃ 0 1 2 1 a v 3 2 0 5 b v 1 4 2 2 c v 1 2 0 1 d v 0 3 2 3 8 Para cada um dos itens abaixo determine se cada um dos conjuntos abaixo é linearmente dependente LD ou linearmente independente LI a o subconjunto 13 do ℝ² b o subconjunto 1326 do ℝ² c o subconjunto 101135 do ℝ² d o subconjunto 213 do ℝ³ e o subconjunto 210130350 do ℝ³ f o subconjunto 210010211201 do ℝ⁴ g o conjunto de vetores 1 x 2x² x x² x² do conjunto de polinômios de grau 2 h o conjunto A B C do espaço vetorial das matrizes 2 3 sendo A 1 2 1 3 2 4 B 0 1 2 2 1 0 C 1 0 5 1 0 3 9 Qual deve ser o valor de k para que o conjunto 1 0 2 1 1 1 k 2 0 seja LI 10 Demonstre que a o conjunto 1 2 1 3 forma uma base do ℝ² b o conjunto 3 6 48 forma uma base do ℝ² c o conjunto 11 1 2 1 0 3 2 0 forma uma base do ℝ³ d o conjunto 1 0 1 0 1 2 2 1 4 forma uma base do ℝ³ e o conjunto 1 t t² forma uma base de P₂ 11 Demonstre que os vetores v₁ 1 1 1 v₂ 1 2 3 v₃ 3 0 2 e v₄ 2 1 1 geram o ℝ³ e encontre uma base dentre estes vetores 12 Determine o subespaço gerado W pelos vetores v₁ 1 2 2 v₂ 3 2 1 v₃ 11107 e v₄ 7 6 4 Diga qual a sua dimensão e encontre uma base neste subespaço 13 Determinar a dimensão e a base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais a x y z ℝ³ y 3x b x y z ℝ³ y 5x e z 0 c x y z ℝ³ 2x y 3z 0 14 No espaço vetorial do ℜ² consideremos a seguinte base B v₁ v₂ Determinar o vetor coordenada de v ℜ² em relação à base B sendo a v 1 1 v₁ 2 4 v₂ 3 8 b v a b v₁ 1 1 v₂ 0 2 15 No espaço vetorial do ℜ³ consideremos a seguinte base B 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Determinar o vetor coordenada de v ℜ³ em relação à base sendo a v 3 5 6 b v 1 1 1 16 Encontre o vetor coordenada de p 4 3x x² em relação à base B de V P₂ formada pelos vetores p₁ 1 p₂ x e p₃ x² 17 Mostre que os vetores v₁ 1 2x 3x² v₂ 1 3x 2x² e v₃ 2 x 5x² formam uma base de V P₂ e calcule o vetor coordenada de v 2 9x 13x² na base B v₁ v₂ v₃ 18 Seja S uma base de V M2 2 espaço vetorial das matrizes 2 2 dada pelos vetores v₁ 1 0 0 0 v₂ 0 1 1 0 e v₃ 0 2 0 1 v₃ 0 0 1 1 Calcule o vetor coordenada de v 1 1 1 1 19 Seja S uma base de V M2 2 espaço vetorial das matrizes 2 2 dada pelos vetores v₁ 1 1 0 0 v₂ 1 1 0 0 e v₃ 0 0 1 0 v₃ 0 0 0 1 esse Calcule o vetor coordenada de v 2 0 1 3 RESPOSTAS 1 a x y ℝ² y 2x b x y x y2 1 x 2y1 1 Geram o ℝ² c x y ℝ² y 2x 2 a x y z ℝ³ x 2y e z 3y b x y z ℝ³ 7x 5y 4z 0 c x y z ℝ³ x y z 0 3 x y z t 2x t 0 e y z 0 4 ax² bxa b ℝ 5 A a b c d a b c d 0 6 a GA x y z ℝ³ 10x 3y z 0 b k 13 7 a v pertence ao subespaço b v não pertence ao subespaço c v não pertence ao subespaço d v pertence ao subespaço 8 a LI b LD c LD d LI e LD f LI g LI h LI 9 k 3 10 a Sim b Não c Sim d Não e Sim 11 Base v₁ v₂ v₃ 12 dimW 2 uma das bases possíveis v₁ v₂ 13 a dimS 2 b dimS 1 c dimS 2 14 a vB 528 314 b vB a ba2 15 a vB 3 11 6 b vB 0 0 1 16 pB 4 3 1 17 vB 1 5 4 18 vB 1 1 1 0 19 vB 1 1 1 3